১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি

¹⁸C_r = ¹⁸C_{r + 2} 
r + r + 2 = 18
2r + 2 = 18
2r = 16
r = 8

^rC₅ =⁸C₅ =56

ছক্কা নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফল হলো {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬}
3 অপেক্ষা বড় সংখ্যা হওয়ার অনুকূল ফলাফল = ৪, ৫, ৬
∴  3 অপেক্ষা বড় সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা= ৩/৬ = ১/২

বালক =8 জন
বালিকা = 2 জন

8 জন বালক থেকে 4 জন ও বালিকা 2 জন থেকে 2 জন নিয়ে
কমিটি গঠনের উপায় = ⁸C₄ × ²C₂
                                  = 70 × 1
                                  = 70

দেয়া আছে,
U = {x : x ∈ N এবং x ≤ 6}
A = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 5 }

U ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
A ={2, 3, 5}
A' = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - A ={2, 3, 5}
     = {1, 4, 6}

'Background' শব্দটি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে 7টি 
 এবং স্বরবর্ণ আছে 3টি 

7টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায় = ⁷C₃
                                                                                 = 35 
3টি স্বরবর্ণ থেকে 3টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় = ³C₃ 
                                                                        = 1 
বাছাইয়ের মোট উপায় = 35 × 1 
                                   =35

- একটি প্যাকেটে মোট তাসের সংখ্যা = 52টি।
- এর মধ্যে লাল ও কালো তাসের সংখ্যা = 26টি করে।
- রুইতন, হরতন, ইস্কাপন ও চিরাতন ১৩টি করে।
- টেক্কা, রাজা, রানি ও জ্যাক ৪টি করে।
- নম্বর যুক্ত তাপ ৩৬টি।
- ছবিযুক্ত তাস ১২টি (রাজা, রানি ও জ্যাক ৪টি করে)।

হরতন হওয়ার সম্ভাবনা = ১৩/৫২ = ১/৪
রুইতন হওয়ার সম্ভাবনা = ১৩/৫২ = ১/৪

হরতন বা রুইতন হওয়ার সম্ভাবনা = (১/৪) + (১/৪) = (১ + ১)/৪ = ১/২

'HOLIDAY' শব্দটিতে 7 টি বর্ণ রয়েছে
যাদের মধ্যে 3টি স্বরবর্ণ।

7 টি বর্ণকে সাজানো যায় =7! = 5040

 স্বরবর্ণ 3টিকে 1টি ধরে মোট বর্ণ হয় 5টি 
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
 স্বরবর্ণ 3টিকে সাজানো যায় = 3! 

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 5! × 3!
                                                                 = 120 × 6 
                                                                  = 720
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 5040 - 720
                                                                      = 4,320

১ম পাত্রে 
লাল বল = ৫টি
সবুজ বল = ৪টি 
মোট বল = (৫ + ৪)টি = ৯টি 

২য় পাত্রে 
লাল বল = ৩টি
সবুজ বল = ৬টি 
মোট বল = (৩ + ৬)টি  = ৯টি 

১ম পাত্রে হতে লাল এবং ২য় পাত্রে সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = (৫/৯) × (৬/৯) = ১০/২৭
১ম পাত্রে হতে সবুজ এবং ২য় পাত্রে লাল হওয়ার সম্ভাবনা = (৪/৯) × (৩/৯) = ৪/২৭
১ম পাত্রে হতে লাল এবং ২য় পাত্রে লাল হওয়ার সম্ভাবনা = (৫/৯) × (৩/৯) = ৫/২৭

মোট লাল বল হওয়ার সম্ভবনা  = (১০/২৭) + (৪/২৭) + (৫/২৭)
                                              = (১০ + ৪ + ৫)/২৭
                                              = ১৯/২৭

A = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 

A সেটের উপাদান গুলো 5 থেকে শুরু করে 12 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যা 
A = {x ∈ N: 5 ≤ x ≤12}

বালক = 5 জন 
বালিকা = 4 জন 
মোট = 5 + 4 = 9 জন 

 বাছাই করা যাবে = ⁹C₄ = 126 উপায়ে 

১ থেকে ২৯ পর্যন্ত ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো : ৪, ৮, ১২, ১৬, ২০, ২৪, ২৮
এখানে
n  = ৭
∴ মধ্যক =  (n + ১)/২ তম পদ
              = (৭+১)/২ তম পদ
              = ৪ তম পদ 
              = ১৬

প্রদত্ত অংকগুলো 1, 8, 3, 6, 4, 2 যা ভিন্ন ভিন্ন 

নির্ণেয় সংখ্যা  = ⁶P₃ = 120

ধরি 
ক্রমিক সংখ্যা তিনটি
x -1, x, x + 1
এখন 
(x - 1)(x)(x + 1) = 8(x - 1 + x + x + 1)
x(x² -1) = 24x
x² - 1 = 24
x² = 25
x = 5

সংখ্যা তিনটির গড় = (4 + 5 + 6)/3 = 5

৭, ৮, ৪, ৭, ১০, ১০, ৭, ২১, ৩, ২২, ৮, ২৯, ৩২, ৯ সংখ্যাগুলোরকে মানের ঊর্ধক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই,
৩, ৪, ৭, ৭, ৭, ৮, ৮, ৯, ১০, ১০, ২১, ২২, ২৯, ৩২

এখানে 
৭ সবচেয়ে বেশি বার আছে। 

নির্ণেয় প্রচুরক = ৭ 

'CURRENCY' শব্দে 8টি বর্ণ আছে। যেখানে 
R = 2টি
C = 2টি

১ম অক্ষর E ও শেষ অক্ষর Y থাকলে বাকী থাকে 6টি অক্ষর

∴ সাজানো যাবে = 6!/(2!2!)
                         = 180 উপায়ে

1 থেকে 80 পর্যন্ত বর্গসংখ্যা 8টি এবং মোট সংখ্যা 80 টি।
1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64

সুতরাং একটি সংখ্যা দৈবচয়ন করা হলে, বর্গ সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা = 8/80 = 1/10।

'ক', 'খ' ও 'গ' এর মানের গড় ২০
'ক', 'খ' ও 'গ' এর মানের সমষ্টি = ২০ × ৩ = ৬০
'গ' এর মান ২২

ক', ও 'খ'  এর মানের সমষ্টি =৬০ - ২২ = ৩৮
'ক' ও 'খ' এর মানের গড়  = ৩৮/২ = ১৯

দেয়া আছে,
A ={x : x ∈ R এবং x² - (a + b)x + ab = 0} 
B  = {a , b , c}

এখানে 
x² - (a + b)x + ab = 0
x² - ax - bx + ab = 0
x(x - a) - b(x - a) = 0
(x - a)(x - b) = 0
x = a, b 

A ={a, b}
B = {a, b, c}

A ∩ B = {a, b} ∩ {a, b, c} = {a, b}

'DESSERT' শব্দটিতে বর্ণ আছে 7 টি 
E = 2টি 
S = 2টি 

'DESSERT' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা =7!/2!2! = 1260

নীল বল = ১০টি 
লাল বল = ১৫টি 

দুটি বল নীল হওয়ার সম্ভাবনা  = (১০/২৫) × (৯/২৪) = ৩/২০
দুটি বল লাল হওয়ার সম্ভাবনা  = (১৫/২৫) × (১৪/২৪) = ৭/২০

বল দুইটি একই রঙের হওয়ার সম্ভাবনা =  (৩/২০) + (৭/২০)  
                                                            = (৩ + ৭)/২০ = ১০/২০ = ১/২ 

দেয়া আছে,
x + 1 + x - 1 + 2x + 3 + 0 + x + 5 + 2 = 50
5x + 10 = 50 
5x = 40 
x = 8 

পুরুষ আছেন = 8 জন  
মহিলা আছেন = 6 জন  

8 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 জন পুরুষ নিয়ে বাছাই করার উপায় = ⁸C₄ 
                                                                                                 = 70

6 জন মহিলার মধ্য থেকে 4 জন মহিলা  নিয়ে বাছাই করার উপায় =⁶C₄ 
                                                                                                  = 15
সাব কমিটি গঠন করা যেতে পারে = 70 × 15 
                                                   = 1050

৩টি পোস্টবাক্সে ৬টি চিঠি ফেলা যায় = ৩^৬ 

এখানে,
P(M) = 4/9
P(B)  = ? 
P(B ∩ M) = 14/45 
P(B ∪ M) = 4/5


আমরা জানি ,
P(B ∪ M) = P(B) + P(M) - P(B ∩ M)
4/5 = P(B) +  4/9 - (14/45)
(4/5) - (4/9) + (14/45) =  P(B)
(36 - 20 + 14)/45 =  P(B)
30/45 =  P(B)
 P(B) = 2/3

২০ থেকে ৪০ এর মধ্যবর্তী মৌলিক সংখ্যা গুলো হলো = ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭ 

গড় = (২৩ + ২৯ + ৩১ + ৩৭)/৪
       = ১২০/৪
       = ৩০

দেয়া আছে,
X ={a, b, c} 
Y = ∅

X ∪ Y  = {a, b, c} ∪ ∅
           = {a, b, c}