প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: A = {7, 9, 11}, B = { } হলে A - B = ?

 সমাধান:
A - B বলতে বুঝায়  A সেটে বিদ্যমান কিন্তু B তে নাই এমন উপাদানের সেট = {7, 9, 11} 

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: ১ম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার  সমষ্টি 15 হলে, সংখ্যাগুলোর ঘনের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
১ম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার  সমষ্টি = n(n + 1)/2
 ১ম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²


১ম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার  সমষ্টি 15
সংখ্যাগুলোর ঘনের সমষ্টি = 15²
= 225

প্রশ্ন: প্রথম ১৮ টি জোড় সংখ্যার সমষ্টি ও প্রথম ১৮ টি বিজোড় সংখ্যার সমষ্টির মধ্যে পার্থক্য কত?

সমাধান: 
প্রথম n সংখ্যক জোড় সংখ্যার সমষ্টি = n² + n
প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি = n² 

প্রথম n সংখ্যক জোড় সংখ্যার সমষ্টি ও প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি এর পার্থক্য = n² + n - n² 
= n 

∴ প্রথম ১৮ টি জোড় সংখ্যার সমষ্টি ও প্রথম ১৮ টি বিজোড় সংখ্যার সমষ্টির মধ্যে পার্থক্য = ১৮ 

প্রশ্ন: যদি 5^a = 1/2 হয়, তাহলে 25^-3a =?

সমাধান: 
5a = 1/2

25^-3a
= (5²) ^-3a
= 5 ^-6a
= (5^a)^-6
= (1/2)^-6
= 2⁶
= 64

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ২৫তম পদ এবং ২০তম পদের মানের পার্থক্য ৪৫ হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে,
২৫তম পদ = a + 24d
এবং ২০তম পদ = a + 19d

প্রশ্নমতে,
⇒ a + 24d - a - 19d = 45
⇒ 5d = 45
⇒ d = 9

প্রশ্ন:  3^{m + n} = 81, 81^{m - n} = 3 হলে, m² - n² এর মান কত? 

Solution: 
3^{m + n} = 81
⇒ 3^{m + n} = 3⁴
⇒ m + n = 4

81^{m - n} = 3
⇒ 3^{4(m - n)} = 3
⇒ 4(m - n) = 1
⇒ m - n = 1/4 

m² - n² = (m + n) (m - n) = 4 × (1/4)
= 1

 প্রশ্ন: নিচের কোনটি গুণোত্তর ধারা?

সমাধান: 
প্রথম টির ক্ষেত্রে, সাধারণ অন্তর = ৩ - ১
= ২

দ্বিতীয় টির ক্ষেত্রে, সাধারণ অনুপাত = ৪/৮
= ১/২ 

তৃতীয়টির ক্ষেত্রে, সাধারণ অন্তর = ১২ - ১০ 
= ২

চতুর্থটির ক্ষেত্রে, সাধারণ অন্তর = ৯০ - ১০০ 
= - ১০ 

অতএব, সঠিক উত্তর খ। 

প্রশ্ন: 5log3 - log9 = কত?

সমাধান:
5log3 - log9 
= 5log3 - log3²
= 5log3 - 2log3
= 3log3
= log3³
= log27

প্রশ্ন: লতার বয়স মীমের বয়সের 1/4 অংশ। রাইসা মীমের চেয়ে 4 বছরের বড়। তাদের বয়সের সমষ্টি অনুর্ধ্ব 22 বছর হলে, রাইসার বয়স অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করুন।

সমাধান: 
ধরি, মীমের বয়স x বছর
লতার বয়স x/4 বছর
রাইসার বয়স x + 4 বছর 

প্রশ্নমতে, 
x + x + 4 + (x/4) ≤ 22
⇒ 2x + (x/4) ≤ 22 - 4
⇒ (8x + x)/4 ≤ 18
⇒ 9x ≤ 18 × 4
⇒ x ≤ 18 × 4/9
⇒ x ≤ 8
⇒ x + 4 ≤ 8 + 4
∴ x + 4 ≤ 12

অতএব, রাইসার বয়স ≤ 12 বছর 

প্রশ্ন: x + y = 15 এবং x - y = 1 হলে, y/x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 15.......(i)
x - y = 1..........(ii)

(i) + (ii) ⇒
x + y + x - y = 15 + 1
⇒ 2x =16
⇒ x = 8

x এর মান (i) এ বসাই,
8 + y = 15
⇒ y = 7

∴ y/x = 7/8

প্রশ্ন: 5 (3 - 2z) ≤ 3 (4 - 3z) হলে-

সমাধান: 
5 (3 - 2z) ≤ 3 (4 - 3z)
⇒ 15 - 10z ≤ 12 - 9z 
⇒ 15 - 12 ≤ 10z - 9z 
⇒ 3 ≤ z
∴ z ≥ 3

Question: log₃₀3 + log₃₀2 + (1/2) log₃₀25 =?

Solution: 
log₃₀3 + log₃₀2 + (1/2) log₃₀25
= log₃₀3 + log₃₀2 + log₃₀25^1/2
= log₃₀3 + log₃₀2 + log₃₀5
= log₃₀(3 × 2 × 5)
= log₃₀30
= 1

প্রশ্ন: |3y - 2| < 7 হলে -

সমাধান:
|3y - 2| < 7

(3y - 2) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (3y - 2) < 7 
3y - 2 + 2 < 7 + 2
3y < 9
y < 3

আবার,
(3x - 2) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (3y - 2) > - 7
3y - 2 + 2 > - 7 + 2
3y >- 5
y > -5/3

∴ নির্ণেয় অসমতা  -5/3 < y < 3

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + 17 ------ ধারাটির কোন পদ 362?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, ধারাটির প্রথম পদ, a = 5;
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5
= 11- 8
= 14 - 11
= 3; সুতরাং ইহা একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 362
আমরা জানি, n তম পদ = a + ( n - 1 ) d
সুতরাং a + ( n - 1 ) d = 362
⇒ 5 + (n - 1 ) 3 = 362
⇒  5 + 3n - 3 = 362
⇒  3n + 2 = 362
⇒  3n = 360
⇒  n =120
সুতরাং প্রদত্ত ধারার 120 তম পদ = 362

প্রশ্ন:।5 - 2x। < 3 অসমতাটির সমাধান হলো-

সমাধান:
।5 - 2x। < 3
⇒ - 3 < 5 - 2x < 3
⇒ - 3 - 5 < 5 - 2x - 5 < 3 - 5
⇒ - 8 < - 2x < - 2
⇒ - 8/2 < - 2x/2 <- 2/2
⇒ - 4 < - x < - 1
⇒ - 4(- 1) > - x(- 1) > 1(- 1)
⇒ 4 > x > 1
⇒ 1 < x < 4

প্রশ্ন: m² + n² = 34, m - n = 2 হলে, (m/n) + (n/m) =? 

সমাধান: 
m² + n² = 34

m - n = 2
⇒ (m - n)² = 2²
⇒ m² - 2mn + n² = 4
⇒  34 - 2mn = 4
⇒  2mn = 34 - 4
⇒  2mn = 30
∴ mn = 15 

(m/n) + (n/m)
= (m² + n²)/mn
= 34/15

প্রশ্ন: 5log2 + log3 এর মান কত? 

সমাধান: 
5log2 + log3
= log2⁵ + log3
= log32 + log3
= log(32 × 3)
= log 96

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ১ম ও ২য় পদ যথাক্রমে 27 এবং 9 হলে, ধারাটির ষষ্ঠ পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ = 27
বা, a = 27
এবং গুণোত্তর ধারার ২য় পদ = 9
⇒ ar^{2 - 1} = 9
⇒ 27 × r = 9
∴ r = 1/3

∴ ষষ্ঠ পদ = ar⁶ - 1
= 27×(1/3)⁵
= 3³/3⁵
= 1/3²
= 1/9

প্রশ্ন: log₁₄(1/196) এর মান কত? 

সমাধান:
log₁₄(1/196)
= log₁₄14 ^-2
= -2 log₁₄14
= -2

প্রশ্ন: a^x = b, b^y = c, c^z = a হলে, নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?

সমাধান:
ধরি, a^x = b
⇒ log a^x = logb
⇒ xloga = logb
⇒ x = logb/loga
অনুরূপভাবে, y = logc/logb এবং z = loga/logc
তাহলে, xyz = (logb/loga). (logc/logb). (loga/logc)
xyz = 1
⇒ xy = 1/z