Math Master

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মিথ্যা?

সমাধান:
ত্রিকোণমিতির সূত্রাবলী:
sin²θ + cos²θ = 1
sec²θ - tan²θ = 1
cosec²θ - cot²θ = 1

প্রশ্ন: sinA + cosA = 1 হলে, A এর মান কত হবে?

সমাধান:
A = 30° হলে,
sinA + cosA
= sin30° + cos30°
= 1/2 + √3/2
= (1 + √3)/2

A = 45° হলে,
sinA + cosA
= sin45° + cos45°
= 1/√2 + 1/√2
= 2/√2
= √2

A = 60° হলে,
sinA + cosA
= sin60° + cos60°
= √3/2 + 1/2
= (1 + √3)/2

A = 90° হলে,
sinA + cosA
= sin90° + cos90°
= 1 + 0
= 1

∴ A এর মান 90°

প্রশ্ন: sinX = 3/4 হলে, cosX =?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosX = √(1 - sin²X)
= √{1 - (3/4)²}
= √(1 - 9/16)
= √{(16 - 9)/16}
= √(7/16)
= √7/4

প্রশ্ন: tan3A = √3 হলে, A =?

সমাধান:
tan3A = √3
⇒ tan3A = tan60°
⇒ 3A = 60°
∴ A = 20°

প্রশ্ন: tan75° + tan15° + tan105° + tan165° এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
tan75° + tan15° + tan105° + tan165°
= tan(90 - 15)° + tan15° + tan(90 + 15)° + tan{(90 × 2) - 15}°
= cot15° + tan15° - cot15° - tan15°
= 0 

প্রশ্ন: cos80°.cos20° + sin80°.sin20° এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB

এখন,
 cos80°.cos20° + sin80°.sin20°
= cos(80° - 20°)
= cos60°
= 1/2

প্রশ্ন: একটি ২০মিটার উচ্চতা বিশিষ্ট মিনারের শীর্ষ বিন্দু হতে ৪০ মিটার দূরের ভূতলস্থ একটি বিন্দুর অবনতি কোণ কত?

সমাধান:
               
ধরি, অবনতি কোণ θ
sinθ = 20/40
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
 ⇒ θ = 30°

প্রশ্ন: একটি মিনারের পাদদেশ হতে 25 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হলে, মিনারটির উচ্চতা কত? 

সমাধান: 

ধরি,
মিনারটির উচ্চতা = x মিটার 

প্রশ্নমতে,
tan45° = AB/BC
⇒ 1 = x/25 [ ∴ tan45° = 1]  
⇒ x = 25 মিটার 
∴ মিনারটির উচ্চতা 25 মিটার।

প্রশ্ন: sinθ + cosθ = √2 হলে, θ এর মান নির্ণয় করুন, যেখানে 0 < θ < π/2.

সমাধান:
sinθ + cosθ = √2
⇒ sinθ = √2 - cosθ
⇒ sin²θ = (√2 - cosθ)²
⇒ 1 - cos²θ = (√2)² - 2.√2.cosθ + cos²θ
⇒ 1 - cos²θ = 2 - 2√2cosθ + cos²θ
⇒ 2cos²θ - 2√2cosθ + 1 = 0
⇒ (√2cosθ - 1)² = 0
⇒ √2cosθ - 1 = 0
⇒ √2cosθ = 1
⇒ cosθ = 1/√2
⇒ cosθ = cos45°
⇒ cosθ = cos(π/4)
⇒ θ = π/4

প্রশ্ন: যদি A সূক্ষ্মকোণ এবং sinA = 8/10 হয়, তবে cotA এর মান কত?

সমাধান:
sinA = 8/10

আমরা জানি
⇒ cos²A = 1 - sin²A
⇒ cos²A = 1 - (8/10)²
⇒ cos²A = (1 - 64)/100
⇒ cos²A = (100 - 64)/100
⇒ cos²A = 36/100
⇒ cos²A = (6/10)²
⇒ cosA = 6/10

cotA = cosA/sinA
= (6/10)/(8/10)
= 3/4
 

প্রশ্ন: দেয়ালের সাথে একটি মইয়ের উন্নতি কোণ 60° এবং মইয়ের দৈর্ঘ্য 30 মিটার হলে মইটির পাদদেশ থেকে দেয়াল কত দূরে অবস্থিত? 

সমাধান:

মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = 30 মিটার
মইটির পাদদেশ থেকে দেয়ালের দূরত্ব BC= x মিটার

এখন,
Cos∠ACB = BC/AC
বা, Cos 60° = x/30
বা, 1/2 = x/30
বা, 2x =  30 
∴ x = 15

প্রশ্ন: 0 ≤ θ ≤ π/3 এর জন্য, cosθ এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
cos0° এর মান 1
cos(π/3) = cos60° = 1/2 = 0.5