প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: a³ + a²b, a²b + ab² এর গ.সা.গু কোনটি?

সমাধান:
১ম রাশি = a³ + a²b
= a²(a + b)

২য় রাশি = a²b + ab²
= ab(a + b)

∴ গ.সা.গু = a(a + b)

প্রশ্ন: (a - 1)² - 36 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
(a - 1)² - 36
= (a - 1)² - 6²
= (a - 1 + 6)(a - 1 - 6)
= (a + 5)(a - 7)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি a⁴ + a² - 20 এর একটি উৎপাদক নয়?

সমাধান:
a⁴ + a² - 20
= a⁴ + 5a² - 4a² - 20
= a²(a² + 5) - 4(a² + 5)
= (a² + 5)(a² - 4)
= (a² + 5)(a² - 2²)
= (a² + 5)(a + 2)(a - 2)

প্রশ্ন: x² - 3x, x²- 9 এবং x² - 4x + 3 বীজগাণিতিক রাশির গ.সা.গু কত হবে?

সমাধান:
১ম রাশি = x² - 3x
= x(x - 3)

২য় রাশি = x² - 9
= x² - 3² 
= (x + 3)(x - 3)

৩য় রাশি = x2 - 4x + 3
= x² - 3x - x + 3
= x(x - 3) - 1(x - 3)
= (x - 3)(x - 1)

নির্ণেয় গ.সা.গু = x - 3

প্রশ্ন: a - b = 2, ab = 35 হলে, a² + b² = কত?

সমাধান:
a² + b² = (a - b)² + 2ab
= 2² + 2 ⋅ 35
= 4 + 70
= 74

প্রশ্ন: 4a² + 3a² - 4a + k রাশিটির একটি উৎপাদক (a - 1) হলে k এর মান কত? 

সমাধান: 
f(a) = 4a² + 3a²  - 4a + k
(a - 1), f(a) একটি উৎপাদক হলে, f(1) = 0 হবে। 
f(1) = 4 × 1² + 3 × 1²  - 4 × 1 + k
⇒ 0 = 4 + 3 - 4 + k 
⇒ 0 = 3 + k 
∴ k = - 3

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: p এর মান কত হলে 4x² - px + 9 = 0 একটি পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, পূর্ণবর্গ রাশির মূলদ্বয় সমান হয়। 
যদি, b² - 4ac = 0 হয় তবে মূলদ্বয় সমান হবে।
এখানে, a = 4, b = - p এবং c = 9

∴ b² - 4ac = 0
বা, (- p)² - 4 × 4 × 9 = 0
বা, p² - 144 = 0
বা, p² = 144
∴ p = 12
∴  p এর মান 12 হলে 4x² - px + 9 = 0 রাশিটি একটি পূর্ণ বর্গ হবে।

প্রশ্ন: 6p² + 24p + 24 এবং p² + p - 2 এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
১ম রাশি:
6p² + 24p + 24
= 6(p² + 4p + 4)
= 6(p² + 2p + 2p + 4)
= 6{p(p + 2) + 2(p + 2)}
= 6(p + 2)(p + 2)

২য় রাশি:
p² + p - 2
= p² + 2p - p - 2
= p(p + 2) - (p + 2)
= (p + 2)(p - 1)

∴ প্রদত্ত রাশিদ্বয়ের সাধারণ উৎপাদক = p + 2

প্রশ্ন: (1/a) + (1/b) + (1/c) = 0 হলে, (a + b + c)² = ?

সমাধান:
(1/a) + (1/b) + (1/c) = 0
⇒ (bc + ca + ab)/abc = 0
⇒ bc + ca + ab = 0
⇒ 2(bc + ca + ab) = 0 [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা গুন করে]
⇒ a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = a² +b² + c²
∴ (a + b + c)² = a² + b² + c²

প্রশ্ন: f(x) এর একটি উৎপাদক (x - a) হলে, নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:

প্রশ্ন: (p/q) এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল (2q/p) হবে? 

সমাধান:
ধরি, (p/q) এর সাথে x যোগ করলে যোগফল (2q/p) হবে।

প্রশ্নমতে, 
(p/q) + x = (2q/p)
⇒ x = (2q/p) - (p/q)
= (2q² - p²)/pq

প্রশ্ন: a√0.09 = 3 হলে, 3a = কত?

সমাধান:
a√0.09 = 3
⇒ (a√0.09)² = 3²
⇒ a²(√0.09)² = 9
⇒ a² × 0.09 = 9
⇒ a² × (9/100) = 9
⇒ a² = 100
⇒ a = 10

∴ 3a = 3 × 10 = 30

প্রশ্ন: p² + 12p + 36 কে p + 3 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?  

সমাধান:
ধরি,
f(a) = p² + 12p + 36

∴ f(- 3) = (- 3)² + 12(- 3) + 36
= 9 - 36 + 36
= 9

∴ ভাগশেষ 9 হবে।

প্রশ্ন: (x² + 3x³)/(x + 3x²) এর লঘিষ্ঠ রূপ নিচের কোনটি?

সমাধান:
(x² + 3x³)/(x + 3x²)
= x(x + 3x²)/(x + 3x²)
= x

প্রশ্ন: 3x⁶ - 4x³ + 8x⁴ - 2x + 7 বহুপদীটির মাত্রা কত?

সমাধান:
বহুপদীতে চলকের সর্বোচ্চ ঘাত যত থাকে, তাকে তত মাত্রিক বহুপদী বলে।
3x⁶ - 4x³ + 8x⁴ - 2x +7 বহুপদীটির চলকের (x) সর্বোচ্চ ঘাত বা মাত্রা = 6

প্রশ্ন: (a³b³)/(c²d) কে (a³b²)/(cd³) দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান:
(a³b³/c²d)/(a³b²/cd³)
= (a³b³/c²d) × (cd³/a³b²)
= bd²/c

প্রশ্ন: ab = 2 এবং ab² = 8 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
ab = 2 
⇒ b = 2/a

∴ a × (2/a)² = 8
⇒ a × (4/a²) = 8
⇒ 4/a = 8
⇒ a = 8/4
∴ a = 1/2

প্রশ্ন: a² + 2ab - 2b - 1 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
a² + 2ab - 2b - 1
= a² - 1 + 2ab - 2b
= (a + 1)(a - 1) + 2b(a - 1)
= (a - 1)(a + 1 + 2b)

প্রশ্ন:
সমাধান:

প্রশ্ন: x = √3 + √2 হলে x³ - (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
x = √3 + √2
∴ 1/x = √3 - √2

x - (1/x) = √3 + √2 - √3 + √2 = 2√2

∴  x³ - (1/x³) = {x - (1/x)}³ + 3 ⋅ x ⋅ (1/x) {x - (1/x)}
= (2√2)³ + 3 ⋅ 2√2
= 16√2 + 6√2
= 22√2

প্রশ্ন: নিচের সমীকরণে '?' চিহ্নিত স্থানে কোন গাণিতিক চিহ্নটি বসবে?
2 ? 6 - 12 ÷ 4 + 2 = 11

সমাধান:
2 × 6 - 12 ÷ 4 + 2 
= 2 × 6 - 3 + 2
= 12 - 3 + 2
= 11

প্রশ্ন: a² - 4a - 1 = 0 হলে a - (1/a) এর মান কত?

সমাধান:
a² - 4a - 1 = 0
⇒ a - 4 - (1/a) = 0 [a দ্বারা উভয়পক্ষকে ভাগ করে]
∴ a - (1/a) = 4

প্রশ্ন: p³qr, pq³r এবং pqr³ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
 p³qr, pq³r এবং pqr³  রাশি তিনিটিতে,
p, q এবং r এর গুণনীয়ক সমূহের সর্বোচ্চ ঘাত যথাক্রমে p³, q³ এবং r³

∴ ল.সা.গু = p³q³r³

প্রশ্ন: f(x) = x³ + 9x² - 3x - 6 হলে, f(- 2) = কত?

সমাধান:
f(- 2) = (- 2)³ + 9 ⋅ (- 2)² - 3(- 2) - 6
= - 8 + 36 + 6 - 6
= 28

প্রশ্ন: (5/6) এর (6/7) ÷ (10/7) এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল 1 হবে?

সমাধান:
ধরি,
(5/6) এর (6/7) ÷ (10/7) এর সাথে a যোগ করলে যোগফল 1 হবে.

শর্তমতে,
{(5/6) এর (6/7) ÷ (10/7)} + a = 1
⇒ {(5/7) ÷ (10/7)} + a = 1
⇒ {(5/7) × (7/10)} + a = 1
⇒ (1/2) + a = 1
⇒ a = 1 - (1/2)
∴ a = 1/2