Math Master

১. বৃত্তের যেকোনাে জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
২. যেকোনাে সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।

সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।

সুতরাং সুষম ষড়ভুজের ছয় কোণের সমষ্টি = (2 × 6 - 4) সমকোণ
                                                                = (12 - 4) × 90°
                                                                = 8 × 90°
                                                                = 720°

ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি = আট সমকোণ

ধরি,
ভূমি = x মি.
সুতরাং, অতিভুজ = x + 6 মি.
এখানে, লম্ব = 12 মি.

∴ সূত্রানুসারে,
(x + 6)² = x² + 12²
⇒ x² + 12x + 36 = x² +144
⇒ 12x = 108
⇒ x = 9

∴ অতিভুজ = 9 + 6 = 15 মি.

বৃত্তের পরিধি 2πr এবং ব্যাস 2r

∴  বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত  = পরিধি : ব্যাস
                                                       = 2πr : 2r 
                                                       = 2πr/2r
                                                       = π/1
                                                       = (22/7) /1
                                                       = 22/7

ΔABC এ 
AC= 17 , BC = 15 

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
AC² = AB² + BC² 
17² = AB² + 15²
289 - 225 = AB² 
AB² = 64 
AB² = 8²
AB = 8

বৃত্তের ব্যাস = r
∴ ব্যাসার্ধ = r/2 
∴ ক্ষেত্রফল = π(r/2)²
                  = πr²/4

চাকার ব্যাস, 2r = 70 সে. মি. 

একটি চাকা একবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দুরত্ব অতিক্রম করে।
চাকার পরিধি = 2πr
          = 2r.π
         = 70 × 3.1416 সে. মি.
          = 219. 912 সে. মি.

 

আমরা জানি, 
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।  
∠APB = (1/2)∠AOB 
           = (1/2) × 60° = 30°

বহিঃস্থ কোন বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে ২টি স্পর্শক আঁকা সম্ভব।  

 
এখানে 
P বহিঃস্থ বিন্দু। 
PA ও PB দুটি স্পর্শক

দেওয়া আছে, 
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ x একক 
অপর বাহুদ্বয়ের একটি y একক

ধরি,
৩য় বাহুটির দৈর্ঘ্য  = a 

তাহলে, পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে -
a² + y² = x²
a² = x² - y²
a =√(x² - y²)

ধরি 
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ r 
 
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr একক এবং
বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr² বর্গ একক

প্রশ্নমতে,
πr²/2πr = 1386/132
বা, r/2 = 21/2
বা, r = 21

বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 21 সে. মি.

সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের 2টি বাহু সমান = x
∴10² = x² + x²
or, 100 = 2x²
2x² = 100
x² = 50
x = √50

∴ ক্ষেত্রফল = (10/4)√{4(√50)² - (10)²}
                 = (5/2) √{200 - 100}
                 = (5/2) √100
                 = (5/2) × 10
                 = 25 বর্গ সে.মি.

ধরি,
বৃত্ত দুইটির ব্যসার্ধ 3x এবং 4x
∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(3x)² : π(4x)²
                                                     = 9πx² : 16πx²
                                                      = 9 : 16

আমরা জানি 
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান।

বৃহত্তর বৃত্তটির ব্যাসার্ধ r₁ = 8 সে. মি.  
অন্তঃস্থ  বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₂= ?   

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব= (r₁ -  r₂) 
                                     3 = 8 - r₂
                                    3 - 8 = -  r₂
                                         r₂ = 5 সে.মি.

সুষম  সুষম দশভুজটির 
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ = ৩৬০°/১০ = ৩৬°

প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ = (১৮০ - ৩৬)° = ১৪৪°

ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r 
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r   
∴ব্যাসার্ধ =6r/2 = 3r   
∴ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)² = 9πr²

∴9 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃস্থকোণের পরিমাণ ১৩৫° 
সুতরাং সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = ১৮০° - ১৩৫° 
                                                       = ৪৫°
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°

সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/৪৫°
                                                       = ৮