পরীক্ষা আর্কাইভ

Math Master

পরীক্ষাMath Masterতারিখতারিখ অনির্ধারিতসময়24 minutes
মোট প্রশ্ন১৭
সিলেবাস
পরীক্ষা – ১২: ত্রিভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য ও পীথাগোরাসের উপপাদ্য (Live Interactive Class – 15)
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

Math Master

Math Master · তারিখ অনির্ধারিত · ১৭ প্রশ্ন

.
যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের-
  1. ক) মধ্যমা
  2. খ) উচ্চতা
  3. গ) পরিসীমা
  4. ঘ) ক ও গ উভয়ই
ব্যাখ্যা
তিনটি রেখাংশ দ্বারা আবদ্ধ চিত্র একটি ত্রিভুজ। 
রেখাংশগুলোকে ত্রিভুজের বাহু বলে।
যেকোনো দুইটি বাহুর সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়। 
ত্রিভুজের যেকোনো দুইটি বাহু শীর্ষবিন্দুতে কোণ উৎপন্ন করে। 
ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তিনটি কোণ রয়েছে।

ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলে। 
ত্রিভুজের বাহুগুলো দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকেত্রিভুজক্ষেত্র বলে।
ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা।
.
ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ফলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ ∠ACD = ? 
  1. ক) ∠ABC + ∠ACB
  2. খ) ∠ACB + ∠BAC
  3. গ) (1/2)(∠ACB + ∠BAC)
  4. ঘ) ∠ABC + ∠BAC
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ফলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ ∠ACD = ? 

সমাধান: 
১. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর।I
৩. সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক।
 
ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। 
বহিঃস্থ কোণ ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC
.
নিচের তিনটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য মিটারে দেওয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব না?
  1. ক) 4, 5, 6
  2. খ) 5, 6, 7
  3. গ) 7, 8, 9
  4. ঘ) 1, 2, 3
ব্যাখ্যা
নিচের তিনটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য মিটারে দেওয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব না?

 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।
এখানে একমাত্র অপশন ঘ তে, 1 + 2 = 3 বাহু গুলো দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।
.
প্রদত্ত চিত্রে ΔABC এর ∠ABC > ∠ACB হলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক) AC = AB
  2. খ) AC = 2AB
  3. গ) AC > AB
  4. ঘ) AB > AC
ব্যাখ্যা
প্রদত্ত চিত্রে ΔABC এর ∠ABC > ∠ACB হলে নিচের কোনটি সঠিক?
 
আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
 ΔABC এর ∠ABC > ∠ACB 
AC > AB
.
ΔABC এ D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু। BC বাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. হলে, DE বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 
  1. ক) 12 সে.মি.
  2. খ) 6 সে.মি.
  3. গ) 18 সে.মি.
  4. ঘ) 9 সে.মি.
ব্যাখ্যা
ΔABC এ D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু। BC বাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. হলে, DE বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 
 
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
DE =(1/2)BC
      = (1/2) × 12 সে.মি.
      = 6 সে.মি.
.
সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি ৪৫° হলে অপরটি কত? 
  1. ক) ৫৫°
  2. খ) ৩৫°
  3. গ) ৪৫°
  4. ঘ) ১৩৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি ৪৫ ডিগ্রি হলে অপরটি কত? 

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষকোণ দ্বয়ের সমষ্টি ৯০° 
একটি কোণ ৪৫ ডিগ্রী হলে অপর কোণটি হবে ৯০ - ৪৫ =  ৪৫° 
.
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক?
i. বৃহত্তম বাহুটি অতিভুজ
i. ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি বৃহত্তম বাহুর বর্গের সমান ।
iii. সূক্ষকোণদ্বয় পরস্পরের পূরক
  1. ক) i
  2. খ) ii ও iii
  3. গ) i, ও iii
  4. ঘ) i, ii ও iii
ব্যাখ্যা
সমকোণী ত্রিভুজের-
i. বৃহত্তম বাহুটি অতিভুজ
i. ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি বৃহত্তম বাহুর বর্গের সমান ।
iii. সূক্ষকোণদ্বয় পরস্পরের পূরক 

প্রতিটি তথ্যই সঠিক।  অপশন ঘ সঠিক উত্তর
.
কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9 সে.মি. ও 12 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 
  1. ক) 36 বর্গ সে.মি.
  2. খ) 54 বর্গ সে.মি.
  3. গ) 27 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ) 18 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9 সে.মি. ও 12 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
মনেকরি,
ত্রিভুজের বাহুদ্বয় যথাক্রমে a = 9 সে.মি. ও b = 12 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 30°

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)ab sinθ
                               = (1/2) × 9 × 12 × sin30°
                               = (1/2) × 9 × 12 × (1/2)
                               = 27 বর্গ সে.মি.
.
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান কোণদ্বয়ের একটি 52° হলে, তৃতীয় কোণের পরিমাণ কত ? 
  1. ক) 76°
  2. খ) 52°
  3. গ) 26°
  4. ঘ) 128°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান কোণদ্বয়ের একটি 52° হলে, তৃতীয় কোণের পরিমাণ কত ? 

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°

সমান কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 52° + 52°
= 104°

∴ অপর কোণ = 180° - 104°
= 76°
১০.
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ a একক এবং অপর বাহুদ্বয়ের একটি b একক হলে, ৩য় বাহুটির দৈর্ঘ্য কত একক?
  1. ক) √(a2 + b2)
  2. খ) 2√(a2 - b2)
  3. গ) √(a2 - b2)
  4. ঘ) √(a2 - b2)/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ a একক এবং অপর বাহুদ্বয়ের একটি b একক হলে, ৩য় বাহুটির দৈর্ঘ্য কত একক?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ a  একক 
অপর বাহুদ্বয়ের একটি b একক

ধরি,
৩য় বাহুটির দৈর্ঘ্য  = x 

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে -
b2 + x2 = a2
x2 = a2 - b2
a =√(a2 - b2)
১১.
কোনো ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের বিয়োগফল ০° হলে ত্রিভুজটি হবে-
  1. ক) সমবাহু ত্রিভুজ
  2. খ) বিষমবাহু ত্রিভুজ
  3. গ) সমকোণী ত্রিভুজ
  4. ঘ) কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের বিয়োগফল ০° হলে ত্রিভুজটি হবে-

 সমাধান: 
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের মান 60°।
সুতরাং একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ উভয় পাশে 180° - 60° = 120°।
সুতরাং বহিঃস্থ কোণ দুটির বিয়োগফল = 120° - 120° = 0°
১২.
দুইটি ত্রিভুজ সদৃশ হলে-
  1. ক) অনুরূপ কোণগুলো সমান
  2. খ) অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক
  3. গ) অনুরূপ কোণগুলো অসমান
  4. ঘ) ক ও খ
ব্যাখ্যা
দুইটি ত্রিভুজ বা বহুভুজ সদৃশ হলে
- অনুরূপ কোণগুলো সমান।
- অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক।

- সদৃশ চিত্রের বাহুগুলোর অনুপাত দ্বারা মূল চিত্রের তুলনায় অন্য চিত্রের বর্ধন অথবা সঙ্কোচন বোঝায়।
- সদৃশ চিত্র একই আকৃতির কিন্তু আকারে সমান নাও হতে পারে।
- সদৃশ চিত্রের আকার সমান হলে তা সর্বসম চিত্রে পরিণত হয়।
সুতরাং সর্বসমতা সদৃশতার বিশেষ রূপ ।
১৩.
নিচে ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন পরিমাপের জন্য একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?
  1. ক) 8,10,12
  2. খ) 4,4,5
  3. গ) 7, 24, 25
  4. ঘ) 2, 3, 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচে ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন পরিমাপের জন্য একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

সমাধান: 
অতিভুজ = 25 একক 
লম্ব = 24 একক 
ভূমি = 7 একক 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে আমরা পাই,
(অতিভুজ)2 = (লম্ব)2 + (ভূমি)2
252 = 242 + 72
625 = 576 + 49

7, 24, 25 বাহু তিনটি দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব
১৪.
ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুকে বলা হয় ত্রিভুজটির-
  1. ক) পরিকেন্দ্র
  2. খ) অন্ত:কেন্দ্র
  3. গ) ভরকেন্দ্র
  4. ঘ) লম্বকেন্দ্র
ব্যাখ্যা
ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র :
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।
তৃতীয় বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকও ঐ বিন্দুগামী।

ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র:

ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুকে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র বলা হয়।
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রে মধ্যমাগুলো 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত হয়।
১৫.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 1 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 5√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক) 8.5 মিটার
  2. খ) 9.5 মিটার
  3. গ) 7.5 মিটার
  4. ঘ) 6.5 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 1 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 5√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
 
সমাধান: 
মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
তাহলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a2/4

প্রশ্নমতে,
√3(a +1)2/4 - √3a2/4= 5√3
⇒ (√3/4){(a + 1)2 - a2} = 5√3
⇒ a2 + 2a + 1 - a2 = 20
⇒ 2a = 19
      a = 9.5
১৬.
একটি মই এর এক প্রান্ত ভূমি থেকে 15 মিটার উঁচু ঘরের জানালা বরাবর পৌঁছায় অপর প্রান্ত ঘর থেকে 8  মিটার দূরে থাকলে মই এর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক) 13 মিটার
  2. খ) 14মিটার
  3. গ) 15 মিটার
  4. ঘ) 17 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি মই এর এক প্রান্ত ভূমি থেকে 15 মিটার উঁচু ঘরের জানালা বরাবর পৌঁছায় অপর প্রান্ত ঘর থেকে 8  মিটার দূরে থাকলে মই এর দৈর্ঘ্য কত?  

সমাধান:



মনেকরি 
দেয়ালের দৈর্ঘ্য AB = 15 মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব BC= 8মিটার 
মই এর দৈর্ঘ্য AC = ?  

আমরা জানি,
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 152 + 82
AC2 = 225 + 64
AC2 = 289
AC2 = 172
AC = 17
১৭.
ΔABC এর ∠A = 48°, ∠B = 66° হলে, ΔABC কী ধরণের ত্রিভুজ? 
  1. ক) সমবাহু ত্রিভুজ
  2. খ) সমকোণী ত্রিভুজ
  3. গ) স্থূলকোণী ত্রিভুজ
  4. ঘ) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC এর ∠A = 48°, ∠B = 66° হলে, ΔABC কী ধরণের ত্রিভুজ? 

সমাধান:

ΔABC - এ ,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
48° + 66° + ∠C = 180°
∠C = 180° - 114°
∠C = 66°
কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ সমান হলে ত্রিভুজটির দুইটি বাহুও সমান হবে। 

∴ ΔABC - ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ