Math Master

প্রশ্ন: যদি a + b = 7 এবং a² + b² = 25 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 7
এবং, 
a² + b² = 25

আমরা জানি, 
a² + b² = (a + b)² - 2ab
⇒ 25 = (7)² - 2ab
⇒ 25 = 49 - 2ab
⇒ 2ab = 49 - 25
⇒ 2ab = 24
∴ ab = 12

প্রশ্ন: নিচের কোনটি x² - y² + 2y - 1 -এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= (x)² - (y - 1)²
= (x + y - 1)(x - y + 1)

প্রশ্ন: একটি পিকনিকে যতজন বন্ধু ছিল, প্রত্যেকে তার থেকে 4 টাকা বেশি করে দেওয়ায় মোট 320 টাকা উঠল। পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
মনে করি, পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা = x জন
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় = (x + 4) টাকা

প্রশ্নমতে,
⇒ x(x + 4) = 320
⇒ x² + 4x = 320
⇒ x² + 4x - 320 = 0
⇒ x² + 20x - 16x - 320 = 0
⇒ x(x + 20) - 16(x + 20) = 0
⇒ (x - 16)(x + 20) = 0

হয়, x - 16 = 0
⇒ x = 16
অথবা, x + 20 = 0
⇒ x = - 20 (বন্ধুর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়)

∴ পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা 16 জন ছিল।

প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে, (x² + 1/x²)(x⁴ + 1/x⁴) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = 2 
⇒ (x + 1/x)² = 2²
⇒ x² + 1/x² + 2.x.1/x = 4 [বর্গ করে] 
⇒ x² + 1/x² = 4 - 2
⇒ x² + 1/x² = 2 ......(1)
⇒ x⁴ + 1/x⁴ + 2.x².1/x² = 4 [আবার বর্গ করে]
⇒ x⁴ + 1/x⁴ = 4 - 2
⇒ x⁴ + 1/x⁴ = 2 .....(2)

∴ প্রদত্ত রাশি, 
(x² + 1/x²)(x⁴ + 1/x⁴) = (2)(2) = 4

প্রশ্ন: a² + 4b² + 4b - 4ab - 2a - 8 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
a² + 4b² + 4b - 4ab - 2a - 8
= a² - 4ab + 4b² - 2a + 4b - 8
= {a² - 2 . a . 2b + (2b)²} - 2(a - 2b) - 8
= (a - 2b)² - 2(a - 2b) - 8

ধরি,
a - 2b = x
এখন, 
x² - 2x - 8
= x² - 4x + 2x - 8
= x(x - 4) + 2(x - 4)
= (x - 4)(x + 2)
= (a - 2b - 4)(a - 2b + 2) [x এর মান বসিয়ে]

প্রশ্ন: |4x + 1| < 9 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ |4x + 1| < 9
⇒ - 9 < 4x + 1 < 9
⇒ - 9 - 1 < 4x + 1 - 1 < 9 - 1
⇒ - 10 < 4x < 8
⇒ - 10/4 < x < 8/4
⇒ - 5/2 < x < 2

∴ সমাধান হলো - 5/2 < x < 2
 

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: a⁶ - b⁶ এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a⁶ - b⁶
= (a³)² - (b³)²
= (a³ + b³)(a³ - b³)
= (a + b)(a² - ab + b²)(a - b)(a² + ab + b²)
= (a + b)(a - b)(a² - ab + b²)(a² + ab + b²)

প্রশ্ন: x² + 2x - 15 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ x² + 2x - 15 > 0
⇒ x² + 5x - 3x - 15 > 0
⇒ x(x + 5) - 3(x + 5) > 0
⇒ (x + 5)(x - 3) > 0
এই অসমতার সমাধান বিন্দু দুটি হলো x = - 5 এবং x = 3।
 
(x + 5)(x - 3) > 0 এর গুণফল ধনাত্মক হয়, যখন
উভয় উৎপাদকই ধনাত্মক (অর্থাৎ x > 3) অথবা উভয় উৎপাদকই ঋণাত্মক (অর্থাৎ x < - 5)।
অর্থাৎ, x < - 5 অথবা x > 3।
ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 5) ∪ (3, ∞)।

প্রশ্ন: যদি t² - 4t + 1 = 0 হয়, তাহলে t³ + 1/t³ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
t² - 4t + 1 = 0
⇒ t² + 1 = 4t
⇒ (t²/t) + (1/t) = 4t/t
∴ t + 1/t = 4

প্রদত্ত রাশি, 
t³ + 1/t³
= (t + 1/t)³ - 3 . t . (1/t)(t + 1/t)
= (4)3 - 3 . 4
= 64 - 12
= 52

প্রশ্ন: 4x + 3y = 21 এবং 2x - y = 3 হলে, x ও y-এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
4x + 3y = 21 ....(1)
এবং
2x - y = 3
∴ y = 2x - 3.......(2)

এখন, y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই, 
⇒ 4x + 3(2x - 3) = 21
⇒ 4x + 6x - 9 = 21
⇒ 10x = 30
∴ x = 3

x এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
⇒ y = 2x - 3
⇒ y = 6 - 3
∴ y = 3

নির্ণয়ে সমাধান (x, y) = (3, 3)

প্রশ্ন: 2x³ - 3x² + x - 6 কে x + 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
ধরি, p(x) = 2x³ - 3x² + x - 6
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, p(x) কে (x + 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(- 2)।
P(- 2) = 2(- 2)³ - 3(- 2)² + (- 2) - 6
= - 16 - 3(4) - 2 - 6
= - 16 - 12 - 2 - 6
= - 36

∴ নির্ণেয় ভাগশেষ হলো - 36

প্রশ্ন: a -এর মান কত হলে, x² - 8x + p একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশিটি পূর্ণবর্গ বলে এর মূলদ্বয়ের মান সমান এবং নিশ্চায়কের মান শূন্য (০) 
অর্থাৎ, 
√{b² - 4ac} = 0 
⇒ √{(- 8)² - 4. 1 . p} = 0 
⇒ √(64 - 4p) = 0 
⇒ 64 - 4p = 0   [উভয় পক্ষকে বর্গমূল করে]
⇒ 4p = 64
⇒ p = 64/4
∴ p = 16

প্রশ্ন: একটি সিনেমা হলে প্রতি সারিতে ৬ জন করে বসলে ৩টি সারি খালি থাকে। কিন্তু প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসলে ১৫ জন দর্শকের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ সিনেমা হলে মোট দর্শক সংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি,
সারির সংখ্যা = ক টি
প্রতি সারিতে ৬ জন করে বসলে ৩টি সারি খালি থাকে।
∴ দর্শক সংখ্যা = (ক - ৩) × ৬ জন

আবার, 
প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসলে ১৫ জন দর্শকের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
∴ দর্শক সংখ্যা = ৫ক + ১৫ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ৩) × ৬ = ৫ক + ১৫
⇒ ৬ক - ১৮ = ৫ক + ১৫
⇒ ৬ক - ৫ক = ১৫ + ১৮
∴ ক = ৩৩

অতএব, সারির সংখ্যা ৩৩টি।
∴ দর্শক সংখ্যা = ৫ক + ১৫ জন
= (৫ × ৩৩) + ১৫ জন
= ১৬৫ + ১৫ জন
= ১৮০ জন

∴ ঐ সিনেমা হলে মোট দর্শক সংখ্যা হলো ১৮০ জন।

প্রশ্ন: |x - 1| ≤ 6 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m ≤ 4x + 3 ≤ n হবে?

সমাধান:
⇒ |x - 1| ≤ 6
⇒ - 6 ≤ x - 1 ≤ 6
⇒ - 6 + 1 ≤ x ≤ 6 + 1
⇒ - 5 ≤ x ≤ 7
⇒ - 5 × 4 ≤ 4x  ≤ 7 × 4
⇒ - 20 ≤ 4x ≤ 28
⇒ - 20 + 3 ≤ 4x + 3 ≤ 28 + 3
⇒ - 17 ≤ 4x + 3 ≤ 31 ....... (1)

এখন, (1) নং কে m ≤ 4x + 3 ≤ n এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = - 17 এবং n = 31।

প্রশ্ন: যদি x = 2 হয়, তাহলে x³ + 27x² + 243x + 729 = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x = 2

প্রদত্ত রাশি, 
x³ + 27x² + 243x + 729
= x³ + 3. x² . 9 + 3 . x . 9² + 9³
= (x + 9)³
= (2 + 9)³
= (11)³
= 1331

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 27 হ্রাস পায়। অংক দুইটির যোগফল 9 হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
একক স্থানীয় অংক = x
এবং দশক স্থানীয় অংক = (9 - x)
∴ সংখ্যাটি = {x + 10(9 - x)} = 90 - 9x

আবার,
অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের পর সংখ্যাটি = {10x + (9 - x)} = 9x + 9

প্রশ্নমতে,
(90 - 9x) - (9x + 9) = 27
⇒ 90 - 9x - 9x - 9 = 27
⇒ - 18x + 81 = 27
⇒ - 18x = 27 - 81
⇒ - 18x = - 54
⇒ x = 54/18
⇒ x = 3

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 90 - (9 × 3)
= 90 - 27 = 63

প্রশ্ন: চারটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল 130 হলে, সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা চারটি হলো যথাক্রমে,
x, (x + ১), (x + ২) এবং (x + ৩)।
প্রশ্নমতে,
x + (x + ১) + (x + ২) + (x + ৩) = 130
⇒ 4x + 6 = 130
⇒ 4x = 130 - 6
⇒ 4x = 124
⇒ x = 124/4
∴ x = 31
∴ সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি হলো 31

∴ সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি = x + 3 = 31 + 3 = 34

প্রশ্ন: 


সমাধান: 

প্রশ্ন: 2x³ - 3x² - 11x + 6 রাশিটির একটি উৎপাদক হচ্ছে-

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 2x³ - 3x² - 11x + 6
∴ f(3) = 2(3)³ - 3(3)² - 11(3) + 6
= 54 - 27 - 33 + 6
= 60 - 60
= 0

যেহেতু f(3) = 0, সুতরাং উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, (x - 3) হলো প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।