Math Master

প্রশ্ন: 4^{x + 1} = 512 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
4^{x + 1} = 512
⇒ (2²)^{x + 1} = 2⁹
⇒ 2^{2x + 2} = 2⁹
⇒ 2x + 2 = 9
⇒ 2x = 9 - 2
⇒ 2x = 7
∴ x = 7/2

প্রশ্ন: 2a + 9 > 13 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
2a + 9 > 13
⇒ 2a + 9 - 9 > 13 - 9
⇒ 2a > 4
⇒ (2a/2) > (4/2)
⇒ a > 2

∴ সমাধান সেট, S = {a ∈ R: a > 2}

প্রশ্ন: 3x + 2y = 8 এবং 3x - y = 5 হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
3x + 2y = 8 .............(1)
3x - y = 5 .............(2)

(1) + (2) × 2 ⇒
3x + 2y + 6x - 2y = 8 + 10
⇒ 9x = 18
⇒ x = 2

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
3x + 2y = 8
⇒ (3 × 2) + 2y = 8
⇒ 6 + 2y = 8
⇒ 2y = 8 - 6
⇒ 2y = 2
⇒ y = 1

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 1)

প্রশ্ন: a = √11 - (1/a) হলে, a² + (1/a²) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = √11 - (1/a)
⇒ a + (1/a) = √11

∴ প্রদত্ত রাশি = a² + (1/a²)
= {a + (1/a)}² - 2 · a · (1/a)
= (√11)² - 2
= 11 - 2
= 9

প্রশ্ন: log₅ 5√5 = কত?

সমাধান:
ধরি,
log₅ 5√5 = a
⇒ 5^a = 5√5
⇒ 5^a = 5¹ × 5^(1/2)
⇒ 5^a = 5^{{1 + (1/2)}}
⇒ a = 1 + (1/2)
⇒ a = (2 + 1)/2
⇒ a = 3/2
∴ a = 3/2

প্রশ্ন: (x - 8) = (x - 8)/x হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(x - 8) = (x - 8)/x
⇒ x(x - 8) = x - 8
⇒ x(x - 8) - (x - 8) = 0
⇒ (x - 8) (x - 1) = 0

হয়, x - 8 = 0
⇒ x = 8

অথবা,
x - 1 = 0
⇒ x = 1

প্রশ্ন: 2x² - 8x + 6 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
2x² - 8x + 6 = 0 সমীকরণ ax² + bx + c = 0 এর সহিত তুলনা করে পাই,
a = 2, b = - 8, c = 6

আমরা জানি,
নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 8)² - 4 × 2 × 6
= 64 - 48
= 16 > 0

যেহেতু, b² - 4ac > 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

• দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

প্রশ্ন: a² + b² + c² = 18 এবং (a + b + c) = 6 হলে, ab + bc + ca এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
⇒ 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)
⇒ 2(ab + bc + ca) = 6² - 18
⇒ 2(ab + bc + ca) = 36 - 18
⇒ 2(ab + bc + ca) = 18
⇒ (ab + bc + ca) = 18/2
∴ (ab + bc + ca) = 9

প্রশ্ন: a এর মান কত হলে, 104 ⋅ 4^{3a - 4} = 26 হবে?

সমাধান:
104 ⋅ 4^{3a - 4} = 26
⇒ 4^{3a - 4} = 26/104
⇒ 4^{3a - 4} = 1/4
⇒ 4^{3a - 4} = 4^{- 1}
⇒ 3a - 4 = - 1
⇒ 3a = - 1 + 4
⇒ 3a = 3
∴ a = 1

প্রশ্ন: 4 < x < 14 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (4 + 14)/2
= 18/2
= 9

এখন,
4 < x < 14
⇒ 4 - 9 < x - 9 < 14 - 9 [উভয়পক্ষ থেকে 9 বিয়োগ করে]
⇒ - 5 < x - 9 < 5
⇒ |x - 9| < 5

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 9| < 5

প্রশ্ন: 4y² - 7y - 15 এর একটি উৎপাদক (4y + 5) হলে, অপরটি কত?

সমাধান:
4y² - 7x - 15
= 4y² - 12y + 5y - 15
= 4y(y - 3) + 5(y - 3)
= (y - 3)(4y + 5)

∴ অপর উৎপাদকটি হবে = (4y + 5).

প্রশ্ন: a² + (1/a²) = 14 হলে, (a⁶ + 1)/a³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + (1/a²) = 14
⇒ {a + (1/a)}² - 2 · a · 1/a = 14
⇒ {a + (1/a)}² = 14 + 2
⇒ a + (1/a ) = √16
⇒ a + (1/a ) = 4

∴ প্রদত্ত রাশি, (a⁶ + 1)/a³
= (a⁶/a³) + (1/a³)
= a³ + (1/a³)
= {a + (1/a)}³ - 3 · a · (1/a){a + (1/a)}
= (4)³ - 3 · 4
= 64 - 12
= 52

প্রশ্ন: (5/7)³ · (5/7)^{- 6} = (5/7)^{2x - 1} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(5/7)³ · (5/7)^{- 6} = (5/7)^{2x - 1}
⇒ (5/7)^{3 - 6} = (5/7)^{2x - 1}
⇒ (5/7)^{- 3} = (5/7)^{2x - 1}
⇒ - 3 = 2x - 1
⇒ 2x = - 3 + 1
⇒ 2x = - 2
∴ x = - 1

প্রশ: (3a + 2b, 20) = (8, 2a + 8b) হলে (a, b) এর মান কত?

সমাধান:
3a + 2b = 8 .......... (1)
2a + 8b = 20 ......... (2)

(2) নং - {(1) নং × 4} হতে পাই,
2a + 8b - 12a - 8b = 20 - 32
⇒ - 10a = - 12
⇒ 10a = 12
⇒ a = 12/10
∴ a = 6/5

a এর মান (1) নং সমীকরণে বসাই,
3 × (6/5) + 2b = 8
⇒ (18/5) + 2b = 8
⇒ 2b = 8 - (18/5)
⇒ 2b = (40 - 18)/5
⇒ 2b = 22/5
⇒ b = 11/5

সুতরাং (a, b) = (6/5, 11/5)

প্রশ্ন: a + b = 16, a - b = 4 হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 16
a - b = 4

আমরা জানি,
4ab = (a + b)² - (a - b)²
⇒ 4ab = 16² - 4²
⇒  4ab = 256 - 16
⇒  4ab = 240
∴ ab = 60

প্রশ্ন: log_x(1/49) = - 2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/49) = - 2
⇒ x^{- 2} = 1/49
⇒ 1/x² = 1/49
⇒ x² = 49
⇒ x² = 7²
∴ x = 7

প্রশ্ন: যদি 2x + y = 10 এবং 3x - y = 5 হয়, তবে x এবং y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x + y = 10
⇒ y = 10 - 2x ...............(1)
3x - y = 5 ......... (2)

y এর মান (2) নং এ বসাই,
⇒ 3x - (10 - 2x) = 5
⇒ 3x - 10 + 2x = 5
⇒ 5x = 5 + 10
⇒ 5x = 15
∴ x = 3

x এর মান (1) নং এ বসাই,
y = 10 - (2 × 3)
⇒ y = 10 - 6
∴ y = 4

নির্ণেয় সমাধান: (x, y) = (3, 4)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 6a² + 19a - 20 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
6a² + 19a - 20
= 6a² + 24a - 5a - 20
= 6a(a + 4) - 5(a + 4)
= (a + 4)(6a - 5)

প্রশ্ন: b/a = 1/8 এবং a + 2b = 20 হয়, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(b/a) = (1/8)
⇒ a = 8b ............... (1)
এবং a + 2b = 20 .......... (2)

এখন,
(2) নং সমীকরণে a এর মান বসিয়ে পাই,
8b + 2b = 20
⇒ 10b = 20
⇒ b = (20/10)
∴ b = 2

b এর মান (1) নং এ বসাই,
⇒ a = 8 × 2
∴ a = 16