৪০ দিনে ৪৭তম বিসিএস প্রস্তুতি - Archived

গঠন বিবেচনায় বাংলা শব্দকে মৌলিক এবং সাধিত – এই দুই ভাগে ভাগ করা যায়।

⇒ মৌলিক শব্দ : যেসব শব্দ বিশ্লেষণ করলে অর্থপূর্ণ কোনাে অংশ থাকে না, সেগুলােকে মৌলিক শব্দ বলে। যেমন – গাছ, পাখি, ফুল, হাত, গোলাপ ইত্যাদি।

⇒ সাধিত শব্দ : যেসব শব্দকে বিশ্লেষণ করলে তার মধ্যে এক বা একাধিক অর্থপূর্ণ অংশ থাকে, সগুলােকে সাধিত শব্দ বলে। উপসর্গ বা প্রত্যয় যােগ করে অথবা সমাস প্রক্রিয়ায় সাধিত শব্দ তৈরি হয়। যেমন – পরিচালক, গরমিল, সম্পাদকীয়, সংসদ সদস্য, নীলাকাশ ইত্যাদি। শব্দের দ্বিত্ব করেও সাধিত শব্দ হয়ে থাকে। যেমন – ফিসফিস, ধুমাধুম ইত্যাদি।


উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

কারবর্ণ: স্বরবর্ণের মােট ১০টি সংক্ষিপ্ত রূপ রয়েছে, এগুলাের নাম কারবর্ণ: া,্ি,ী.ু,ূ,ৃ,্ে,াে,ৌ। কারবর্ণের স্বতন্ত্র ব্যবহার নেই। এগুলাে ব্যঞ্জনবর্ণের আগে, পরে, উপরে, নিচে বা উভয় দিকে যুক্ত হয়। কোনাে ব্যঞ্জনের সঙ্গে কারবর্ণ বা হসৃচিহ্ন না থাকলে ব্যঞ্জনটির সঙ্গে একটি অ আছে বলে ধরে নেওয়া হয়।


উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

উচ্চারণের সময়ে জিভের উচ্চতা অনুযায়ী, জিভের সম্মুখ-পশ্চাৎ অবস্থান অনুযায়ী এবং ঠোটের উনুক্তি অনুযায়ী স্বরধ্বনি কে ভাগ করা হয়। নিচের ছক থেকে স্বরধ্বনির এই উচ্চারণ-বিভাজন সম্পর্কে ধারণা পাওয়া যাবে।

 

⇒ উচ্চারণের সময়ে জিভ কতটা উপরে ওঠে বা কতটা নিচে নামে সেই অনুযায়ী স্বরধ্বনি চার ভাগে বিভক্ত:
- উচ্চ স্বরধ্বনি ই, উ];
- উচ্চ-মধ্য স্বরধ্বনি [এ], [ও];
- নিম্ন-মধ্য স্বরধ্বনি [অ্যা], [অ];
- নিম্ন স্বরধ্বনি [আ]।
উচ্চ স্বরধ্বনি উচ্চারণের সময়ে জিভ উপরে ওঠে; নিম্ন স্বরধ্বনি উচ্চারণের সময়ে জিভ নিচে নামে।

⇒ জিভের সম্মুখ-পশ্চাৎ অবস্থান অনুযায়ী স্বরধ্বনি তিন ভাগে বিভক্ত:
- সম্মুখ স্বরধ্বনি [ই], [এ], [অ্যা];
- মধ্য স্বরধ্বনি [আ];
- পশ্চাৎ স্বরধ্বনি [অ], [ও], [উ]।


উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

যুক্তবর্ণ
একাধিক বর্ণ যুক্ত হয়ে যুক্তবর্ণ তৈরি হয়। যুক্ত হওয়া বর্ণগুলােকে দেখে কখনাে সহজে চেনা যায়, কখনাে সহজে চেনা যায় না।
- এদিক দিয়ে যুক্তবর্ণ দুই রকম: স্বচ্ছ ও অস্বচ্ছ।

⇒ স্বচ্ছ যুক্তবর্ণ: ক, জ্ঞ, জ্ব, ঞ, জ্ঞ, ট, ণ্ঠ, দ, দ্ব, দ্ম, ঠ, ড, ন্স, স্ট, ব্দ, ফ, ল্ক, ল্প, ষ্ঠ, স্ফ, খ, স্ট, স্ফ ইত্যাদি।

⇒ অস্বচ্ছ যুক্তবর্ণ: ক্ত (ক্‌+ত), ক্র (কৃ+র), ক্ষ (ক্+ষ), ক্ষ্ম (ক্‌+ষ্‌+ম), ক্স (ক্‌+স) ইত্যাদি।


উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

দ্বিস্বরধ্বনি
পূর্ণ স্বরধ্বনি ও অর্ধস্বরধ্বনি একত্রে উচ্চারিত হলে দ্বিস্বরধ্বনি হয়।
- যেমন – লাউ’ শব্দের [আ] পূর্ণ স্বরধ্বনি এবং উ] অর্ধস্বরধ্বনি মিলে দ্বিস্বরধ্বনি (আড়] তৈরি হয়েছে।

>দ্বিস্বরধ্বনির কিছু উদাহরণ:
- [আই]: তাই, নাই
- [এই]: সেই, নেই
- [আ]: যাও, দাও
- [আ]: খায়, যায়
- [উই]: দুই, রুই
- [অ]: নয়, হয়
- [ওউ]: মৌ, বউ
- [ওই]: কৈ, দই
- [এ]: কেউ, ঘেউ

⇒বাংলা বর্ণমালায় দুটি দ্বিস্বরধ্বনির জন্য আলাদা বর্ণ নির্ধারিত আছে, যথা: ঐ এবং ঔ।
- ঐ-এর মধ্যে দুটি ধ্বনি আছে, একটি পূর্ণ স্বরধ্বনি [ও] এবং একটি অর্ধস্বরধ্বনি ই]।
- ঔ-এর মধ্যে রয়েছে একটি পূর্ণ স্বরধ্বনি [ও] এবং একটি অর্ধস্বরধ্বনি [উ্‌]। 

উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

পদ বিবেচনায় শব্দের শ্রেণিবিভাগ
শব্দ যখন বাক্যে ব্যবহৃত হয়, তখন তার নাম হয় পদ। বাক্যের অন্তর্গত এসব শব্দ বা পদকে মােট আটটি শ্রেণিতে ভাগ করে বর্ণনা করা যায়:

- বিশেষ্য
- সর্বনাম
- বিশেষণ
- ক্রিয়া
- ক্রিয়াবিশেষণ
- অনুসর্গ
- যােজক 
- আবেগ

বাক্যে প্রয়ােগের উপরে শব্দশ্রেণির এই আট রকম বিভাজন চূড়ান্ত হয়ে থাকে। যেমন, যখন বলা হয় লাল থেকে নীল ভালাে, তখন লাল’ এটি বিশেষ্য পদ। কিন্তু যখন বলা হয়: আমি একটি লাল ফুল তুলেছি – তখন। ‘লাল’ বিশেষণ পদ। 


উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

কম্পিত ব্যঞ্জন: 
যে ধ্বনি উচ্চারণের সময়ে জিভ একাধিক বার অতি দ্রুত দন্তমূলকে আঘাত করে বায়ুপথে বাধা সৃষ্টি করে, তাকে কম্পিত ব্যঞ্জন বলে। কর, ভার, হার প্রভৃতি শব্দের র কম্পিত ব্যঞ্জনধ্বনির উদাহরণ।


অন্যদিকে ল = পার্শ্বিক ব্যঞ্জনধ্বনি।
                ড় এবং ঢ় = তাড়িত ব্যঞ্জনধ্বনির।


উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

অভিশ্রুতি (Umlaut) : বিপর্যস্ত স্বরধ্বনি পূর্ববর্তী স্বরধ্বনির সাথে মিলে গেলে এবং তদনুসারে পরবর্তী স্বরধ্বনির পরিবর্তন ঘটলে তাকে বলে অভিশ্রুতি।
- যেমন— করিয়া থেকে অপিনিহিতির ফলে ‘কইরিয়া’ কিবা বিপর্যয়ের ফলে ‘কইরা’ থেকে অভিশ্রুতিজাত করে।
- এরূপ – শুনিয়া > শুনে, বলিয়া > বলে, হাটুয়া > হাউটা > হেটো, মাছুয়া > মেছাে ইত্যাদি।

 ব্যঞ্জন বিকৃতি : শব্দ-মধ্যে কোনাে কোনাে সময় কোনাে ব্যঞ্জন পরিবর্তিত হয়ে নতুন ব্যঞ্জনধ্বনি ব্যবহৃত হয়। একে বলে ব্যঞ্জন বিকৃতি।
- যেমন- কবাট > কপাট, ধােবা > ধােপা, ধাইমা > দাইমা ইত্যাদি।

দ্বিত্ব ব্যঞ্জন (Long Consonant) বা ব্যঞ্জনদ্বিত্বা : কখনাে কখনাে জোর দেয়ার জন্য শব্দের অন্তর্গত ব্যঞ্জনের দ্বিত্ব উচ্চারণ হয়, একে বলে দ্বিত্ব ব্যঞ্জন বা ব্যঞ্জনদ্বিত্বা।
- যেমন – পাকা > পাক্কা, সকাল > সক্কাল ইত্যাদি।

ব্যঞ্জনচ্যুতি : পাশাপাশি সমউচ্চারণের দুটি ব্যঞ্জনধ্বনি থাকলে তার একটি লােপ পায়। এরূপ লােপকে বলা হয় ধ্বনিচ্যুতি বা ব্যঞ্জনচ্যুতি।
- যেমন- বউদিদি > বউদি, বড় দাদা > বড়দা ইত্যাদি।

উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০১৯ সংস্করণ)।

মূর্ধন্য ব্যঞ্জন: দন্তমূল এবং তালুর মাঝখানে যে উঁচু অংশ থাকে তার নাম মূর্ধা।
-যেসব ব্যঞ্জনধ্বনি উচ্চারণের সময়ে জিভের ডগা মূর্ধার সঙ্গে লেগে বায়ুপথে বাধা সৃষ্টি করে, সেগুলােকে মূর্ধন্য ব্যঞ্জন বলে।
- টাকা, ঠেলাগাড়ি, ডাকাত, ঢােল, গাড়ি, মূঢ় প্রভৃতি শব্দের ট, ঠ, ড, ঢ, ড়, ঢ় মূর্ধন্য ব্যঞ্জনধ্বনির উদাহরণ।

অন্যদিকে,
-  শসা শব্দের শ তালব্য ব্যঞ্জনধ্বনির উদাহরণ।
- ঘাস, শব্দের ঘ কণ্ঠ্য ব্যঞ্জনধ্বনির উদাহরণ।


উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

উৎস বিবেচনায় বাংলা শব্দভান্ডারকে চার শ্রেণিতে বিভক্ত করা যায়; তৎসম, তদ্ভব, দেশি ও বিদেশি। এর মধ্যে তৎসম ও তদ্ভব শ্রেণিকে নিজস্ব উৎসের এবং দেশি ও বিদেশি শ্রেণিকে আগন্তুক উৎসের শব্দ হিসেবে গণ্য করা হয়।

বিদেশি শব্দ: ঐতিহাসিক কারণে বাংলাদেশের সঙ্গে বিভিন্ন দেশের আন্তঃসম্পর্ক তৈরি হওয়ায় সেসব দেশের বহু শব্দ বাংলা ভাষায় স্থান করে নিয়েছে, এই শব্দগুলােকে বিদেশি শব্দ বলে। এসব বিদেশি শব্দের মধ্যে রয়েছে আরবি, ফারসি, ইংরেজি, পর্তুগিজ, ফরাসি, ওলন্দাজ, তুর্কি, হিন্দি ইত্যাদি। উদাহরণ –

⇒ আরবি : আল্লাহ, হারাম, হালাল, হজ, জাকাত, ঈদ, উকিল, কলম, নগদ, বাকি, আদালত ইত্যাদি।
⇒ ফারসি : খােদা, দোজখ, নামাজ, রােজা, চশমা, তারিখ, তোশক, দোকান, কারখানা, আমদানি, জানােয়ার ইত্যাদি।
⇒ ইংরেজি : চেয়ার, টেবিল, কলেজ, স্কুল, পেনসিল, ব্যাগ, ফুটবল, ক্রিকেট, হাসপাতাল, বাক্স,বােতল ইত্যাদি।
⇒ পর্তুগিজ : আনারস, আলপিন, আলমারি, গির্জা, গুদাম, চাবি, পাউরুটি, পাদ্রি, বালতি ইত্যাদি।
⇒ ফরাসি : কুপন, ডিপাে, রেস্তাোরা, আঁতেল, কার্তুজ ইত্যাদি।
⇒ ওলন্দাজ : হরতন, ইস্কাপন, রুইতন, টেক্কা, তুরুপ ইত্যাদি।
⇒ তুর্কি : চাকর, চাকু, তােপ, দারােগা ইত্যাদি।
⇒ হিন্দি : পানি, ধােলাই, লাগাতার, সমঝােতা, হালুয়া।


উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

উপসর্গ: যেসব শব্দাংশ শব্দমূলের পূর্বে বসে নতুন শব্দ গঠন করে, সেগুলােকে উপসর্গ বলে। ‘পরিচালক’ শব্দের ‘পরি অংশ একটি উপসর্গ।

প্রত্যয়: যেসব শব্দাংশ শব্দমূলের পরে বসে নতুন শব্দ গঠন করে, সেগুলােকে প্রত্যয় বলে। সাংবাদিক” শব্দের ইক’ অংশ একটি প্রত্যয়।

নির্দেশক: যেসব শব্দাংশ পদের সঙ্গে যুক্ত হয়ে পদকে নির্দিষ্ট করে, সেগুলােকে নির্দেশক বলে। ‘লােকটি বা ভালােটুকু পদের টি’ বা ‘টুকু হলাে নির্দেশকের উদাহরণ।

বলক: যেসব শব্দাংশ পদের সঙ্গে যুক্ত হলে বক্তব্য জোরালাে হয়, সেগুলােকে বলক বলে। তখনই বা ‘এখনও পদের ই বা ‘ও’ হলাে বলকের উদাহরণ।

উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

শব্দ বা ধাতুর পরে  অর্থহীন যেসব শব্দাংশ যুক্ত হয়ে নতুন শব্দ তৈরি করে তাকে প্রত্যয় বলে। 
- যেমন, বাঘ + আ = বাঘা, কৃ + তব্য = কর্তব্য। 
- শব্দের পরে যেসব প্রত্যয় যুক্ত হয়ে নতুন শব্দ তৈরি হয় তাকে বলে তদ্ধিত প্রত্যয়। তদ্ধিত প্রত্যয় সাধিত শব্দ কে তদ্ধিতান্ত শব্দ বলে।  যেমন, বাঘ + আ = বাঘা, - এখানে 'আ' প্রত্যয় যোগে নতুন শব্দ তৈরি হয়েছে। এবং বাঘা হলো তদ্ধিতান্ত শব্দ । 
- অন্যদিকে ধাতুর পরে যেসব প্রত্যয় যুক্ত হয়ে নতুন শব্দ তৈরি হয় তাকে বলে  কৃৎ প্রত্যয়।  কৃৎ প্রত্যয় সাধিত শব্দ কে কৃদান্ত শব্দ বলে।

বর্ধমান = বৃধ্‌ + মান (কৃৎ প্রত্যয় )
দীঘল = দীঘ + ল (তদ্ধিত প্রত্যয়) 
সৌন্দর্য = সুন্দর + য (তদ্ধিত প্রত্যয়) 
ফ্যাকাসে = ফিকা + সে  (তদ্ধিত প্রত্যয়) 

উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

ধ্বনির কম্পমাত্রা অনুযায়ী বিভাজন:
ব্যঞ্জনধ্বনি উচ্চারণের সময়ে স্বরযন্ত্রের ধ্বনিদ্বারে বায়ুর কম্পন কমবেশি হওয়ার ভিত্তিতে ব্যঞ্জনধ্বনিকে দুই ভাগে ভাগ করা যায়: ঘােষ ও অঘােষ।

⇒ ঘােষ ব্যঞ্জন
যেসব ধ্বনি উচ্চারণের সময়ে ধ্বনিদ্বারের কম্পন অপেক্ষাকৃত বেশি, সেসব ধ্বনিকে বলা হয় ঘােষধ্বনি।
যথা: ব, ভ, ম, দ, ধ, ন, র, ল, ড, ঢ, ড়, ঢ়, জ, ঝ, গ, ঘ, ঙ।

⇒ অঘােষ ব্যঞ্জন
যেসব ধ্বনি উচ্চারণের সময়ে ধ্বনিদ্বারের কম্পন অপেক্ষাকৃত কম, সেসব ধ্বনিকে বলা হয় অঘােষধ্বনি।
যথা: প, ফ, ত, থ, স, ট, ঠ, চ, ছ, শ, ক, খ, হ।

ধ্বনি সৃষ্টিতে বায়ুর প্রবাহ অনুযায়ী বিভাজন
ব্যঞ্জনধ্বনি উচ্চারণের সময়ে বায়ুপ্রবাহের বেগ কমবেশি হওয়ার ভিত্তিতে ব্যঞ্জনধ্বনিকে দুই ভাগে ভাগ করা যায়: অল্পপ্রাণ ও মহাপ্রাণ।

⇒ অল্পপ্রাণ ব্যঞ্জন
সেসব ধ্বনি উচ্চারণের সময়ে ফুসফুস থেকে নির্গত বায়ুপ্রবাহের মাত্রা অপেক্ষাকৃত কম, সেগুলােকে বলা হয় অল্পপ্রাণ ধ্বনি।
যেমন – প, ব, ত, দ, স, ট, ড, ঢ, চ, জ, শ, ক, গ ইত্যাদি।

⇒ মহাপ্রাণ ব্যঞ্জন
সেসব ধ্বনি উচ্চারণের সময়ে ফুসফুস থেকে নির্গত বায়ুপ্রবাহ অপেক্ষাকৃত বেশি, সেগুলােকে বলা হয় মহাপ্রাণ ধ্বনি।
যেমন – ফ, ভ, থ, ধ, ঠ, ড, ঢ, ছ, ঝ, খ, ঘ, হ ইত্যাদি।


উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

প্রশ্নের কোনো অপশনেই সবগুলো ধ্বনি - অঘোষ মহাপ্রাণ নয়।
অপশন ঘ) তে ক এর স্থলে 'খ' হলে সঠিক উত্তর হিসাবে ঘ) গ্রহণযোগ্য হতো।

প্রত্যয় যোগ করলে শব্দের অর্থ অনেক সময় বদলে যায়- 

- অবজ্ঞা অর্থে: চোর→চোরা। 
- বৃহৎ অর্থে: ডিঙি → ডিঙা।
- সদৃশ  অর্থে: বাঘ→ বাঘা।
- আগত অর্থে: দখিন → দখিনা।
- আদর অর্থে: কানু → কানাই।
- জাত অর্থে: ঢাকা → ঢাকাই। 
- ভাব অর্থে: ইতর → ইতরামি।
- নিন্দা অর্থে: জেঠা → জেঠামি।
- পেশা অর্থে: ডাক্তার → ডাক্তারি।
- মালিক অর্থে: জমিদার → জমিদারি।
- উপকরণ অর্থে: মাটি → মেটে। 
- নৈপুণ্য অর্থে: না → নেয়ে।
- রোগগ্রস্থ অর্থে: বাত → বেতো।
- যুক্ত অর্থে: টাক  → টেকো।
- সংশ্লিষ্ট অর্থে: গাঁ → গেঁয়ো। 

উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

অন্যূন  [অন্‌নুনো] [স. ন+নি+√ঊন্‌+অ] ক্রিয়াবিশেষণ
- অন্তত;
- কমপক্ষে
বিশেষণ  - সম্পূর্ণ
              - সমগ্র

উৎস: আধুনিক বাংলা অভিধান, একাডেমি অভিধান।

উৎস বিবেচনায় বাংলা শব্দভান্ডারকে চার শ্রেণিতে বিভক্ত করা যায়; তৎসম, তদ্ভব, দেশি ও বিদেশি। এর মধ্যে তৎসম ও তদ্ভব শ্রেণিকে নিজস্ব উৎসের এবং দেশি ও বিদেশি শ্রেণিকে আগন্তুক উৎসের শব্দ হিসেবে গণ্য করা হয়।

⇒তৎসম শব্দ : প্রাচীন ভারতীয় আর্যভাষা থেকে বিবর্তিত যেসব বাংলা শব্দের লিখিত চেহারা সংস্কৃত ভাষার শব্দের অনুরূপ সেগুলােকে তৎসম শব্দ বলে। যথা: পৃথিবী, আকাশ, গ্রহ, বৃক্ষ। সংস্কৃত ব্যাকরণ অনুসরণ করে গঠিত পারিভাষিক শব্দকেও তৎসম শব্দ বলা হয়। যথা: অধ্যাদেশ, গণপ্রজাতন্ত্রী, মহাপরিচালক, সচিবালয় ইত্যাদি।


উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

কল্যাণীয়াসু (কোল্‌ল্যানিআশু), বিশেষ্য
- [স. কল্যাণীয় + আসু]
- স্নেহভাজন নারীকে  লিখিত পত্রের সম্বোধন সূচক পাঠ। 

উৎস: একাডেমি অভিধান আধুনিক বাংলা অভিধান।

সংখ্যাবর্ণ: বাংলা ভাষায় সংখ্যা নির্দেশের জন্য দশটি সংখ্যাবর্ণ রয়েছে। যথা: ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ০।


উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

এক বা একাধিক ধ্বনি দিয়ে তৈরি শব্দের মূল অংশকে শব্দমূল বলে। শব্দমূলের এক নাম প্রকৃতি।
- প্রকৃতি দুই ধরনের: নামপ্রকৃতি ও ক্রিয়াপ্রকৃতি।
- ক্রিয়াপ্রকৃতির অন্য নাম ধাতু।
- নামপ্রকৃতি ও ধাতুর সঙ্গে কিছু শব্দাংশ যুক্ত হয়ে নতুন শব্দ তৈরি হয়। নামপ্রকৃতির উদাহরণ: মা, গাছ, শির, লতা ইত্যাদি। ধাতুর উদাহরণ: ক, যা, চল, ধৃ ইত্যাদি।

নামপ্রকৃতি ও ধাতুর সঙ্গে যেসব শব্দাংশ যুক্ত হয়ে নতুন শব্দ তৈরি হয়, সেগুলাের নাম উপসর্গ ও প্রত্যয়।

উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

দুষ্কৃতকারী (দুশ্‌কৃতোকারি) [স. দুষ্কৃত + √কৃ+ইন]
বিশেষণ 
- দুষ্কর্মকারী
- অন্যায়কারী
- অপরাধী। 

উৎস: আধুনিক বাংলা অভিধান, একাডেমি অভিধান।

শব্দ যখন বাক্যের মধ্যে থাকে, তখন তার নাম হয় পদ। পদে পরিণত হওয়ার সময়ে শব্দের সঙ্গে কিছু শব্দাংশ যুক্ত হয়, এগুলাের নাম লগ্নক।
লগ্নক চার ধরনের:

বিভক্তি : ক্রিয়ার কাল নির্দেশের জন্য এবং কারক বােঝাতে পদের সঙ্গে যেসব শব্দাংশ যুক্ত থাকে, সেগুলােকে বিভক্তি বলে। বিভক্তি দুই প্রকার: ক্রিয়া-বিভক্তি ও কারক-বিভক্তি। করলাম ক্রিয়াপদের লাম’ শব্দাংশ হলাে ক্রিয়া-বিভক্তি এবং কৃষকের পদের ‘এর’ শব্দাংশ কারক-বিভক্তির উদাহরণ।

নির্দেশক: যেসব শব্দাংশ পদের সঙ্গে যুক্ত হয়ে পদকে নির্দিষ্ট করে, সেগুলােকে নির্দেশক বলে। ‘লােকটি বা ভালােটুকু পদের টি’ বা ‘টুকু হলাে নির্দেশকের উদাহরণ।

বচন: যেসব শব্দাংশ পদের সঙ্গে যুক্ত হয়ে পদের সংখ্যা বােঝায়, সেগুলােকে বচন বলে। ছেলেরা বা বইগুলাে পদের রা’ বা ‘গুলাে হলাে বচনের উদাহরণ।

বলক: যেসব শব্দাংশ পদের সঙ্গে যুক্ত হলে বক্তব্য জোরালাে হয়, সেগুলােকে বলক বলে। তখনই বা ‘এখনও পদের ই বা ‘ও’ হলাে বলকের উদাহরণ।

উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

ন্যূনতম (নুনোতমো) 
- [স. ন্যূন+তমট্‌]
- এটি বিশেষণ পদ,
- শব্দটির অর্থ - সর্বনিম্ন

উৎস: বাংলা একাডেমি অভিধান আধুনিক বাংলা অভিধান।

শব্দ যখন বাক্যের মধ্যে থাকে, তখন তার নাম হয় পদ। পদে পরিণত হওয়ার সময়ে শব্দের সঙ্গে কিছু শব্দাংশ যুক্ত হয়, এগুলাের নাম লগ্নক।
লগ্নক চার ধরনের:
- বিভক্তি
- নির্দেশক
- বচন
- বলক

বাক্যের যেসব পদে লগ্নক থাকে সেগুলােকে সলগ্নক পদ এবং যেসব পদে লগ্নক থাকে না সেগুলােকে অলগ্নক পদ বলে।
- ছেলেরা ক্রিকেট খেলে’- এই বাক্যের ‘ছেলেরা ও ‘খেলে সলক পদ আর ক্রিকেট অলগ্নক পদ।
অনুরূপভাবে, 'বন্যেরা বনে সুন্দর শিশুরা মাতৃক্রোড়ে'- বাক্যে 'বন্যেরা', 'বনে', 'শিশুরা', 'মাতৃক্রোড়ে' সলগ্নক পদ এবং 'সুন্দর'  অলগ্নক পদ। 

উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

বিভক্তি : ক্রিয়ার কাল নির্দেশের জন্য এবং কারক বােঝাতে পদের সঙ্গে যেসব শব্দাংশ যুক্ত থাকে, সেগুলােকে বিভক্তি বলে। বিভক্তি দুই প্রকার: ক্রিয়া-বিভক্তি ও কারক-বিভক্তি। করলাম ক্রিয়াপদের লাম’ শব্দাংশ হলাে ক্রিয়া-বিভক্তি এবং কৃষকের পদের ‘এর’ শব্দাংশ কারক-বিভক্তির উদাহরণ।

নির্দেশক: যেসব শব্দাংশ পদের সঙ্গে যুক্ত হয়ে পদকে নির্দিষ্ট করে, সেগুলােকে নির্দেশক বলে। ‘লােকটি বা ভালােটুকু পদের টি’ বা ‘টুকু হলাে নির্দেশকের উদাহরণ।

বচন: যেসব শব্দাংশ পদের সঙ্গে যুক্ত হয়ে পদের সংখ্যা বােঝায়, সেগুলােকে বচন বলে। ছেলেরা বা বইগুলাে পদের রা’ বা ‘গুলাে হলাে বচনের উদাহরণ।

বলক: যেসব শব্দাংশ পদের সঙ্গে যুক্ত হলে বক্তব্য জোরালাে হয়, সেগুলােকে বলক বলে। তখনই বা ‘এখনও পদের ই বা ‘ও’ হলাে বলকের উদাহরণ।

উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

শব্দ বা ধাতুর পরে  অর্থহীন যেসব শব্দাংশ যুক্ত হয়ে নতুন শব্দ তৈরি করে তাকে প্রত্যয় বলে। 
- যেমন, বাঘ + আ = বাঘা, কৃ + তব্য = কর্তব্য। 
- শব্দের পরে যেসব প্রত্যয় যুক্ত হয়ে নতুন শব্দ তৈরি হয় তাকে বলে তদ্ধিত প্রত্যয়। তদ্ধিত প্রত্যয় সাধিত শব্দ কে তদ্ধিতান্ত শব্দ বলে।  যেমন, বাঘ + আ = বাঘা, - এখানে 'আ' প্রত্যয় যোগে নতুন শব্দ তৈরি হয়েছে। এবং বাঘা হলো তদ্ধিতান্ত শব্দ । 
- অন্যদিকে ধাতুর পরে যেসব প্রত্যয় যুক্ত হয়ে নতুন শব্দ তৈরি হয় তাকে বলে  কৃৎ প্রত্যয়।  কৃৎ প্রত্যয় সাধিত শব্দ কে কৃদান্ত শব্দ বলে।

মানান + সই = মানানসই
- এটি তদ্ধিত প্রত্যয়ের উদাহরণ। 


উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

প্রত্যয় যোগ করলে শব্দের অর্থ অনেক সময় বদলে যায়- 

- অবজ্ঞা অর্থে: চোর→চোরা। 
- বৃহৎ অর্থে: ডিঙি → ডিঙা।
- সদৃশ  অর্থে: বাঘ→ বাঘা।
- আগত অর্থে: দখিন → দখিনা।
- আদর অর্থে: কানু → কানাই।
- জাত অর্থে: ঢাকা → ঢাকাই। 
- ভাব অর্থে: ইতর → ইতরামি।
- নিন্দা অর্থে: জেঠা → জেঠামি।
- পেশা অর্থে: ডাক্তার → ডাক্তারি।
- মালিক অর্থে: জমিদার → জমিদারি।
- উপকরণ অর্থে: মাটি → মেটে। 
- নৈপুণ্য অর্থে: না → নেয়ে।
- রোগগ্রস্থ অর্থে: বাত → বেতো।
- যুক্ত অর্থে: টাক  → টেকো।
- সংশ্লিষ্ট অর্থে: গাঁ → গেঁয়ো। 

উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

স্বরসঙ্গতি (Vowel harmony) : একটি স্বরধ্বনির প্রভাবে শব্দে অপর ঘরের পরিবর্তন ঘটলে তাকে বরসঙ্গতি বলে।
যেমন – দেশি > দিশি, বিলাতি > বিলিতি, মুলা > মুলাে ইত্যাদি।

⇒ প্রগত (Progressive) : আদিস্বর অনুযায়ী অন্ত্যস্বর পরিবর্তিত হলে প্রগত স্বরসঙ্গতি হয়।
যেমন- মুলা » মুলাে, শিকা » শিকে, তুলা > তুলল।
⇒ পরাগত (Regressive) : অন্ত্যস্বরের কারণে আদ্যস্বর পরিবর্তিত হলে রাগত স্বরসঙ্গতি হয়।
যেমন- আখাে> আখুয়া > এখাে, দেশি > দিশি।
⇒ মধ্যগত (Mutual) : আদ্যস্বর ও অন্ত্যস্বর অনুযায়ী মধ্যস্বর পরিবর্তিত হলে মধ্যগত স্বরসঙ্গতি হয়।
যেমন- বিলাতি > বিলিতি।
⇒ অনন্যান্য (Reciprocal) ; আদ্য ও অন্ত্য দুই সরই পরস্পর প্রভাবিত হলে অনন্যান্য স্বরসঙ্গতি হয়।
যেমন – মােজা > মুজো।

উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০১৯ সংস্করণ)।

⇒ দন্তমূলীয় ব্যঞ্জন
যেসব ব্যঞ্জনধ্বনি উচ্চারণের সময়ে জিভের ডগা উপরের পাটির দাঁতের গােড়ার সঙ্গে লেগে বায়ুপথে বাধা সৃষ্টি করে, সেগুলােকে দন্তমূলীয় ব্যঞ্জন বলে। নানা, রাত, লাল, সালাম প্রভৃতি শব্দের ন, র, ল, স দন্ত্যমূলীয় ব্যঞ্জনধ্বনির উদাহরণ।

⇒ দণ্ড্য ব্যঞ্জন
যেসব ব্যঞ্জনধ্বনি উচ্চারণের সময়ে জিভের ডগা উপরের পাটির দাঁতে লেগে বায়ুপথে বাধা সৃষ্টি করে, সেগুলােকে দন্ত্য ব্যঞ্জন বলে। তাল, থালা, দাদা, ধান প্রভৃতি শব্দের ত, থ, দ, ধ দন্ত্য ব্যঞ্জনধ্বনির উদাহরণ।

⇒ ওষ্ঠ্য ব্যঞ্জন
যেসব ব্যঞ্জনধ্বনি উচ্চারণের সময়ে ঠোট দুটি কাছাকাছি এসে বায়ুপথে বাধা সৃষ্টি করে, সেগুলােকে ওষ্ঠ্য ব্যঞ্জন বলে। এগুলাে দ্বি-ওষ্ঠ্য ধ্বনি নামেও পরিচিত। পাকা, ফল, বাবা, ভাই, মা প্রভৃতি শব্দের প, ফ, ব, ভ, ম ওষ্ঠ্য ব্যঞ্জনধ্বনির উদাহরণ।

⇒মূর্ধন্য ব্যঞ্জন
দন্তমূল এবং তালুর মাঝখানে যে উঁচু অংশ থাকে তার নাম মূর্ধা। যেসব ব্যঞ্জনধ্বনি উচ্চারণের সময়ে জিভের ডগা মূর্ধার সঙ্গে লেগে বায়ুপথে বাধা সৃষ্টি করে, সেগুলােকে মূর্ধন্য ব্যঞ্জন বলে। টাকা, ঠেলাগাড়ি, ডাকাত, ঢােল, গাড়ি, মূঢ় প্রভৃতি শব্দের ট, ঠ, ড, ঢ, ড়, ঢ় মূর্ধন্য ব্যঞ্জনধ্বনির উদাহরণ।

উৎস: মাধ্যমিক বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি (২০২১ সংস্করণ)।

পৌনঃপুনিক (পোউ্‌নোপ্‌পুনিক্‌)
- [স. পুনঃপুনঃ+ইক]
- বিশেষণ
- নিয়মিতভাবে বার বার ঘটে এমন। 
- দশমিক বিন্দুর পরে যে সংখ্যা বার বার ফিরে আসে। 

উৎস: বাংলা একাডেমি আধুনিক বাংলা অভিধান।

দেয়া আছে, 
x - 1/x= 5

x³ - 1/x³ = x³ - (1/x)³
               = (x-1/x)³ + 3x.(1/x).(x - 1/x)
               = 5³ + 3.1.5
               = 125 + 15
              = 140

। 3x + 2 । < 7
- 7 < 3x + 2  < 7
- 7 - 2 < 3x + 2 - 2 < 7 - 2
- 9 < 3x < 5 
(- 9/3) < (3x/3) < (5/3)
- 3 < x < (5/3) 

দেয়া আছে, 
x² - √5x + 1 = 0
x² + 1 =  √5x
(x² + 1)/x = √5x/x
x²/x + 1/x = √5
x + 1/x = √5

এখন 
x² + 1/x² = (x)² + (1/x)² 
                = (x +1/x)² - 2. x.1/x
                 = (√5)² - 2
                 = 5 - 2
                 = 3 

x² - 5x + 6 < 0
∴ (x - 2)(x - 3) < 0

x² - 5x + 6 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0 হয়।
এখন, x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0
অর্থাৎ,  x < 2 এবং x > 3
2 এর চেয়ে ছোট এবং 3 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 5x + 6 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0 হয়।
এখন,  x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0
অর্থাৎ x > 2 এবং x < 3
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 3 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 2 < x < 3

4x² - ax + 9
= (2x)² - 2.2x.3 + 3² - ax + 2.2x.3
= (2x - 3)² + 12x - ax

রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে,
12x - ax = 0
বা, ax = 12x
∴ a = 12

(m/1) > (1/n) 
m > (1/n)
mn > (1/n) × n
mn > 1

দেয়া আছে, 
(a/b) + (b/a) = - 2

(a²/b²) + (b²/a²) = (a/b)² + (b/a)² 
                            = {(a/b) + (b/a)}² - 2 .(a/b) .(b/a)
                            = (- 2)² - 2
                            = 4 - 2 
                            = 2 

x² - 7x + 12 < 0 
x² - 4x - 3x + 12 < 0
x(x - 4) - 3 (x - 4)< 0
 (x - 4)(x - 3) < 0

অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 3 > 0 এবং x - 4 < 0হয়।           
x - 3 > 0
বা, x > 3
x - 4 < 0
বা, x < 4
x > 3এবং x < 4 অর্থাৎ x এর মান 3 এর চেয়ে বড় এবং 4 এর চেয়ে ছোট হবে।
অসমতাটি সত্য হবে যদি 3 < x < 4 হয়।
অসমতাটির সমাধানঃ 3 < x < 4

আবার, অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 3 < 0 এবং x - 4 > 0 হয়।
x - 3 < 0
বা, x < 3
x - 4 > 0
বা, x > 4
x < 3 এবং x > 4 অর্থাৎ  3 এর চেয়ে ছোট এবং 4 এর চেয়ে বড় এমন সংখ্যা পাওয়া অসম্ভব।
সুতরাং অসমতাটির সমাধানঃ 3 < x < 4

দেয়া আছে, 
x - y = 6
xy = 16

আমরা জানি  
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
 (x + y)²= 6² + 4 × 16
 (x + y)² = 36 + 64
 (x + y)² = 100
∴ x + y = 10

12p² + 7p - 10 
= 12p² - 8p + 15p - 10 
= 4p (3p - 2) + 5(3p - 2)
=(3p - 2)(4p + 5)

দেয়া আছে,
x² + 4 = 4x 
x² - 2 .x 2 + 2² = 0
(x - 2)² = 0 
x - 2 = 0 
x = 2 

x/(x² + x - 1) = 2/(2² + 2 - 1)
                     = 2/(4 + 2 - 1)
                     = 2/5

মনেকরি 
প্রথম সংখ্যা a 
দ্বিতীয় সংখ্যা b 

শর্তমতে, 
2a + 3b = 39.........(1)
3a + 2b = 36........... (2)

(1)নং  × 2 - (2)নং × 3 ⇒
4a + 6b - 9a - 6b = 78 - 108 
- 5a = - 30 
a = 6 

(1)নং সমীকরণে a এর মান বসিয়ে পাই,   
2a + 3b = 39
2 × 6 + 3b = 39 
12 + 3b = 39 
3b = 39 - 12 
3b = 27
b = 9 

সংখ্যা দুটি হলো : 6 এবং  9

দেয়া আছে,
x⁴ + 2x² + 1 = 5x²
(x⁴ + 2x² + 1)/x² = 5x²/x²
x² + 2 + 1/x² = 5 
x² + 1/x² = 5 - 2 
(x + 1/x)² - 2 x . 1/x = 3 
(x + 1/x)²  = 3 + 2 
(x + 1/x)² = 5
x + 1/x = √5

ধরি, 
সংখ্যাটি  x
 প্রশ্নমতে, 
5x < 2x + 15 
5x - 2x < 15 
3x < 15 
x < 5 

অসমতাটি হবে :  0< x < 5 

দেয়া আছে, 
x + y + z = 3
x² + y² + z² = 5

আমরা জানি, 
(x + y + z)² =  (x² + y² + z²) + 2(xy + yz + zx)
3² = 5 + 2(xy + yz + zx)
9 - 5 = 2(xy + yz + zx)
4 = 2(xy + yz + zx)
xy + yz + zx = 4/2 
xy + yz + zx =2 

a² - 4a + 3 = 0  
a² - 3a - a + 3 = 0
a(a - 3) - 1(a - 3) = 0
(a - 3)(a - 1) = 0
হয়                          অথবা 
a - 3 = 0                a - 1 = 0 
a = 3                        a = 1

ধরি ,
বড় টুকরার দৈর্ঘ্য = x
ছোট টুকরার দৈর্ঘ্য = 2x/5

প্রশ্নমতে, 
x + 2x/5 = 70
(5x + 2x)/5 = 70
7x/5 = 70 
x = (70 × 5)/7
x = 50

ছোট টুকরার দৈর্ঘ্য = (2× 50)/5
                             = 20 

দেয়া আছে, 
x + y + 4  = 0 = x - y - 12

x + y + 4  = 0
x + y = - 4 ........... (1)

 x - y - 12 = 0
 x - y = 12 ........... (2)

(1) নং + (2) নং ⇒
x + y + x - y = - 4 + 12 
2x = 8 
x = 4 
(1) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই, 
x + y = - 4
4 + y = - 4 
y = - 4 - 4 
y = - 8

2x + y = 2 × 4 + (- 8)  
           = 8 - 8 
           = 0 

ধরি 
লিংকন পায় = x টাকা 
জামাল পায় = x/5 
কামাল পায় = 2x/5

প্রশ্নমতে, 
x + ( x/5) + (2x/5) = 1000
(5x + x + 2x)/5 = 1000
8x/5 = 1000
8x = 1000 × 5
x = (1000 × 5)/8 
x = 625 


লিংকন পায় = 625 টাকা

ধরি, 
2 নম্বরের প্রশ্নের সঠিক উত্তর দিয়ে ছিল x টি 
4 নম্বরের প্রশ্নের সঠিক উত্তর দিয়ে ছিল (15 -x)টি 

শর্তমতে, 
2x + 4(15 -x) = 40 
2x + 60 - 4x = 40 
- 2x = 40 - 60 
- 2x = - 20  
    x = 10 

আমরা জানি, 
কোনো অসমতার উভয় পক্ষে কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয়। 
'>' চিহ্ন হবে '<' এবং '<' চিহ্ন হবে '>'

দেওয়া আছে 
c < 0, অর্থাৎ c ঋণাত্মক 
 তাহলে a > b এর সাথে c গুণ করলে ac < bc হবে।

ধরি, 
f(x) = x³ - x - 6
f(2) = 2³ - 2 - 6
f(2) =8 - 8
       = 0 
x = 2 হলে রাশিটির মান শুন্য হয়।
∴ (x - 2), f(x) এর একটি উৎপাদক।

x³ - x - 6
= x³ - 2x² + 2x² - 4x + 3x - 6
= x²(x - 2) + 2x(x - 2)+ 3 (x - 2)
= (x - 2)(x² + 2x + 3)

ধরি, 
 ৭ বছর পূর্বে আসিফের বয়স ছিল = ৫ক বছর 
 ৭ বছর পূর্বে আশিকের বয়স ছিল = ৭ক বছর 

বর্তমানে আসিফের বয়স = ৫ক + ৭ বছর 
বর্তমানে আশিকের বয়স = ৭ক + ৭ বছর 

প্রশ্নমতে, 
(৭ক + ৭)  - (৫ক + ৭) = ১৪ 
৭ক + ৭  - ৫ক - ৭ = ১৪
২ক = ১৪ 
ক = ৭ 

বর্তমানে আশিকের বয়স = (৭× ৭) + ৭ বছর 
                                      = ৪৯ + ৭ বছর 
                                      = ৫৬ বছর 

(x/3) - (x/4) = (x+1)/6
⇒ (4x - 3x)/12 = (x+1)/6
⇒ x/12 = (x+1)/6
⇒ 6x = 12x +12
⇒ 6x - 12x = 12
⇒ - 6x = 12 
∴x = -2

ধরি, 
১ম বিজোড় সংখ্যা = x 
২য় বিজোড় সংখ্যা = x + 2
৩য় বিজোড় সংখ্যা = x + 2 + 2 = x + 4

প্রশ্নমতে, 
3x = 2(x + 4) + 3
3x = 2x + 8 + 3 
3x - 2x = 11 
x = 11

৩য় বিজোড় সংখ্যা= x + 4
                            = 11 + 4 
                            = 15 

দেয়া আছে,
3x - 5y + 9 = 0   
5x - 3y - 1 = 0

3x - 5y = - 9 ..........(1)
5x - 3y = - 1.......... (2)

(1)নং  × 3 - (2)নং  × 5 ⇒

9x - 15y - 25x +  15y = - 27 - 5 
- 16x = - 32 
x = 2 

(1)নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই 
3x - 5y = - 9
3 × 2 - 5y = -9 
6 - 5y = - 9
- 5y = - 9 -6
- 5y = - 15 
y = 3 

নির্ণেয় সমাধান (x,y) =(2,3) 

ধরি,
ছোট সংখ্যাটি x
বড় সংখ্যাটি x + 16 

প্রশ্নমতে, 
(x/3)  - {(x + 16)/ 7} = 4
{7x - 3(x + 16)}/21 = 4
7x - 3x - 48 = 84 
4x = 84 + 48 
4x = 132
x = 132/4 
x = 33
বড় সংখ্যাটি = 33 +16 
                   = 49 

ধরি, 
বালকের সংখ্যা x জন
বালিকার সংখ্যা 70 - x জন

প্রশ্নমতে, 
2x +3 (70 - x) =180
2x + 210 - 3x = 180 
210  - x = 180 
x = 210 - 180 
x = 30 

কাগজের ক্ষেত্রফল 40 বর্গ সে. মি
 x  সে. মি. দীর্ঘ  এবং 5 সে. মি. প্রস্থবিশিষ্ট কাগজ কেটে নেওয়া হলো

প্রশ্নমতে, 
5x < 40 
x < 8
দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে ছোট হতে পারে না।  

x এর সম্ভাব্য মান 5 < x < 8

ধরি
১ম অংশ x 
২য় অংশ 74 - x 

প্রশ্নমতে, 
5x + 11(74 - x) = 454
5x + 814 - 11x =454 
6x = 360
x = 60 

১ম অংশ 60  
২য় অংশ 74 - 60 = 14  


 

4a + 3b = 15.......... (1)
5a + 4b = 19 ........... (2)

(1) × 4 -  (2) × 3 ⇒
16a + 12b - 15a -12b = 60 - 57 
 a = 3 

(1)নং এ a এর মান বসিয়ে পাই,
4 × 3 + 3b = 15
3b = 15 - 12 
3b = 3 
b =1 

নির্ণেয় সমাধান (x,y) = (3,1)

ধরি,
সংখ্যা দুইটি a ও b।
a + b = 18 
ab = 72

এখন,
(1/a) + (1/b)
= (b+a)/ab
= 18/72
= 1/4

ধরি,
f(x) = 3x³ + 2x² - 21x - 20
 f(-1) = 3.(-1)³ + 2.(-1)² - 21.(-1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 0
x = -1 হলে রাশিটির মান শূন্য হয়।
∴ (x + 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।
 
এখন,
3x³ + 2x² - 21x - 20
= 3x³ + 3x² - x² - x - 20x - 20
= 3x²(x +1) - x(x +1) - 20(x + 1)
= (x +1)(3x² - x - 20)