গুরুত্বপূর্ণ টপিকের উপর পরীক্ষা - ১৩৫ মার্কস্‌ কাভার

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি এবং তার ক্ষেত্রফল সমান হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r

তাহলে, 
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
2πr = πr²
⇒ 2r = r²
⇒  r = 2

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (2)² = 4π

প্রশ্ন: 3^{3a - 7} = 2^{3a - 7} হলে, 6a এর মান কত?

সমাধান:
3^{3a - 7} = 2^{3a - 7}
⇒ 3^{3a - 7}/2^{3a - 7} = 1
⇒ (3/2)^{3a - 7} = (3/2)⁰
⇒ 3a - 7 = 0
⇒ 3a = 7
⇒ a = 7/3
⇒ 6a = 6 × (7/3)
⇒ 6a = 14

প্রশ্ন: সমাধান করুন: |3 - x| > 7

সমাধান:
এখন, (3 - x) > 0 হলে প্রদত্ত অসমতা, 3 - x > 7
⇒ - x > 7 - 3
⇒  - x > 4
⇒ x < - 4   [ -1 দ্বারা গুণ করে ]

আবার, (3 - x) < 0 হলে প্রদত্ত অসমতা, - (3 - x ) > 7
⇒ 3 - x < - 7  [ -1 দ্বারা গুণ করে]
⇒ - x < - 7 - 3
⇒ - x < - 10
⇒ x > 10

∴ নির্ণেয় সমাধান: x < - 4 অথবা x > 10

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের -

সমাধান:
বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর ওপর লম্ব।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্ব-দ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রশ্ন: x = 3 হলে, 2log(x/3) - log(7 - 2x) =?

সমাধান:
2log(x/3) - log (7 - 2x)
= 2 log(3/3) - log {7 - (2 × 3)}
= 2 × log1 - log1
= 2 × 0 - 0
= 0

প্রশ্ন: 3a³ + 2a + 5 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান: 
ধরি
f(a) = 3a³ + 2a + 5
f( - 1) = 3( - 1)³ + 2( - 1) + 5
= 3( - 1)  - 2 + 5
= - 3 - 2 + 5
= - 5 + 5
= 0

(a + 1) হলো 3a³ + 2a + 5 এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: কোনো একটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম বাহু যথাক্রমে 7 সে.মি. এবং 25 সে.মি. অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য কত সে.মি. হলে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে?  

সমাধান: 
তৃতীয় বাহুটির দৈর্ঘ্য = x সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে আমরা পাই,
7² + x² = 25²
বা, 49 +  x² = 625
বা, x² = 625 - 49 
বা, x² = 576
বা, x² = 24²
∴ x = 24

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান হলে, বৃত্তের পরিধি ও বর্গের পরিসীমার অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = r
বর্গটির একবাহুর দৈর্ঘ্য = a

প্রশ্নমতে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
বা, πr² = a²
∴ a = r√π

∴ বৃত্তের পরিসীমা : বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 2πr : 4a
= 2πr : 4 × r√π
= π : 2√π
= √π : 2

প্রশ্ন: x ≤ (x/4) + 3 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতা,
x ≤ (x/4) + 3
বা, 4x ≤ x + 12
বা,  3x ≤ 12
∴ x ≤ 4

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট, S = {x ∈ R : x ≤ 4}

প্রশ্ন:

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
√m + (1/√m) = 2  

এখন,
{√m - (1/√m)}² = {√m + (1/√m)}² - 4. √m (1/√m)
⇒ {√m - (1/√m)}² = (2)² - 4 
⇒  {√m - (1/√m)}² = 4 - 4  
⇒  {√m - (1/√m)}² = 0 
⇒ {√m - (1/√m)} = 0

∴ √m - (1/√m) = 0

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ a একক এবং অপর বাহুদ্বয়ের একটি b একক হলে, ৩য় বাহুটির দৈর্ঘ্য কত একক?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ a  একক 
অপর বাহুদ্বয়ের একটি b একক

ধরি,
৩য় বাহুটির দৈর্ঘ্য  = x 

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে -
b² + x² = a²
বা, x² = a² - b²
∴ x = √(a² - b²)

প্রশ্ন: (√3 . √5)⁴ এর মান কত?

সমাধান:
(√3.√5)⁴
= (√3)⁴ × (√5)⁴
= (3)^4/2 × (5)^4/2
= 3² × 5²
= 9 × 25
= 225

প্রশ্ন: x³ - 6x² + 12x - 9 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
x³ - 6x² + 12x - 9
= x³ - 3 ⋅ x² ⋅ 2 + 3 ⋅ x ⋅ 2² - 2³ - 1
= (x - 2)³ - 1
= (x - 2)³ - 1³
= (x - 2 - 1){(x - 2)² + (x - 2) ⋅ 1 + 1²)}
= (x - 3){x² - 2 ⋅ x ⋅ 2 + 2² + x - 2 + 1)
= (x - 3){x² - 4x + 4 + x - 2 + 1)
= (x - 3)(x² - 3x + 3)

প্রশ্ন: a + b = √3, a - b = √2 হলে,

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √3
a - b = √2

এখন,
{2(a² + b²)}/4ab
= {(a + b)² + (a - b)²}/{(a + b)² - (a - b)²}
= {(√3)² + (√2)²}/{(√3)² - (√2)²}
= (3 + 2)/(3 - 2)
= 5/1
= 5

প্রশ্ন: 9.3^{x - 1} = 27^x হলে x এর মান কত?

সমাধান:
9.3^{x - 1} = 27x 
⇒ 3².3^{x - 1} = (3³)^x
⇒ 3 ^{2 + x - 1} =3^3x
⇒ 3^{x + 1} = 3^3x
⇒ 3x = x + 1
⇒ 3x - x = 1
⇒ 2x = 1
∴ x = 1/2

প্রশ্ন: x² - 23x + 132 এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x² - 23x + 132 
= x² - 11x - 12x + 132
= x (x - 11) - 12 (x - 11)
= (x - 11) (x - 12)

প্রশ্ন: নিচে ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য সে. মি. এককে দেয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + লম্ব^২

6² + 8² = 10² [যা সমকোণী ত্রিভুজ ]
3² + 4² = 5² [যা সমকোণী ত্রিভুজ ]
2² + 4² ≠ 8² [যা সমকোণী ত্রিভুজ নয়]
5² + 12² = 13² [যা সমকোণী ত্রিভুজ ]

∴ অপশন গ এর বাহুগুলোর দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।

প্রশ্ন: যদি 3^{a + 2} = 81 হয়, তবে 3^{a - 3} = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3^{a + 2} = 81
⇒ 3^{a + 2} = 3⁴
⇒ a + 2 = 4
⇒ a = 4 - 2
∴ a = 2

∴ 3^{a - 3} = 3^{2 - 3}
= 3^{- 1}
= 1/3

প্রশ্ন: 6x² + 24x + 24 এবং x² + x - 2 এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
১ম রাশি = 6x² + 24x + 24
= 6(x² + 4x + 4)
= 6(x² + 2x + 2x + 4)
= 6{x(x + 2) + 2(x + 2)}
= 6(x + 2)(x + 2)

২য় রাশি = x² + x - 2
= x² + 2x - x - 2
= x(x + 2) - 1(x + 2)
= (x + 2)(x - 1)

∴ প্রদত্ত রাশিদ্বয়ের সাধারণ উৎপাদক = x + 2

প্রশ্ন: a² - b² = 20 এবং a - b = 2 হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² - b² = 20
বা, (a + b)(a - b) = 20
বা, (a + b) × 2 = 20
বা, a + b = 20/2
বা, a + b = 10

আমরা জানি,
ab = {(a + b)² - (a - b)²}/4
= (10² - 2²)/4
= (100 - 4)/4
= 96/4
= 24

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও ভূমি যথাক্রমে 10 সে.মি. এবং 8 সে.মি. হলে, অতিভুজ ও উচ্চতার পার্থক্য কত?

সমাধান;
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
অতিভুজ² = ভুমি² + লম্ব²
⇒ 10² = 8² + লম্ব²
 ⇒  লম্ব² = 100 - 64
⇒ লম্ব² = 36
∴ লম্ব = 6 সে.মি.

∴ অতিভুজ ও উচ্চতার পার্থক্য = 10 - 6 = 4 সে.মি.

প্রশ্ন: log₂(1/32) = x হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
log₂(1/32) = x
⇒ 2^x = 1/32
⇒ 2^x= 1/2⁵
⇒ 2^x = 2^{- 5}
∴ x = - 5

প্রশ্ন: x + y = 7 এবং xy = 12 হলে x² + y² + 3xy = কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে, 
x + y = 7 
xy = 12 

x² + y² + 3xy = (x + y)² - 2xy + 3xy 
= (x + y)² + xy
= 7² + 12
= 49 + 12
= 61