১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: (- 2, 5) এবং (4, - 1) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বিন্দু দুইটি (- 2, 5) এবং (4, - 1)

আমরা জানি, 
বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = √{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}
= √{(4 + 2)² + (- 1 - 5)²}
= √{(6)² + (- 6)²}
= √(36 + 36) 
= √72
= √(2 × 36)
= 6√2

∴ বিন্দু (-2, 5) এবং (4, -1)-এর মধ্যবর্তী দূরত্ব = 6√2

প্রশ্ন: ঘড়িতে যখন 5 : 25 বাজে তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত? 

সমাধান: 
উৎপন্ন কোণ = {| 11M - 60H |}/2
= {| (11 × 25) - (60 × 5) |}/2
= {| 275 - 300 |}/2
= {| - 25 |}/2
= 25/2
= 12.5

∴ ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ = 12.5°

প্রশ্ন: 5x - 2y = 10 রেখাটি y- অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাংক-

সমাধান: 
প্রদত্তরেখা 5x - 2y = 10
y -অক্ষের ছেদবিন্দুতে x = 0
∴ - 2y = 10
⇒ 2y = - 10
⇒ y = - (10/2)
∴ y = - 5
∴ y- অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাং = (0, - 5)

প্রশ্ন: আজ যদি রবিবার হয়, তাহলে 95 তম দিনে ঠিক কোন দিন হবে?

প্রশ্ন: 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82,....., 122 এই ধারার শূন্যস্থানে কত হবে?

সমাধান:
10 = 3² + 1
17 = 4² + 1
26 = 5² + 1
37 = 6² + 1
50 = 7² + 1
65 = 8² + 1
82 = 9² + 1
101 = 10² + 1
122 = 11² + 1

∴ এই ধারার শূন্যস্থানে 101 হবে।

প্রশ্ন: নিচের কোন সমীকরণ সরলরেখা প্রকাশ করে না?

সমাধান: 
এখানে, ক, খ এবং গ রেখাত্রয়কে y = mx + c আকারে প্রকাশ করা যায়।
কিন্তু,
ঘ এর সমীকরণকে y = mx + c আকারে প্রকাশ করা যায় না। 
সুতরাং, এটি x² অন্তর্ভুক্ত, তাই এটি প্যারাবোলা, সরলরেখা নয়। 

প্রশ্ন: খাঁচায় কিছু খরগোশ ও কবুতর আছে। মোট প্রাণী ৩৬টি এবং মোট পা ১০০টি। খরগোশের সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
খরগোশের সংখ্যা = ক টি
তাহলে কবুতরের সংখ্যা = (৩৬ - ক) টি
যেহেতু, কবুতরের পা ২টি এবং খরগোশের পা ৪টি।

শর্তমতে,
⇒ ৪ক + ২(৩৬ - ক) = ১০০
⇒ ৪ক + ৭২ - ২ক = ১০০
⇒ ২ক = ১০০ - ৭২
⇒ ২ক = ২৮
∴ ক = ১৪

∴ খরগোশের সংখ্যা ১৪ টি

প্রশ্ন: x-অক্ষের ছেদবিন্দু 2 এবং y-অক্ষের ছেদবিন্দু - 1 বিশিষ্ট রেখার সমীকরণ নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x-অক্ষের ছেদবিন্দু 2   ∴ বিন্দু (2, 0)
y-অক্ষের ছেদবিন্দু - 1  ∴ বিন্দু (0, - 1)

এখন, (2, 0) এবং (0, - 1) বিন্দুর ঢাল, 
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
⇒ m = (- 1 - 0)/(0 - 2) = 1/2
∴ m = 1/2

এখন, রেখার সমীকরণ
y = mx + b, [যেখানে, ঢাল m এবং y-অক্ষের ছেদবিন্দু, b ].
⇒ y = (1/2)x - 1  ; [m = 1/2, y-অক্ষের ছেদবিন্দু, b = - 1]
⇒ 2y = x - 2
∴ x - 2y = 2

প্রশ্ন: একটি সারিতে সামির ক্রম যদি উভয়দিক থেকেই ২১ হয়, তাহলে উক্ত সারির সদস্যসংখ্যা কত?

সমাধান:
কোনো একটি সারিতে যদি কোনো ব্যক্তির অবস্থান উভয় প্রান্ত (বাম ও ডান) থেকে জানা থাকে, তবে সারির মোট সদস্য সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র:

মোট সদস্য সংখ্যা = (বাম দিক থেকে অবস্থান) + (ডান দিক থেকে অবস্থান) - ১

∴ সারির সদস্য সংখ্যা = (২১ + ২১) - ১
= ৪১ 

প্রশ্ন: কেন্দ্র (- 2, 4) এবং ব্যাসার্ধ 5 বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের কেন্দ্র = (- 2, 4)
ব্যাসার্ধ = 5

আমরা জানি,  
বৃত্তের আদর্শ সমীকরণ,
(x - h)² +(y - k)² = r²
⇒ (x + 2)² + {y - 4}² = 5² ; [এখানে h = - 2, k = 4 এবং r = 5]
∴ (x + 2)² + (y - 4)² = 25

সুতরাং, বৃত্তের সমীকরণ (x + 2)² + (y - 4)² = 25

প্রশ্ন: আয়নায় দেখা গেলো ঘড়িতে 2 : 15 বাজে। প্রকৃতপক্ষে সময় কত?

সমাধান: 
প্রকৃত সময় = 11 : 60 - আয়নায় সময় 
= 11 : 60 - 2 : 15
= 9 : 45

∴ প্রকৃত সময়ে ঘড়িতে 9 : 45 বাজে।

সঠিক উত্তর: ০.২৮
অপশনে সঠিক উত্তর না থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হলো। 
------------------- 
প্রশ্ন: (০.০০৭ × ০.০০৮ × ০.৫) × ১০০০০

সমাধান:
(০.০০৭ × ০.০০৮ × ০.৫) × ১০০০০
= (০.০০০০৫৬ × ০.৫) × ১০০০০
= ০.০০০০২৮ × ১০০০০
= ০.২৮

প্রশ্ন: বিন্দু P = (- 1, 4) এবং Q = (3, - 2) -এর মধ্যবিন্দু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
P = (- 1, 4) এবং Q = (3, - 2)

আমরা জানি, 
দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂)-এর জন্য মধ্যবিন্দু,
M = {(x₁​ + x₂)/2​​, (y_1​ + y₂​​)/2}

যেখানে, x_1​ = - 1, y_1​ = 4, x₂ ​= 3, y₂ ​= - 2

এখন, 
M_x​ = (3 - 1)/2​ = 2​/2 = 1
এবং,
M_y ​= (- 2 + 4​)/2 = 2​/2 = 1 

∴ মধ্যবিন্দু = (1, 1) 

প্রশ্ন: প্রশ্নবোধক স্থানে কোন সংখ্যাটি বসবে?

সমাধান:
নির্ণেয় সংখ্যা = 15

প্রথম চিত্রে,
(25 + 17)/7 = 42/7 = 6

দ্বিতীয় চিত্রে,
(38 + 18)/7 = 56/7 = 8

তৃতীয় চিত্রে,
(89 + 16)/7 = 105/7 = 15

সুতরাং, প্রশ্নবোধক স্থানে 15 সংখ্যাটি বসবে। 

প্রশ্ন: y - 4 = 3(x + 1), রেখার ঢাল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায় যার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.

এখন, 
y - 4 = 3(x + 1)
⇒ y - 4 = 3x + 3
⇒ y = 3x + 7 
সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই, 
m = 3 
∴ প্রদত্ত রেখার ঢাল = 3

প্রশ্ন: ২২ মিনিট আগে সময় ছিল ৫ টা বেজে ৪৮ মিনিট, ৭ টা বাজতে আর কতক্ষণ সময় বাকি আছে?

সমাধান:
২২ মিনিট আগে সময় ছিল ৫ টা বেজে ৪৮ মিনিট
∴ বর্তমানে সময় = ০৫ : ৪৮ মিনিট + ২২ মিনিট = ০৬ : ১০ মিনিট
৭ টা বাজতে সময় বাকি আছে = ০৭ : ০০ টা - ০৬ : ১০ মিনিট = ৫০ মিনিট

∴ ৭ টা বাজতে ৫০ মিনিট বাকি আছে।

প্রশ্ন: x + 3y = 0 সমীকরণের লেখচিত্র কী হবে? 

সমাধান: 
x + 3y = 0 
বা, 3y = - x 
∴ y = (- 1/3)x, যা y = mx এর অনুরূপ। 
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ y = mx 
∴ x + 3y = 0 সমীকরণের লেখচিত্র হবে মূল বিন্দুগামী সরলরেখা।

প্রশ্ন: প্রশ্নবোধক স্থানে কোন সংখ্যাটি বসবে?
72, 70, 65, 57, ?, 32

সমাধান:
প্রশ্নবোধক স্থানের সংখ্যাটি হলো 46 
১ম পদ - 2 = 72 - 2 = 70
২য় পদ - 5 = 70 - 5 = 65
৩য় পদ - 8 = 65 - 8 = 57
৪র্থ পদ - 11= 57 - 11 = 46
৫ম পদ - 14 = 46 - 14 = 32

প্রশ্ন: x = 2 সরলরেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে?

সমাধান:
x = 2 সরলরেখাটি একটি উল্লম্ব (vertical) রেখা, যা x-অক্ষের সাথে 90 ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে।
যেহেতু এটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে সম্পূর্ণভাবে লম্ব, তাই কোণটি 90° হবে।