নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: যদি x - y = 12 এবং xy = 28 হয়, তাহলে x + y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x - y = 12
xy = 28

এখন
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
= 12² + 4 × 28
= 144 + 112
= 256

∴ x + y = √256 = 16

প্রশ্ন: x² - 7x + 6 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে কোনটি হবে?

সমাধান:
x² - 7x + 6
= x² - 6x - x + 6
= x(x - 6) - 1(x - 6)
= (x - 6)(x - 1)

প্রশ্ন: 3x + 2y = 18 এবং 3x - y = 9 হলে (x, y) এর মান কত?  

সমাধান: 
3x + 2y = 18 .............(1)
3x - y = 9 .................(2)

(1) + 2 × (2) ⇒
3x + 2y + 6x - 2y = 18 + 18
⇒ 9x = 36
∴ x = 4 

(1)নং হতে পাই 
3x + 2y = 18
⇒ 3 × 4 + 2y = 18
⇒ 2y = 18 - 12
⇒ 2y = 6
∴ y = 3

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y)= (4, 3)
 

প্রশ্ন: যদি x > y হয় তবে নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?

সমাধান:
x > y 
⇒ 1/x < 1/y [ব্যস্তানুপাত করে]

বিকল্প সমাধান:
ধরি,
x = 3, y = 2
এখন,
1/x = 1/3 = 0.33333333333333
1/y = 1/2 = 0.5

∴ 1/x < 1/y

প্রশ্ন: a + b = 5 এবং ab = 4 হলে a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 5
ab = 4

প্রদত্ত রাশি,
a² + b²
= (a + b)² - 2ab
= (5)² - 2 × 4
= 25 - 8
= 17

প্রশ্ন: a - b ≥ a + b এই সমীকরণের সমতুল্য নিচের কোনটি?

সমাধান:
a - b ≥ a + b
⇒ a - a ≥ b + b
⇒ 0 ≥ 2b
∴ b ≤ 0

প্রশ্ন: x + y - 7 = 0 এবং 3x - y - 9 = 0 হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
x + y - 7 = 0
বা, x + y = 7 ............... (1)

3x - y - 9 = 0
3x - y = 9 .............. (2)

(1) + (2) নং হতে পাই,
x + y + 3x - y = 7 + 9
⇒ 4x = 16
∴ x = 4

(1) নং হতে পাই,
4 + y = 7
∴ y = 3

প্রশ্ন: 3x - 2 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
3x - 2 > 2x - 1
⇒ 3x - 2x > 2 - 1
∴ x > 1

∴ সমাধান সেট (1, ∞) .

a ও b বাস্তব সংখ্যা এবং a < b হলে
• (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} কে খোলা ব্যবধি (open interval) বলে।
• [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} কে বদ্ধ ব্যবধি (closed interval) বলে।
• (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} এবং [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} কে যথাক্রমে খোলা-বদ্ধ ও বদ্ধ-খোলা ব্যবধি বলে।

প্রশ্ন: x - 1/x = 3 হলে x⁴ + 1/x⁴ এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
x - 1/x = 3
⇒ (x - 1/x)² = 3²
⇒ x² - 2.x.(1/x) + (1/x)² = 9
⇒  x² + 1/x² = 11
⇒ (x² + 1/x²)² = (11)²
⇒ (x²)² + 2.x².(1/x²) + (1/x²)² = 121
⇒ x⁴ + 1/x⁴ = 119

প্রশ্ন: a³ + 3a + 36 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
 a³ + 3a + 36
= a³ + 27 + 3a + 9
= (a)³ + (3)³ + 3(a + 3)
= (a + 3)(a² - 3a + 9) + 3(a + 3)
= (a + 3)(a² - 3a + 12)

প্রশ্ন: 2x + y = 6, x - y = 3 হলে, x + y এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
2x + y = 6 ..................(1)
x - y = 3 ....................(2)

(1) + (2) ⇒
2x + y + x - y = 6 + 3
⇒ 3x = 9
∴ x = 3

(2) নং হতে পাই, 
x - y = 3
⇒ 3 - y = 3
⇒ - y = 0
∴ y = 0

∴ x + y = 3 + 0 = 3 

প্রশ্ন: যদি 4x - 7 < 2x + 13 হয়, তাহলে নিচের কোনটি অবশ্যই সত্য হবে?

সমাধান:
4x - 7 < 2x + 13
⇒ 4x - 2x < 13 + 7
⇒ 2x < 20 
∴ x < 10

10 থেকে ছোট সকল সংখ্যাই 13 থেকে ছোট।
∴ x < 13 অবশ্যই সত্য।

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 15 এবং a² + b² + c² = 75 হয়, তাহলে ab + bc + ca এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 15
a² + b² + c² = 75

আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
⇒ 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)
⇒ 2(ab + bc + ca) = (15)² - 75
⇒ 2(ab + bc + ca) = 225 - 75
⇒ 2(ab + bc + ca) = 150
∴ ab + bc + ca = 75

প্রশ্ন: x⁴ - 27x² + 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ-

সমাধান: 
 x⁴ - 27x² + 1
= (x²)² - 2.x² .1 + 1² - 25x²
= (x² - 1)² - (5x)²
= (x² - 1 + 5x)(x² - 1 - 5x)
= (x² + 5x - 1)(x² - 5x - 1)

প্রশ্ন: x + y = √7 এবং x - y = √5 হলে, 8xy(x² + y²) =?

সমাধান: 
8xy(x² + y²)
= 4xy × 2(x² + y²)
= {(x + y)² - (x - y)²}{(x + y)² + (x - y)²}
= {(√7)² - (√5)²}{(√7)² + (√5)²}
= (7 - 5)(7 + 5)
= 2 × 12
= 24

প্রশ্ন: x³ - x এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
x³ - x
= x(x² - 1)
= x(x + 1) (x - 1)

প্রশ্ন: x² - 15x + 56 = 0 হলে, x এর সম্ভাব্য মানগুলোর যোগফল কত?

সমাধান:
x² - 15x + 56 = 0 
⇒ x² - 7x - 8x + 56 = 0
⇒ x(x - 7) - 8(x - 7) = 0
⇒ (x - 7)(x - 8) = 0
হয়,
x - 7 = 0
∴ x = 7

অথবা,
x - 8 = 0
∴ x = 8 

∴ x এর সম্ভাব্য মানগুলোর যোগফল = 7 + 8 = 15

প্রশ্ন: যদি (2x + 3)/5 ≥ 3 হয়, তবে x এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে?

সমাধান:
(2x + 3)/5 ≥ 3
⇒ 2x + 3 ≥ 15
⇒ 2x ≥  12
∴ x ≥ 6

x এর ক্ষুদ্রতম মান হবে 6.

প্রশ্ন: যদি x⁴ - x² + 1= 0 হয়, তবে x³ + 1/x³ =?

সমাধান:
x⁴ - x² + 1= 0
বা, X⁴ + 1 = x²
বা, x² + 1/x² = 1
বা, (x + 1/x)² - 2.x.(1/x) = 1
বা, (x + 1/x)² = 3
∴ (x + 1/x) = √3

এখন,
x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3.x.(1/x) (x + 1/x)
= (√3)³ - 3(√3)
= 3√3 - 3√3
= 0

প্রশ্ন: a³ - 3a²b + 3ab² - 2b³ রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে,উৎপাদক হবে নিচের কোনটি?

সমাধান:
a³ - 3a²b + 3ab² - 2b³
= a³ - 3a²b + 3ab² - b³ - b³
= (a - b)³ - b³ 
= (a - b - b){(a - b)² + b(a - b) + b²}
= (a - 2b)(a²- 2ab + b² + ab - b² + b²)
= (a - 2b)(a² - ab + b²)

প্রশ্ন: x² + px + 6 = 0 এর মূল দুইটি সমান হলে এবং p > 0 হয়, তবে p এর মান কত?

সমাধান:
x² + px + 6 = 0
যেহেতু দুইটি মূল সমান তাই সমীকরণের নিশ্চায়ক শূণ্য হবে। b² - 4ac = 0
∴ p² - 4 . 1 . 6 = 0
⇒ p² - 24 = 0
⇒ p² = 24
⇒ p = √(4 × 6)
∴ p = 2√6

প্রশ্ন: যদি |x - 1| = 2x হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
যদি,
(x - 1) ধনাত্মক হয়, 
x - 1 = 2x 
⇒ 2x - x = - 1
∴ x = - 1

যদি (x - 1) ঋণাত্মক হয়,
- (x - 1) = 2x
⇒ - x + 1 = 2x
⇒ 2x + x = 1
⇒ 3x = 1
∴ x = 1/3 

প্রশ্ন: x - y = 2 এবং xy = 24 হলে, x² - y² এর মান কত?

সমাধান:
x + y = √{(x - y)² + 4xy}
= √{(2)² + 4 × 24}
= √(4 + 96)
= √100
= 10

এখন,
x² - y²
= (x + y)(x - y)
= 10 × 2
= 20

প্রশ্ন: 6x² - 7x + 5 কে x - 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
 
সমাধান:
ধরি,
f(x) = 6x² - 7x + 5 

ভাগশেষ উপপাদ্যের অনুসারে,
f(1) = 6(1)² - 7.1 + 5
= 6 - 7 + 5
= 11 - 7
= 4

∴ 6x² - 7x + 5 কে x - 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 4 হবে।

প্রশ্ন: 6x² - 7x - 4 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি-
 
সমাধান:
6x² - 7x - 4 = 0 
এখানে,
a = x² এর সহগ = 6
b = x এর সহগ = - 7
c = ধ্রুবক = - 4

নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 7)² - 4. 6. (- 4)
= 49 + 96
= 145 > 0
নিশ্চায়ক ধনাত্মক হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও অসমান হবে।
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান

প্রশ্ন: a³ - 1, 1 + a³ এবং 1 + a² + a⁴ রাশির ল.সা.গু. কত?

সমাধান:
১ম রাশি,
a³ - 1 = (a - 1) (a² + a + 1)

২য় রাশি,
a³ + 1 = (a + 1) (a² - a + 1)

৩য় রাশি,
1 + a² + a⁴
= 1 + 2. 1. a² + (a²)² - a²
= (a² + 1)² - a²
= (a² + a + 1) (a² - a + 1)

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু. = (a - 1) (a² + a + 1) (a + 1) (a² - a + 1)
= (a³ + 1) (a³ - 1)
= a⁶ - 1

প্রশ্ন: f(x) = x³ - x - 24 এর একটি উৎপাদক x - 3 হলে নিচের কোনটি সত্য হবে?

সমাধান:
f(x) = x³ - x - 24 এর একটি উৎপাদক x - 3 হলে
f(3) = 0 হবে। 

দেওয়াআছে,
f(x) = x³ - x - 24
∴ f(3) = 3³ - 3 - 24
= 27 - 27
= 0

প্রশ্ন: x² - 6x + 5 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্য কত?

সমাধান:
x² - 6x + 5 = 0
⇒ x² - 5x - x + 5 = 0 
⇒ x(x - 5) - 1(x - 5) = 0
⇒ (x - 5)(x - 1) = 0
হয়,
x - 5 = 0
∴ x = 5

অথবা,
x - 1 = 0
∴ x = 1

∴ সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্য: 5 - 1 = 4

প্রশ্ন: |x - 2| < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 5 < n হবে?

সমাধান: 
|x - 2| < 3
⇒ -3 < x - 2 < 3
⇒ -3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2
⇒ -1 < x < 5
⇒ -3 < 3x < 15
⇒ -3 + 5 < 3x + 5 < 15 + 5
∴ 2 < 3x + 5 < 20

যেখানে, m < 3x + 5 < n
∴ m = 2 এবং n = 20
 

প্রশ্ন: x² - 3x + 1 = 0 হলে, (x² - 1/x²) এর মান কত?
 
সমাধান:
x² - 3x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = 3x
⇒ (x² + 1)/x = 3x/x
∴ x + 1/x = 3

সূত্রানুসারে,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² -  4.x.(1/x)
⇒ x - 1/x = √{(3)² - 4}
∴ x - 1/x = √5

এখন,
(x² - 1/x²)
= (x + 1/x)(x - 1/x)
= 3√5

প্রশ্ন: x⁴ - 5x³ + 7x² - a বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, a এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x⁴ - 5x³ + 7x² - a
যেহেতু (x - 2), f(x) একটি উৎপাদক।
∴ f(2) এর মান শূন্য হবে।

এখন
f(x) = x⁴ - 5x³ + 7x² - a
∴ f(2) = 2⁴ - 5 × 2³ + 7 × 2² - a
= 16 - 40 + 28 - a
= 4 - a

শর্তমতে,
f(2) = 0
বা, 4 - a = 0
∴ a = 4.

প্রশ্ন: 3x² + 5x + p = 0 সমীকরণের একটি মূল অপরটির বিপরীত হলে P এর মান কত?

সমাধান:
মনে করি,
মূলদ্বয় α ও 1/α
∴ প্রদত্ত সমীকরণকে উৎপাদকের মূল সমীকরণ এর সাথে তুলনা করি

মূলদ্বয়ের গুণফল = (ধ্রুবক পদ/ x² এর সহগ)
বা,  α × (1/α) = P/3
বা, 1 = p/3
∴ p = 3

=======================================================================================
ধরি,
ax² + bx + c = 0 (যেখানে a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় α এবং β।
এখন,
ax² + bx + c = 0
বা, x² + (b/a)x + c/a = 0 (a দ্বারা ভাগ করে)

যেহেতু α ও β সমীকরণের মূল, সুতরাং (x - α) এবং (x - β) হলো x² + (b/a)x + c/a = 0 এর উৎপাদক
∴ x² + (b/a)x + c/a = (x - α)(x - β)
বা, x² + (b/a)x + c/a = x² - (α + β)x + αβ ..................(1)

(1) নং সমীকরণের উভয় পক্ষ থেকে সহগ সমীকৃত করে পাই,
b/a = - (α + β)
বা, (α + β) = - (b/a)
∴ মূলদ্বয়ের সমষ্টি = α + β = - (b/a) = - (xএর সহগ/x²এর সহগ)

আবার,
c/a = αβ
বা, αβ = c/a
∴ মূলদ্বয়ের গুণফল = αβ = c/a = (ধ্রুবক পদ/ x² এর সহগ)

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে অসমতাটি প্রকাশ করুন। - 3 < x < 2

সমাধান:
- 3 < x < 2
⇒ - 3 + 1/2 < x + 1/2 < 2 + 1/2
⇒ - 5/2 < (2x + 1)/2 < 5/2
⇒ - 5 < 2x + 1 < 5
∴ |2x + 1| < 5

প্রশ্ন: (1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸) (1 - x) =?

সমাধান:
(1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸) (1 - x)
= (1 + x) (1 - x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸)
= (1 - x²) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸)
= (1 - x⁴) (1 + x⁴) (1 + x⁸)
= (1 - x⁸) (1 + x⁸)
= (1 - x¹⁶)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি x³ + 6x² + 11x + 6 এর উৎপাদক হবে না?
 
সমাধান:
f(x) = x³ + 6x² + 11x + 6
f(- 1) = (- 1)³ + 6(- 1)² + 11(- 1) + 6
= - 1 + 6 - 11 + 6
= - 12 + 12
= 0 

f(- 2) =(- 2)³ + 6(- 2)² + 11(- 2) + 6
= - 8 + 24 - 22 + 6
= - 30 + 30
= 0 

f(- 3) = (- 3)³ + 6(- 3)² + 11(- 3) + 6
= - 27 + 54 - 33 + 6
= - 60 + 60
= 0 

f(- 4) = (- 4)³ + 6(- 4)² + 11(- 4) + 6
= - 64 + 96 - 44 + 6
= - 108 + 102
= - 6 
∴ f(- 4) ≠ 0
অতএব, (x + 4), x³ + 6x² + 11x + 6 এর উৎপাদক নয়।

প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল যথাক্রমে 2 এবং 3 হলে, সমীকরণটি হবে- 

সমাধান:
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 2 এবং 3 হলে,
সমীকরণটি নিম্নরুপঃ
x² - (মুলদ্বয়ের যোগফল)x + মুলদ্বয়ের গুণফল = 0 
⇒ x² - (2 + 3)x + 2 × 3 = 0
⇒ x² - 5x + 6 = 0

প্রশ্ন: 3(x + 1) > 2x - 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
3(x + 1) > 2x - 7
⇒ 3x + 3 > 2x - 7
⇒ 3x - 2x > - 7 - 3
⇒  x > - 10

প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে (x² + 1/x²)(x⁴ + 1/x⁴) এর মান কত?

সমাধান: 
x + 1/x = 2
⇒ (x + 1/x)² = 2²
⇒ x² + 2x.(1/x) + (1/x)² = 4
⇒ x² + 2 + 1/x² = 4
⇒ x² + 1/x² = 4 - 2
∴ x² + 1/x² = 2

এখন,
(x² + 1/x²)² = (2)²
⇒ (x²)² + 2.x².(1/x²) + (1/x²)² = 4
⇒ x⁴ + 2 + 1/x⁴ = 4
⇒ x⁴ + 1/x⁴ = 4 - 2
∴ x⁴ + 1/x⁴ = 2

∴ (x² + 1/x²)(x⁴ + 1/x⁴) 
= 2 × 2
= 4

প্রশ্ন: x³ - x - 6 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
f(x) = x³ - x - 6
∴ f(2) = 2³ - 2 - 6
= 8 - 8
= 0
(x - 2), f(x) এর একটি উৎপাদক।

x³ - x - 6
= x²(x - 2) + 2x(x - 2) + 3(x - 2)
= (x - 2) (x² + 2x + 3)

প্রশ্ন: x + y + z = 32 এবং x - y = z হলে, x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = z
x = y + z
এবং,
x + y + z = 32
⇒ x + x = 32
⇒ 2x = 32
∴ x = 16

প্রশ্ন: | 2x + 4 | < 7 প্রদত্ত অসমতাটিতে মোট কতটি পূর্ণসংখ্যা থাকতে পারে?

সমাধান: 
| 2x + 4 | < 7
⇒ - 7 < 2x + 4 < 7
⇒ - 7 - 4 < 2x + 4 - 4 < 7 - 4
⇒ - 11 < 2x < 3
⇒ -11/2 < 2x/2 < 3/2
⇒ - 5.5 < x < 1.5

∴ পূর্ণ সংখ্যা আছে ৭ টি (- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1)
 

প্রশ্ন: 3x² + 5x - 2 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
3x² + 5x -2
= 3x² + 6x - x  - 2
= 3x(x + 2) - 1(x + 2)
= (x + 2)(3x - 1)