ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

পদ সংখ্যা
= (শেষ পদ - ১ম পদ)/ সাধারণ অন্তর + ১
= (111 - 13)/7 + 1
= 98/7 + 1
= 14 + 1
= 15
-------------------------------------------
সংক্ষেপে, 
13 + 20 + 27 + 34 + 41 + 48 + 55 + 62 + 69 + 76 + 83 + 90 + 97 + 104 + 111
ধারাটিতে মোট ১৫ টি পদ আছে। তাই পদ সংখ্যা ১৫।

5 + 8 + 11 + 14 + --- --- --- + 62
এটি সসীম ও সমান্তর ধারা।
১ম পদ, a = 5, সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3
n - তম পদ, 62 = 5 + (n - 1)3
⇒ n = 20 
20-তম পদ 62

ধারাটির 15-তম পদ
= 7 + (15 - 1)(13 - 7)  [ ১ম পদ, a = 7 এবং সাধারণ অন্তর, d = 13 - 7 ]
= 7 + 14 × 6
= 91

২০ টি পদের সমষ্টি
= 20/2{2 × 1 + (20 - 1)3}
= 10(2 + 19 × 3) = 10 × 59
= 590 [ ১ম পদ, a = 1, সাধারণ অন্তর, d = 4 - 1 = 3 ]

পদ সংখ্যা
= (শেষ পদ - ১ম পদ)/ সাধারণ অন্তর + ১
= (301 - 4)/3 + 1
= 297/3 + 1
= 99 + 1
= 100

১ম পদ,a = 9 এবং
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 9 = - 2

ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যােগফল,
n/2{2 × 9 + (n - 1)(- 2)} = - 144
⇒ n/2{18 - 2n + 2} = - 144
⇒ n/2{20 - 2n} = - 144
⇒ n/2 × 2(10 - n) = - 144
⇒ n(10 - n) = - 144
⇒ 10n - n² = - 144
⇒ n² - 10n - 144 = 0
⇒ n² - 18n + 8n - 144 = 0
⇒ n(n - 18) + 8(n - 18) = 0
⇒ n = 18; n ≠ - 8

ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি
= 10(10 + 1)
= 10 × 11
= 110

ধারার প্রথম 12 পদের সমষ্টি 144 হলে, 2a + 11d = 144/(12/2) = 24
প্রথম 20 পদের সমষ্টি 560 হলে,
2a + 19d = 560/(20/2) = 56
⇒ 2a + 11d + 8d = 56
⇒ 24 + 8d = 56
⇒ 8d = 56 - 24 = 32
⇒ d = 4

সমান্তর ধারার 16 তম পদ – 20 হলে, 
a + 15d = - 20

এর প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি
= 31/2(2a + 30d)
= 31/2 × 2(a + 15d)
= 31 × (- 20)
= - 620

ধারাটির সাধারণ অন্তর
= ২য় পদ - ১ম পদ
= log4 - log2
= log2² - log2
= 2log2 - log2
= log2

ধারাটির ১ম পদ, a = log3
সাধারণ অন্তর, d = (log9 - log3) = (log3² - log3) = (2log3 - log3) = log3
ধারাটির সপ্তম পদ
= log3 + (7 -1)log3
= log3 + 6 × log3
= 7log3

কোনো ধারার n তম পদ 2n - 4 হলে,
ধারাটির ১ম পদ = 2 × 1 - 4 = 2 - 4 = - 2
ধারাটির ২য় পদ = 2 × 2 - 4 = 4 - 4 = 0
ধারাটির ৩য় পদ = 2 × 3 - 4 = 6 - 4 = 2
ধারাটির ৪র্থ পদ = 2 × 4 - 4 = 8 - 4 = 4
----------------------------------------
ধারাটিঃ - 2, 0, 2, 4, --- --- ----

১ম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 441 হলে,
{n(n + 1)/2}² = 441
⇒ n(n + 1)/2 = 21
⇒ n² + n = 42
⇒ n² + n - 42 = 0
⇒ n² + 7n - 6n - 42 = 0
⇒ n(n + 7) - 6(n + 7) = 0
⇒ (n + 7)(n - 6) = 0
⇒ n = 6; n ≠ - 7

log2 + log16 + log512 + --- --- ---
= log2 + log24 + log29 + --- --- ---
= log2 + 4log2 + 9log2 + --- --- --- 
= (1 + 4 + 9 + --- --- --- )log2
= (1¹ + 2² + 3² + --- --- --- + 7²)log2
= [7(7 + 1)(2 × 7 + 1)/6] log2
= [7 × 8 ×15/6] log2
= 140 log2

(1³ + 2³ + 3³ + --- + n³)/(1 + 2 + 3 + --- + n)
⇒ {n(n + 1)/2}²/{n(n + 1)/2} = 210
⇒ n(n + 1)/2 = 210
⇒ n(n + 1) = 420
⇒ n² + n = 420
⇒ n² + n - 420 = 0
⇒ n² + 21n - 20n - 420 = 0
⇒ n(n + 21) - 20(n - 21) = 0
∴ (n - 20)(n + 21) = 0
⇒ n = 20

পঞ্চম পদ, ar⁴ = 2√3/9 --- (1)
দশম পদ, ar⁹ = 8√2/81 --- (2)
∴ r^{10 - 5} = (8√2/81) ÷ (2√3/9) = √(2/3)⁵
r = √2/√3
সমীকরণ (1) হতে, a = (2√3/9)/(√2/√3)⁴ = √3/2
এখন,ar² = √3/2 × (√2/√3)² = 1/√3

ধারাটির দশম পদ = ar^{10 -1} = ar⁹ = 2 × 2⁹ = 2¹⁰
---------------------------------------------------
সংক্ষেপে,
2 + 4 + 8 + --- --- ---- 
= 2¹ + 2² + 2³ + --- --- --- 
১ম পদ = 2¹
২য় পদ = 2²
৩য় পদ = 2³
-----------------------
অতএব, দশম পদ = 2¹⁰

১ম পদ, a = 128
সাধারণ অনুপাত, r = 64/128 = 1/2
অতএব, সাধারণ পদ
= ar^{n - 1}
= 128 × (1/2)^{n - 1}
= 128 × 1^{n - 1}/2^{n - 1}
= 128/2^{n - 1}
= 2⁷/2^{n - 1}
= 1/2^{n - 1 - 7}
= 1/2^{n - 8}

গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a, সাধারণ অনুপাত r এবং পদ সংখ্যা n হলে, n সংখ্যক পদের সমষ্টি
= a + ar + ar² + ar³ + --- --- --- + ar^{n - 1}