১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: (x - y, 5) = (- 1, x + 2y) হলে (x, y) = কত? 

সমাধান: 
এখানে,
x - y = - 1......................(1) 
x + 2y = 5.....................(2) 

(1) - (2) হতে পাই,
x - y - x - 2y = - 6
⇒ - 3y = - 6
⇒ 3y = 6
⇒ y = 6/3 
∴ y = 2

y এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
x - 2 = - 1 
⇒ x = - 1 + 2 
∴ x = 1 

∴ (x, y) = (1, 2)

প্রশ্ন: Ι2x - 2Ι ≤ 8 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
Ι2x - 2Ι ≤ 8
⇒ - 8 ≤ 2x - 2 ≤ 8 
⇒ - 8 + 2 ≤ 2x - 2 + 2 ≤ 8 + 2 
⇒ - 6 ≤ 2x ≤ 10
⇒ (- 6/2) ≤ (2x/2) ≤ (10/2)
⇒ - 3 ≤ x ≤ 5

∴ x -এর সর্বোচ্চ মান = 5

প্রশ্ন: (a + 5)² - (a - 2)² এর সরলীকৃত মান কোনটি?

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি = (a + 5)² - (a - 2)²
= (a + 5 + a - 2)(a + 5 - a + 2)
= (2a + 3)(7)
= 14a + 21

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল ৭৫। ছোট সংখাটির ৬ গুণ বড় সংখ্যাটির ৩ গুণের সমান হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
∴ বড় সংখ্যাটি = ৭৫ - ক

প্রশ্নমতে,
৬ক = ৩(৭৫ - ক)
⇒ ৬ক = ২২৫ - ৩ক
⇒ ৬ক + ৩ক = ২২৫
⇒ ৯ক = ২২৫
⇒ ক =২২৫/৯
∴ ক = ২৫

∴ ছোট সংখ্যাটি = ২৫
∴ বড় সংখ্যাটি = ৭৫ - ২৫
= ৫০

প্রশ্ন: যদি 5x + 4 > 4 - 4x হয়, তবে অসমতাটির সমাধান হবে- 

সমাধান:
এখানে,
5x + 4 > 4 - 4x 
⇒ 5x + 4x > 4 - 4 
⇒ 9x > 0 
∴ x > 0

প্রশ্ন: যদি P = x² - xy + y² এবং Q = x² + xy + y² হয় তবে, P - Q = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = x² - xy + y²
এবং Q = x² + xy + y²

প্রদত্ত রাশি = P - Q
= (x² - xy + y²) - (x² + xy + y²)
= x² - xy + y² - x² - xy - y²
= - 2xy

প্রশ্ন: একজন ব্যাটসম্যান ২০ টি ৪ ও ৬ এর মাধ্যমে ৯২ রান করে। তার ৬ এর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
৪ এর সংখ্যা = ক
৬ এর সংখ্যা = ২০ - ক

প্রশ্নমতে,
৪ক + ৬(২০ - ক) = ৯২
⇒ ৪ক + ১২০ - ৬ক = ৯২
⇒ - ২ক = ৯২ - ১২০
⇒ - ২ক = - ২৮
⇒ ক = ২৮/২
∴ ক = ১৪ 

∴ তার ৪ এর সংখ্যা ১৪ টি
∴ তার ৬ এর সংখ্যা = (২০ -১৪) টি
= ৬ টি

প্রশ্ন: x² - 16 ≤ 0 এর সমাধান কোনটি? 

সমাধান: 
x² - 16 ≤ 0 
⇒ x² ≤ 16
⇒ x ≤ ± 4
∴ - 4 ≤ x ≤ 4 

x এর মান বর্গমূল করলে + 4 অপেক্ষা ছোট বা সমান এবং - 4 থেকে বড় বা সমান।

প্রশ্ন:  রাশিটিকে সরল করলে নিচের কোনটি হবে?

সমাধান:

প্রশ্ন: x + 2y = 11, 3x - y = 12 হলে, 4x + 4y এর মান কত? 

সমাধান: 
 x + 2y = 11................(1)
3x - y = 12 ................(2)

(2) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে (1) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
6x - 2y + x + 2y = 24 + 11
⇒ 7x = 35
∴ x = 5

(1) নং হতে পাই,
x + 2y = 11
⇒ 5 + 2y = 11
⇒ 2y = 6
∴ y = 3 

∴ নির্ণেয় মান = 4x + 4y = (4 × 5) + (4 × 3) = 32

প্রশ্ন: - 9 < x < 11 এর পরম মান কত?

সমাধান: 
এখানে,
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (- 9 + 11)/2
= 2/2
= 1

এখন,
- 9 < x < 11
⇒ - 9 - 1 < x - 1 < 11 - 1 [উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে]
⇒ - 10 < x - 1 < 10
⇒ |x - 1| < 10

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 1| < 10

প্রশ্ন: দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত?

সমাধান:


∴ নির্ণয় ভাগফল = (a - b)²

প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 3 ও 7 হলে, সমীকরণটি - 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল = - 3 ও 7

∴ সমীকরণটি হবে,
x² - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0 
⇒ x² - (- 3 + 7)x + (- 3 × 7) = 0
⇒ x² - 4x - 21 = 0

প্রশ্ন: Ιx + 5Ι = Ιx - 4Ι হলে x -এর মান কত?

সমাধান:
Ιx + 5Ι = Ιx - 4Ι 
⇒ Ιx + 5Ι² = Ιx - 4Ι²    [যেহেতু, ΙaΙ² = a²]
⇒ (x + 5)² = (x - 4)² 
⇒ x² + 10x + 25 = x² - 8x + 16
⇒ x² + 10x + 25 - x² + 8x - 16 = 0 
⇒ 18x + 9 = 0
⇒ 18x = - 9
⇒ x = - 9/18 
∴ x = - 1/2

প্রশ্ন:  হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,

প্রশ্ন: a² - 4a + c = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি 5 হয়, তাহলে c এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
একটি মূল = 5
∴ a = 5

এখন,
a² - 4a + c = 0
⇒ (5)² - 4 × 5 + c = 0
⇒ 25 - 20 + c = 0
⇒ 5 + c = 0
∴ c = - 5

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় অসমতাটির সমাধান-

সঠিক উত্তর: x > 8/3
অপশনে সঠিক উত্তর না থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হলো। 
----------------------- 

সমাধান: 

প্রশ্ন: a = 2c, a/b = c/d এবং d = 3 হলে b = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a/b = c/d
⇒ 2c/b = c/3 [a = 2c এবং d = 3 বসিয়ে] 
⇒ bc = 6c 
⇒ b = 6c/c 
∴ b = 6

প্রশ্ন: p এর মান কত হলে 5x² - px + 5 = 0 একটি পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
পূর্ণবর্গ রাশির মূলদ্বয় সমান হয়।
যদি, b² - 4ac = 0 হয় তবে মূলদ্বয় সমান হবে।

এখানে, a = 5, b = - p এবং c = 5

∴ b² - 4ac = 0
⇒ (- p)² - 4 × 5 × 5 = 0
⇒ p² - 100 = 0
⇒ p² = 100
∴ p = ± 10

∴  p এর মান ± 10 হলে 5x² - px + 5 = 0 রাশিটি একটি পূর্ণ বর্গ হবে।

প্রশ্ন: - 7 < 3x + 2 ≤ 11 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
- 7 < 3x + 2 ≤ 11
⇒ - 7 - 2 < 3x + 2 - 2 ≤ 11 - 2
⇒ - 9 < 3x ≤ 9
⇒ - 9/3 < x ≤ 9/3
⇒ - 3 < x ≤ 3

∴ অসমতাটির সমাধান = (- 3, 3]

প্রশ্ন: x² - 11x + 28 এর একটি মূল 7 হলে অপর মূল কত?

সমাধান:
x² - 11x + 28
= x² - 7x - 4x + 28
= x(x - 7) - 4(x - 7)
= (x - 7)(x - 4)

∴ x = 4, 7

∴ x একটি মূল 7 হলে অপর মূলটি হবে 4.

প্রশ্ন: একটি ক্লাসের শিক্ষার্থীদের মধ্যে ৬০৭৫ টাকা বিতরণ করা হলো। প্রত্যেক শিক্ষার্থী ক্লাসের মোট শিক্ষার্থী সংখ্যার তিনগুণ টাকা পেলে, শিক্ষার্থী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = ক জন 
∴ প্রত্যেক শিক্ষার্থী টাকা পায় = ৩ক টাকা

প্রশ্নমতে,
ক × ৩ক = ৬০৭৫
⇒ ৩ক^২ = ৬০৭৫
⇒ ক^২ = ৬০৭৫/৩
⇒ ক^২ = ২০২৫
∴ ক = ৪৫

∴ মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা ৪৫ জন।

প্রশ্ন: 5x - 6 ≤ - 1 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
5x - 6 ≤ - 1
⇒ 5x - 6 + 6 ≤ - 1 + 6
⇒ 5x ≤ 5
⇒ 5x/5 ≤ 5/5
⇒ x ≤ 1

∴ নির্ণেয় সমাধান: x ≤ 1
এবং সমাধান সেট, S = {x ∈ R: x ≤ 1}

প্রশ্ন: x + y = 8 হলে, নিচের কোনটি xy এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x + y = 8
∴ x ও y এর সম্ভাব্য মান গুলো হলো = (7, 1), (6, 2), (5, 3), (4, 4)

∴ xy এর মান = 7, 12, 15, 16

∴ সর্বোচ্চ মান = 16

প্রশ্ন: x² - x - 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন? 

সমাধান: 
এখানে,
x² - x - 4 = 0 কে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 1, b = - 1 এবং c = - 4

এখন,
b² - 4ac = (- 1)² - 4. 1. (- 4)
= 17

যেহেতু,
b² - 4ac > 0 সেহেতু, মূলদ্বয়ের প্রকৃতি বাস্তব ও অসমান।

• দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।