প্রাইমারি ডেইলি কুইজ

প্রশ্ন: 38° কোণের পূরক কোণ কত?

সমাধান:
পূরক কোণ: দুটি কোণের সমষ্টি 90° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

∴ 38° কোণের পূরক কোণ = (90° - 38°) = 52°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ এবং ভূমি যথাক্রমে 10 সে.মি. এবং  6 সে.মি. হলে, অতিভুজ এবং উচ্চতার পার্থক্য কত?

সমাধান:
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
অতিভুজ² = ভুমি² + লম্ব²
⇒ 10² = 6² + লম্ব²
⇒ লম্ব² = 100 - 36
⇒ লম্ব² = 64
⇒ লম্ব = 8 সে.মি.

∴ অতিভুজ ও উচ্চতার পার্থক্য = (10 - 8) = 2 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 5 : 6 : 7 হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে 5a, 6a এবং 7a

প্রশ্নমতে,
5a + 6a + 7a = 180°
⇒ 18a = 180°
∴  a = 10°

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণ = (5 × 10°) = 50°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি 12 মিটার এবং অতিভুজ 20 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের,
লম্ব = √{(অতিভূজ)² - (ভূমি)²}
= √{(20)² - (12)²}
= √(400 - 144)
= √256
= 16 মিটার

∴ ক্ষেত্রফল =(1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) × 16 × 12
= 96 বর্গমিটার

প্রশ্ন: 2∠a = 186° হলে, ∠a কোন ধরনের কোণ?

সমাধান:
এখন,
2∠a = 186°
⇒ ∠a = 186°/2
⇒ ∠a = 93°

এক সমকোণ (90°) অপেক্ষা বড় কিন্তু দুই সমকোণ (180°) অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
সুতরাং, ∠a একটি স্থূলকোণ।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃটি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 96 বর্গগজ। ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য 12 গজ হলে শীর্ষ বিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি,
লম্বের দৈর্ঘ্য = a গজ

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ 96 = (1/2) × 12 × a
⇒ 96 = 6 × a
⇒ a = 96/6
∴ a = 16

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুই বাহুর দৈর্ঘ্য 14 সে.মি. এবং অপর বাহুটি 10 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান দুই বাহুর দৈর্ঘ্য = 14 সে.মি.
এবং অপর বাহুটি = 10 সে.মি.

আমরা জানি,
পরিসীমা = (2 × সমান বাহু) + অপর বাহু
= (2 × 14) + 10
= 38 সে.মি.

প্রশ্ন: যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের-

সমাধান:
• যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা।
- ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলে।
- ত্রিভুজের বাহুগুলো দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভুজক্ষেত্র বলে।
- যেকোনো দুইটি বাহুর সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়।

প্রশ্ন: 67° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

সমাধান:
যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

যেহেতু, বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
∴ 67° কোণের বিপ্রতীপ কোণ = 67°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 16° হলে, সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষুদ্রত্তম কোণ = a
এবং বৃহত্তম কোণ = (a + 16°)

প্রশ্নমতে,
a + a + 16° + 90° = 180°
⇒ 2a = 180° - 106°
⇒ a = 74°/2
∴ a = 37°

∴ বৃহত্তম কোণ = (37 + 16)° = 53°

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9, 12 এবং 15 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের পরিসীমা = (9 + 12 + 15)/2
= 36/2
= 18 মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = {√s(s - a)(s - b)(s - c)}
= {√18(18 - 9)(18 - 12)(18 - 15)}
= √(18 × 9 × 6 × 3)
= √2916
= 54 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: রশ্মি ও রেখার প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা যথাক্রমে-

সমাধান:
- রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে।
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দু নেই।

• রেখা ও রেখাংশ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ তত্ত্ব:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
- অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ। তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।

প্রশ্ন: দুইটি বিন্দু দিয়ে সর্বোচ্চ কয়টি সরলরেখা আঁকা যাবে?

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো:
স্বীকার্য-১: দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
স্বীকার্য-২: যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
স্বীকার্য-৩: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
স্বীকার্য-৪: সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
স্বীকার্য-৫: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম, সেদিকে মিলিত হয়।

প্রশ্ন: নিচের কোন তিনটি রেখাংশ দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর সমষ্টি উহার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
১ম ক্ষেত্রে,
২ + ৫ = ৭ < ৯ সুতরাং, ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।

২য় ক্ষেত্রে,
৫ + ৮ = ১৩ < ১৫ সুতরাং, ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।

৩য় ক্ষেত্রে,
৪ + ৮ = ১২ < ১৪ যা তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর নয়। সুতরাং, ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।

৪র্থ ক্ষেত্রে,
৮ + ৭ = ১৫ > ৯ , যা ত্রিভুজ হওয়ার শর্ত মানে। সুতরাং, ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব।