ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: x + 5y = 15 এবং 5x + 8 = 58 হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
5x + 8 = 58
5x = 58 - 8
5x = 50
x = 10

আবার
x + 5y = 15
10 + 5y = 15
5y = 15 - 10
5y = 5
y = 1

y এর মান = 1

প্রশ্ন: 5 ≤ 3x + 1 < 16 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
5 ≤ 3x + 1 < 16
= 5 - 1 ≤ 3x + 1 - 1 < 16 - 1
= 4 ≤ 3x < 15
= 4/3 ≤ x < 15/3
= 4/3 ≤ x < 5

∴ অসমতাটির সমাধান [4/3, 5)

প্রশ্ন: x + 2y = 8 এবং 2x - 3y = - 5 হল x ও y এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে
x + 2y = 8...................(1)
2x - 3y = - 5..................(2)

(1)নং × 3 + (2)নং × 2 ⇒
3x + 6y + 4x - 6y = 24 - 10
7x = 14
x = 2

(1) নং হতে পাই
x + 2y = 8
2 + 2y = 8
2y = 8 - 2
2y = 6
y = 3

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 3)

প্রশ্ন: - 3 < x < 5 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ করুন।

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (- 3 + 5)/2 = 1

এখন,
-3 < x < 5
⇒ - 3 - 1 < x - 1 < 5 - 1 [উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে]
⇒ - 4 < x - 1 < 4
⇒ |x - 1| < 4

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 1| < 4

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে এর মান 2 হয়। আবার, হর থেকে 2 বিয়োগ করলে এর মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশটির লব a এবং হর b
 ভগ্নাংশটি = a/b

১ম শর্তানুসারে,
(a + 7)/b = 2
⇒ a + 7 = 2b
⇒ a - 2b = - 7 ................. (1)

২য় শর্তানুসারে,
a/(b - 2) = 1
⇒ a = b - 2
⇒ a - b = - 2 ................(2)

(2) নং - (1) নং 
a - b - a + 2b = - 2 + 7
∴ b = 5

b এর মান (2) নং এ বসাই,
a = - 2 + 5
∴ a = 3

∴ ভগ্নাংশটি = 3/5

প্রশ্ন: রানা 5 টাকা দরে x টি চকলেট এবং 8 টাকা দরে (x - 3) টি চকলেট কিনেছে। মোট ক্রয়মূল্য অনূর্ধ্ব 120 টাকা হলে, সে সর্বাধিক কয়টি চকলেট কিনেছে?

সমাধান:
x টি চকলেটের ক্রয়মূল্য = 5x টাকা
আবার, (x - 3) টি চকলেটের ক্রয়মূল্য = 8(x - 3) টাকা
প্রশ্নমতে,
5x + 8(x - 3) ≤ 120
⇒ 5x + 8x - 24 ≤ 120
⇒ 13x - 24 ≤ 120
⇒ 13x - 24 + 24 ≤ 120 + 24 [উভয় পক্ষে 24 যোগ করে]
⇒ 13x ≤ 144
⇒ 13x/13 ≤ 144/13 [উভয় পক্ষকে 13 দ্বারা ভাগ করে]
∴ x ≤ 11.08

যেহেতু চকলেটের সংখ্যা পূর্ণসংখ্যা হতে হবে এবং 11.08 এর চেয়ে বড় নয়,
অতএব, রানা সর্বাধিক 11 টি চকলেট কিনেছে।

[উত্তর যাচাই:
যদি x = 11 হয়:
১ম প্রকারের চকলেটের দাম = 5 × 11 = 55 টাকা
২য় প্রকারের চকলেটের দাম = 8 × (11 - 3) = 8 × 8 = 64 টাকা
মোট খরচ = 55 + 64 = 119 টাকা, যা 120 টাকার কম।

যদি x = 12 হয়:
১ম প্রকারের চকলেটের  দাম = 5 × 12 = 60 টাকা
২য় প্রকারের চকলেটের দাম  = 8 × (12 - 3) = 8 × 9 = 72 টাকা
মোট খরচ = 60 + 72 = 132 টাকা, যা 120 টাকার বেশি।]

প্রশ্ন: x + y = a - b এবং ax - by = a² + b² হলে, (y, x) = কত?

সমাধান:
x + y = a - b....................(1)
ax - by = a² + b².................(2)

(1) নং × b + (2) নং ⇒
bx + by + ax - by = ab - b² + a² + b²
ax + bx = a2 + ab
x(a + b) = a(a + b)
x = a

(1) নং ⇒
x + y = a - b
a + y = a - b
y = - b 

নির্ণেয় সমাধান (y, x) = (- b, a) 

প্রশ্ন: 3x - 7 ≤ - 1 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
3x - 7 ≤ - 1
⇒ 3x - 7 + 7 ≤ - 1 + 7
⇒ 3x ≤ 6
⇒ 3x/3 ≤ 6/3
⇒ x ≤ 2

∴ নির্ণেয় সমাধান: x ≤ 2
এবং সমাধান সেট, S = {x ∈ R: x ≤ 2}

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক দশকের অংক অপেক্ষা 5 বেশি। সংখ্যাটি এর অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির 3 গুণ অপেক্ষা 5 বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনেকরি, 
 দশকের অঙ্ক = x 
এককের অংক = x + 5
সংখ্যাটি = 10x + x + 5 
= 11x + 3 

প্রশ্নমতে,
11x + 5 = 3(x + x + 5) + 5
বা, 11x + 5 = 3(2x + 5) + 5 
বা, 11x + 5 = 6x + 15 + 5 
বা, 11x - 6x = 20 - 5
বা, 5x = 15
∴ x = 3 

অতএব, 
সংখ্যাটি = 11 × 3 + 5 = 38

প্রশ্ন: 2x² + mx + 8 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে m এর মান কত?

সমাধান:
এখানে a = 2, b = m, c = 8
সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে
∴ b² - 4ac = 0
⇒ m² - 4 × 2 × 8 = 0
⇒ m² - 64 = 0
⇒ m² = 64
⇒ m = ± 8

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল 120 এবং একটি অপরটির তিনগুণ হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
মনেকরি
একটি সংখ্যা = a 
অপর সংখ্যা = 3a

প্রশ্নমতে
a + 3a = 120
4a = 120
a = 30

একটি সংখ্যা = 30  
অপর সংখ্যা = 3 × 30 = 90 

অতএব, সংখ্যা দুইটি 30 এবং 90

প্রশ্ন: 7x - 4 ≥ 3x + 8 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
7x - 4 ≥ 3x + 8
বা, 7x - 4 - 3x ≥ 3x + 8 - 3x
বা, 4x - 4 ≥ 8
বা, 4x - 4 + 4 ≥ 8 + 4
বা, 4x ≥ 12
∴ x ≥ 3

প্রশ্ন: x একটি পূর্ণসংখ্যা যেখানে |x + 2.5| < 3। x এর কতগুলো মানের জন্য অসমতাটি প্রযোজ্য হবে?

সমাধান:
|x + 2.5| < 3
বা, - 3 < x + 2.5 < 3
বা, - 3 - 2.5 < x < 3 - 2.5
বা, - 5.5 < x < 0.5
যেহেতু x একটি পূর্ণসংখ্যা
∴ x এর মান হতে পারবে - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0 মোট 6 টি।

প্রশ্ন: (x + 3)(x - 4) = (x - 5)(x + 1) হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(x + 3)(x - 4) = (x - 5)(x + 1)
বা, x² - 4x + 3x - 12 = x² + x - 5x - 5
বা, x² - x - 12 = x² - 4x - 5
বা, x² - x - 12 - x² + 4x + 5 = 0
বা, 3x - 7 = 0
বা, 3x = 7
বা, x = 7/3

∴ নির্ণয় মান 7/3

প্রশ্ন: |x + 1| ≤ 4 হলে, a এবং b এর কোন মানের জন্য a ≤ 3x - 2 ≤ b হবে?

সমাধান:
|x + 1| ≤ 4
⇒ - 4 ≤ x + 1 ≤ 4
⇒ - 4 - 1 ≤ x + 1 - 1 ≤ 4 - 1
⇒ - 5 ≤ x ≤ 3
⇒ - 15 ≤ 3x ≤ 9
⇒ - 15 - 2 ≤ 3x - 2 ≤ 9 - 2
⇒ - 17 ≤ 3x - 2 ≤ 7
যেখানে, a ≤ 3x - 2 ≤ b
∴ a = - 17 এবং b = 7

প্রশ্ন: কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের সমষ্টি 2 এবং তাদের ঘনের সমষ্টি 27 হলে সমীকরণটি নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধরি, সমীকরণটির মূলদ্বয় α ও β
দেওয়া আছে,
α + β = 2 এবং α³ + β³ = 27

এখন (α + β)³ = α3 + β³ + 3αβ(α + β)
⇒ 2³ = 27 + 3 · αβ · 2
⇒ 6αβ = - 19
∴ αβ = - 19/6
সুতরাং α, β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ x² - (α + β)x + αβ = 0
বা, 6x² - 12x - 19 = 0 ই নির্ণেয় সমীকরণ।

প্রশ্ন: {1/|4x - 5|} ≥ (1/8) অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
{1/|4x - 5|} ≥ (1/8)
⇒ |4x - 5| ≤ 8
⇒ - 8 ≤ 4x - 5 ≤ 8
⇒ - 8 + 5 ≤ 4x - 5 + 5 ≤ 8 + 5
⇒ - 3 ≤ 4x ≤ 13
⇒ - 3/4 ≤ 4x/4 ≤ 13/4
⇒ - 3/4 ≤ x ≤ 13/4

প্রশ্ন: |x + 3| ≤ 8 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
|x + 3| ≤ 8
= - 8 ≤ x + 3 ≤ 8
= - 8 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 8 - 3
= - 11 ≤ x ≤ 5

∴ x এর সর্বনিম্ন মান - 11

প্রশ্ন: (4x - 9y, 3y - 2x) = (- 2, - 2) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4x - 9y = - 2 ...... (1)
3y - 2x = - 2 ...... (2)

(1) নং + (2) নং × 2 ⇒
4x - 9y + 6y - 4x = - 2 - 4
⇒ - 3y = - 6
∴ y = 2

(1) নং থেকে ⇒
4x - 18 = - 2
⇒ 4x = 16
∴ x = 4

প্রশ্ন: p > q, q < r, r > p হলে নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?

সমাধান:
যেহেতু
q < r এবং r > p
অর্থাৎ r এর মান p ও q থেকে বড়।

p > q
অর্থাৎ p এর মান q থেকে বড়।

তাই,
r > p > q

প্রশ্ন: রিপনের বয়স যদি ৪ বছর কমে যায়, তবে তার বয়স সাদিকের বয়সের দ্বিগুণ হবে। তাদের দুইজনের বয়সের যোগফল 44 বছর হলে সাদিকের বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
রিপনের বয়স = a বছর।
তাহলে সাদিকের বয়স = 44 - a  বছর।

প্রশ্নমতে,
a - 8 = 2(44 - a)
বা, a - 8 = 88  - 2a
বা, a + 2a = 88 + 8
বা, 3a = 96
∴ a = 32

রিপনের বয়স = 32 বছর।
সাদিকের বয়স = 44 - 32 = 12 বছর।

প্রশ্ন: দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে, যদি-

সমাধান:
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

প্রশ্ন: 3a - 7b + 10 = 0 এবং b - 2a - 3 = 0 হলে, (a, b) = কত?

সমাধান;
3a - 7b + 10 = 0
⇒ 3a - 7b = - 10 ............ (1)
এবং b - 2a - 3 = 0
⇒ - 2a + b = 3 .......... (2)

(ii) নং কে 7 দ্বারা গুণ করে (1) নং এর সাথে যোগ করি-
3a - 7b - 14a + 7y = 21 - 10
⇒ - 11a = 11
∴ a = - 1

a এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
 - 3 - 7b = - 10
⇒ 7b= 7
∴ b = 1
∴ (a, b) = (- 1, 1)