১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: একটি ঘনকের দৈর্ঘ্য p হলে, নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
একটি ঘনকের দৈর্ঘ্য p হলে,
ঘনকের কর্ণ = √3p
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6p²
ঘনকের আয়তন = p³

প্রশ্ন: একটি সাবানের দৈর্ঘ্য ৫ সে. মি. প্রস্থ ৪ সে . মি. এবং উচ্চতা ৩ সে. মি. হলে, ৮০ সে. মি. দৈর্ঘ্য, ৫০ সে. মি. প্রস্থ এবং ৩০ সে. মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি বাক্সের মধ্যে কতটি সাবান রাখা যাবে?

সমাধান:
একটি সাবানের আয়তন = (৫ × ৪ × ৩) ঘন সে. মি.
= ৬০ ঘন সে. মি.

একটি বাক্সের আয়তন = (৮০ × ৫০ × ৩০) ঘন সে. মি.
= ১,২০,০০০ ঘন সে. মি.

তাহলে, একটি বাক্সে সর্বমোট সাবান ধরবে = বাক্সের আয়তন/সাবানের আয়তন
= ১,২০,০০০/৬০ টি
= ২০০০ টি

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৪৮ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৪৮ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪৮/৩ = ১৬ মিটার

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)^২বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ১৬^২বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ২৫৬ বর্গমিটার
= ৬৪√৩ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ৮ সে. মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কোণকের ভুমির ব্যাস ১২ সে. মি. হলে, কোণকের তির্যক উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা h = ৮ সে. মি.
ব্যাসার্ধ r = ১২/২ = ৬ সে. মি.

আমরা জানি,
কোণকের তির্যক উচ্চতা L = √(h²+r²) সে. মি.
= √(৮^২+ ৬^২)সে. মি.
= √১০০ সে. মি.
= ১০  সে. মি.

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ১২ সে. মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ ৩০° হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ, θ = ৩০°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য, a = b = ১২ সে. মি

আমরা জানি,
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (১/২)absinθ
=  (১/২) × ১২ × ১২ × sin৩০°
=  (১/২) × ১২ × ১২ × ১/২
= ৩৬ বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: ১৫ সে. মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা ২৫ সে. মি. । ইহার আয়তন কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = (১/৩) × (ভূমির ক্ষেত্রফল)^২ × উচ্চতা 
= (১/৩) × ১৫^২ ×২৫ ঘন সে. মি.
= (১/৩) × ২২৫ × ২৫ ঘন সে. মি.
= ১৮৭৫ ঘন সে. মি.

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গ সে. মি. হলে, এবং একটি কর্ণ ১৪ সে. মি. হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে. মি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গ সে. মি.
একটি কর্ণ ১৪ সে. মি.
অপর কর্ণ = ? সে. মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × একটি কর্ণ × অপর কর্ণ 
বা, (১/২) × একটি কর্ণ × অপর কর্ণ = রম্বসের ক্ষেত্রফল
বা, (১/২) × ১৪ × অপর কর্ণ = ৮৪
বা, ৭ × অপর কর্ণ = ৮৪
বা, অপর কর্ণ = ৮৪/৭
∴ অপর কর্ণ = ১২

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য ১২ সে. মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের তিনগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৪৩২ বর্গমিটার হলে, পরিসীমার তিনগুণ কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার = ক মিটার
আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার
আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = (৩ক × ক) বর্গমিটার
= ৩ক^২বর্গমিটার

শর্তমতে,
৩ক^২ = ৪৩২
বা, ক^২= ৪৩২/৩
বা, ক^২= ১৪৪
বা, ক = √১৪৪
∴ ক = ১২

∴ আয়তাকার ঘরের বিস্তার = ১২ মিটার
আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = (১২ × ৩) = ৩৬ মিটার

তাহলে, আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(৩৬ + ১২) মিটার
= ২ × ৪৮ = ৯৬ মিটার
∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমার তিনগুণ = ৯৬ × ৩ = ২৮৮ মিটার

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার, এর উচ্চতা ৪ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমির অর্ধেক কত সে. মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার
উচ্চতা ৪ মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
সামান্তরিকের ভূমি = সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল/উচ্চতা
= ৭২/৪ = ১৮  মিটার

∴ সামান্তরিকের ভূমির অর্ধেক = ১৮/২ = ৯ মিটার = (৯ × ১০০) = ৯০০ সে. মি.

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সে. মি. ও ১০ সে. মি. এবং লম্ব দূরত্ব ৮ সে. মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সে. মি. ও ১০ সে. মি.
লম্ব দূরত্ব ৮ সে. মি.

∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × লম্ব দূরত্ব 
= (১/২) × (১২ + ১০) × ৮
= (১/২) × ২২ × ৮
= ১১ × ৮
= ৮৮ বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০√২ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০√২ মিটার 

মনে করি,
বর্গের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ক মিটার
তাহলে, বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য √২ক মিটার

 শর্তমতে,
√২ক = ১০√২
বা, ক = ১০

∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)^২=১০^২=১০০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ২০ সে. মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = ২০ সে. মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২
= (২২/৭) × (২০)^২
= (২২/৭) × ৪০০
= ১২৫৭.১৪৩ বর্গ সে. মি.

তাহলে,  অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল = ১২৫৭.১৪৩/২ = ৬২৮.৫৭ বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: ২০ সে. মি. ব্যাসের বৃত্তের পরিধি কত?

সমাধান:
বৃত্তের পরিধি নির্ণয় করার সূত্র :
C = π × d

এখানে, ব্যাস d = ২০ সে. মি.
তাহলে, বৃত্তের পরিধি C = ৩.১৪ × ২০ সে. মি. 
= ৬২.৮ সে. মি. 

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৩০ মিটার । এর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার হলে, প্রস্থ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৩০ মিটার
এর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার

মনে করি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (১০ + ক) মিটার

শর্তমতে,
২ × (১০ + ক) = ৩০
বা, (১০ + ক) = ৩০/২
বা, ১০ + ক = ১৫
বা, ক = ১৫ - ১০
∴ ক = ৫ মিটার

তাহলে, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৫ মিটার

প্রশ্ন: ১০ সে. মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৬ সে. মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = ১০ সে. মি.
বৃত্তের কেন্দ্র হতে জ্যা পর্যন্ত দূরত্ব, d = ৬ সে. মি.

তাহলে, জ্যা = ২√(ব্যাসার্ধ^২- কেন্দ্র হতে দূরত্ব^২)
= ২√(১০^২- ৬^২) সে. মি.
= ২√(১০০ - ৩৬)
= ২ × √৬৪
= ২ × ৮
= ১৬ সে. মি.

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্বের দৈর্ঘ্য সমান হলে, অতিভুজ হবে লম্বের-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = লম্ব
মনে করি,
ভূমি = লম্ব = ক

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ^২= লম্ব^২+ ভূমি^২
= ক^২+ ক^২
= ২ক^২
⇒ অতিভুজ^২ = ২ক^২
∴ অতিভুজ = √২ক = √২ × লম্ব

তাহলে, অতিভুজ হবে লম্বের √২ গুণ।

প্রশ্ন: ৪৮ বর্গমিটার একটি ত্রিভুজাকৃতির ভূমির উচ্চতা ৮ মিটার হলে তার দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
ত্রিভুজাকৃতির ভূমির ক্ষেত্রফল = ৪৮ বর্গমিটার
ত্রিভুজাকৃতির ভূমির উচ্চতা ৮ মিটার
 
আমরা জানি,
ত্রিভুজাকৃতির ভূমির ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
∴ ত্রিভুজাকৃতির ভূমির দৈর্ঘ্য = (২ × ত্রিভুজাকৃতির ভূমির ক্ষেত্রফল)/উচ্চতা
= (২ × ৪৮)/৮ মিটার
= ৯৬/৮ মিটার
= ১২ মিটার

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত ৪ : ৩ হলে, বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ (৪ক/২) এবং (৩ক/২)

তাহলে, বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π × (৪ক/২)^২ : π × (৩ক/২)^২
= π × (২ক)^২ : π × ৯ক^২/৪
= π × ৪ক^২ : π × ৯ক^২/৪
= ৪ক^২ : ৯ক^২/৪
= ১৬ক^২: ৯ক^২
= ১৬ : ৯

প্রশ্ন: ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৭√২ মিটার হলে, ঘনকের আয়তন কত হবে?

সমাধান:
ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৭√২
মনে করি,
ঘনকের ধার ক মিটার
∴ ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য ক√২ মিটার

শর্তমতে,
ক√২ = ৭√২
∴ ক = ৭

∴ ঘনকের আয়তন = ক^৩=৭^৩=৩৪৩ ঘনমিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে, 25 সে.মি., 20 সে.মি. এবং 15 সে.মি.। আয়তন নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে, 25 সে.মি., 20 সে.মি. এবং 15 সে.মি.

আমরা জানি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= (25 × 20 × 15) ঘন সে. মি.
= 7500 ঘন সে. মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার, প্রস্থ ৬ মিটার হলে, এর দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার
প্রস্থ ৬ মিটার 
মনে করি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের  দৈর্ঘ্য ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(দৈর্ঘ্য^২+ প্রস্থ^২)
= √(ক^২+ ৬^২) মিটার
= √(ক^২+ ৩৬) মিটার

শর্তমতে,
√(ক^২+ ৩৬) = ১০
বা, ক^২+ ৩৬ = ১০^২
বা, ক^২= ১০০ - ৩৬
বা, ক^২= ৬৪
বা, ক = √৬৪
∴ ক = ৮

তাহলে, আয়তাকার ক্ষেত্রের  দৈর্ঘ্য ৮ মিটার

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 8 সে.মি. এবং উচ্চতা 21 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 8 সে.মি.
উচ্চতা, h = 21 সে.মি.

আমরা জানি,
 সিলিন্ডারের আয়তন, V = πr²h ঘনএকক
= (22/7) × 8² × 21 ঘন সে.মি.
= (22/7) × 64 × 21 ঘন সে.মি.
= 22 × 64 × 3 ঘন সে.মি.
= 4224 ঘন সে.মি.

∴সিলিন্ডারের আয়তন 4224 ঘন সে.মি. ।