Math Master

x³ - 1/x³
= (x - 1/x)³ + 3.x.1/x(x - 1/x)
= 11³ + 3 × 11
= 1331 + 33
= 1364

x + 1/x = 2
or, (x² + 1)/x = 2
or, x² + 1 = 2x
or, x² - 2x + 1 = 0
or, x² - 2.x.1 + 1² = 0
or, (x - 1)² = 0
or, x = 1

Now,
x⁷ + 1/x⁹
= 1⁷ + 1/1⁹
= 1 + 1
= 2

প্রশ্নে x + 1/x = 2 হলে উত্তর গ) 2 ঠিক ছিলো।

5a + 2b²c এর বর্গ
= (5a + 2b²c)²
= (5a)² + 2 ×5a×2b²c + (2b²c)²
= 25a² + 20ab²c + 4b⁴c²

x² + 10x + 24
= x² + 4x + 6x + 24
= x(x + 4) + 6(x + 4)
= (x + 4)(x + 6)
= {(x + 4) + (x + 6)}² - {(x + 4) - (x + 6)}²/4
= {(2x + 10)² - 4}/4
= (x + 5)² - 1²

x² + 2x - 15
= x² + 5x - 3x - 15
= x(x + 5) - 3(x + 5)
= (x + 5)(x - 3)

(a + b) ও (a² - ab + b²) এর গুণফল
= (a + b)(a² - ab + b²)
= a³ + b³

{(x⁴ + x²y² + y⁴) ÷ (x² - xy + y²)}/(x² + xy + y²)
= {(x² - xy + y²)(x² + xy + y²) ÷ (x² - xy + y²)}/(x² + xy + y²)
= (x² + xy + y²)/(x² + xy + y²)
= 1

m, n ∈ N; m > n ও a ≠ 0 হলে, a^m ÷ aⁿ = a^{m - n} হবে। 

[ সূত্র - নিম্ন মাধ্যমিক গণিত, ৭ম শ্রেণি, পৃষ্ঠা নং - ৫৭, বোর্ড বই ]

(x⁴ - 1) ÷ (x² + 1)
= {(x²)² - 1²} ÷ (x² + 1)
= (x² - 1)(x² + 1) ÷ (x² + 1)
= x² - 1

3x - [5y - {10z - (5x - 10y + 3z)}]
= 3x - [5y - {10z - 5x + 10y - 3z}]
= 3x - [5y - {7z - 5x + 10y}]
= 3x - [5y - 7z + 5x - 10y]
= 3x - [- 5y - 7z + 5x]
= 3x + 5y + 7z - 5x
= - 2x + 5y + 7z

a, a², a(a + b) এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা লসাগু
= a²(a + b)

১ম রাশি = x⁴ - 625
= (x²)² - 25²
= (x² + 25)(x² - 25)
= (x² + 25)(x² - 5²)
= (x² + 25)(x + 5)(x - 5)

২য় রাশি = x² + 3x - 10
= x² + 5x - 2x - 10
= x(x + 5) - 2(x + 5)
= (x + 5)(x - 2)

x⁴ - 625 ও x² + 3x - 10 রাশি দুইটির গসাগু = x + 5

অপর রাশি = x(x + 2) × x²(x + 2)(x + 4)(x - 5)(x - 7) ÷ (x⁴ - 5x³ - 14x²)
= x(x + 2) × x²(x + 2)(x + 4)(x - 5)(x - 7) ÷ x²(x + 2)(x - 7)
= x(x + 2)(x + 4)(x - 5)

1/(x² - 1) + 1/(x⁴ - 1) + 4/(x⁸ - 1)
= 1/(x² - 1) + 1/(x² - 1)(x² + 1) + 4/(x⁸ - 1)
= (x² + 1 + 1)/(x² - 1)(x² + 1) + 4/(x⁸ - 1)
= (x² + 2)/(x⁴ - 1) + 4/(x⁸ - 1)
= (x² + 2)/(x⁴ - 1) + 4/(x⁴ - 1)(x⁴ + 1)
= {(x⁴ + 1)(x² + 2) + 4}/(x⁴ - 1)(x⁴ + 1)
= (x⁶ + 2x⁴ + x² + 6)/(x⁸ - 1)

1/x, 1/y, 1/z রাশি তিনটির হরের লসাগু = xyz যা প্রদত্ত রাশি তিনটির সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের হর।

x/y, a/b ও m/n এর হরগুলোর লসাগু = ybn
ybn/y = bn
অতএব, ১ম ভগ্নাংশ = x/y = (x × bn)/(y × bn ) = bxn/(byn)

যদি x = 0; y = 0 হয়, তবে x/y = 0/0 = অসংজ্ঞায়িত 
যদি x = 1; y = 0 হয়, তবে x/y = 1/0 = অসংজ্ঞায়িত 
যদি 1/x = 0; y = 1 হয়, তবে x/y = অসংজ্ঞায়িত 
উপর্যুক্ত শর্তসমূহের জন্য x/y এর মান পাওয়া সম্ভব নয়। 

(a - b)/a - (a + b)/b
= {b(a - b) - a(a + b)}/ab
= (ab - b² - a² - ab)/ab
= - (a² + b²)/ab

(x² + 4x - 21)/(x² + 5x - 14) ভগ্নাংশটির লঘিষ্ঠ মান
= (x² + 7x - 3x - 21)/(x² + 7x - 2x - 14)
= (x + 7)(x - 3)/(x + 7)(x - 2)
= (x - 3)/(x - 2)