Math Master

প্রশ্ন: একটি পাইপ এক জলাধার ২০ মিনিটে ভর্তি করতে পারে কিন্তু জলাধারের নিচে একটি ছিদ্র থাকায় জলাধারটি পূর্ণ হতে ২৫ মিনিট সময় লাগে। জলাধারটি পূর্ণ থাকলে কত সময়ে ওই ছিদ্রটি জলাধার সম্পূর্ণ খালি করতে পারবে?

সমাধান: 
ধরি,
ছিদ্রটি জলাধার সম্পূর্ণ খালি করতে পারবে ক মিনিটে

∴ ছিদ্রটি ১ মিনিটে খালি করে ১/ক অংশ 

পাইপটি দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় ১/২০ অংশ 

পাইপ ও ছিদ্র একত্রে ১ মিনিটে পূর্ণ করে (১/২০ - ১/ক) অংশ 
= (ক - ২০)/২০ক অংশ 

(ক - ২০)/২০ক অংশ পূর্ণ করে ১ মিনিটে
∴ সম্পূর্ণ বা ১ অংশ পূর্ণ করে ২০ক/(ক - ২০) মিনিটে 

প্রশ্নমতে,
২০ক/(ক - ২০) = ২৫ 
বা, ২০ক = ২৫ক - ৫০০
বা, ৫ক = ৫০০
বা, ক = ৫০০/৫
∴ ক = ১০০ 

∴ ছিদ্রটি জলাধার সম্পূর্ণ খালি করতে পারবে ১০০ মিনিটে

প্রশ্ন: একটি গাড়ি ঘণ্টায় ৪৫ কি.মি. বেগে ২০ মিনিট চলার পর ঘণ্টায় ৬০ কি.মি. বেগে ৪০ মিনিট চলে। সম্পূর্ণ পথের জন্য গাড়িটির গড় গতিবেগ কত?

সমাধান: 
৪৫ কি.মি. বেগে যায় = ৪৫ × (২০/৬০) কি.মি. = ১৫ কি.মি.
৬০ কি.মি. বেগে যায় = ৬০ × (৪০/৬০) কি.মি. = ৪০ কি.মি.

গড় গতিবেগ = (১৫ + ৪০)/(৬০/৬০) কি.মি./ঘণ্টা 
= ৫৫ কি.মি./ঘণ্টা   

প্রশ্ন: টিটু ১০ মিনিটে ৫০০ শব্দ এবং ন্যান্সি ১০ মিনিটে ৪০০ শব্দ টাইপ করে। দুজনে একসাথে ৩৬০০ শব্দ টাইপ করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
টিটু ১০ মিনিটে টাইপ করে ৫০০ শব্দ
∴     ১ মিনিটে টাইপ করে ৫০০/১০ = ৫০ শব্দ

ন্যান্সি ১০ মিনিটে টাইপ করে ৪০০ শব্দ
∴         ১ মিনিটে টাইপ করে ৪০০/১০ = ৪০ শব্দ

টিটু ও ন্যান্সি একত্রে ১ মিনিটে টাইপ করে ৫০ + ৪০ শব্দ 
= ৯০ শব্দ

৯০ শব্দ টাইপ করে ১ মিনিটে 
১ শব্দ টাইপ করে ১/৯০ মিনিটে
৩৬০০ শব্দ  টাইপ করে ৩৬০০/৯০ মিনিটে
= ৪০ মিনিটে

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার ও উচ্চতা ৪ মিটার। এতে কত লিটার বিশুদ্ধ পানি ধরবে?

সমাধান: 
চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ৩ মিটার = ৩০০ সে.মি.
চৌবাচ্চাটির প্রস্থ ২ মি.= ২০০ সে.মি. 
 চৌবাচ্চাটির উচ্চতা ৪ মি. =৪০০ সে.মি.

∴ চৌবাচ্চার আয়তন= (৩০০ × ২০০ × ৪০০) ঘন সে.মি.
=২৪০০০০০০ ঘন সে.মি.

আমরা জানি,
১০০০ ঘন সে.মি. = ১ লিটার
∴ ২৪০০০০০০ ঘন সে.মি. = ২৪০০০০০০/১০০০
= ২৪০০০ লিটার

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি ঘণ্টায় ৪০ কি.মি. বেগে ৬ ঘণ্টা পথ চলার পর ঘণ্টায় ৬০ কি.মি. বেগে অবশিষ্ট পথ অতিক্রম করলো। সম্পূর্ণ যাত্রায় তার গড় গতিবেগ ৫৫ কি.মি./ঘণ্টা হলে, সে মোট কত ঘণ্টা যাত্রা করেছিল?

সমাধান: 
ধরি,
সে মোট ক ঘণ্টা যাত্রা করে 

৬ ঘণ্টায় অতিক্রম করে = (৪০ × ৬) কি.মি. 
= ২৪০ কি.মি. 

(ক - ৬) ঘণ্টায় অতিক্রম করে = ৬০ × (ক - ৬) কি.মি.
= ৬০ক - ৩৬০ কি.মি.

প্রশ্নমতে,
(২৪০ + ৬০ক  - ৩৬০)/ক = ৫৫
বা, ৬০ক - ১২০ =  ৫৫ক 
বা, ৫ক = ১২০ 
বা, ক = ১২০/৫ 
∴ ক = ২৪ 

∴ সে মোট ২৪ ঘণ্টা যাত্রা করেছিল।

প্রশ্ন: ঢাকা থেকে চট্টগ্রামের দূরত্ব ৩০০ কি.মি.। ঢাকা হতে একটি ট্রেন সকাল ৭ টায় ছেড়ে বিকাল ৩ টায় চট্টগ্রাম পৌঁছে। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় কত? 

সমাধান: 
ঢাকা থেকে চট্টগ্রামের দূরত্ব ৩০০ কি.মি. 
সকাল ৭ টায় থেকে বিকাল ৩ টা পর্যন্ত মোট সময় ৮ ঘণ্টা 

∴ ট্রেনটির গতিবেগ = ৩০০/৮ কি.মি./ঘণ্টা
= ৩৭.৫ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা দুইটি নল দ্বারা পূর্ণ হয়। নল দুইটি একত্রে খালি চৌবাচ্চাটি ৬ মিনিটে পূর্ণ করে। ২য় নল দ্বারা চৌবাচ্চাটি ৯ মিনিটে পূর্ণ হলে ১ম নল দ্বারা কত মিনিটে পূর্ণ হয়?

সমাধান:
ধরি, 
১ম নল দ্বারা চৌবাচ্চাটি ক মিনিটে পূর্ণ হয় 
∴ ১ম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় ১/ক অংশ 

২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় ১/৯ অংশ 

১ম ও ২য় নল একত্রে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় (১/ক + ১/৯) অংশ 
= (৯ + ক)/৯ক অংশ 

(৯ + ক)/৯ক অংশ পূর্ণ করে ১ মিনিটে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ করে ৯ক/(৯ + ক) মিনিটে 

শর্তমতে,
৯ক/(৯ + ক) = ৬
বা, ৯ক = ৫৪ + ৬ক 
বা, ৩ক = ৫৪
বা, ক = ৫৪/৩
∴ ক = ১৮ 

∴ ১ম নল দ্বারা চৌবাচ্চাটি ১৮ মিনিটে পূর্ণ হয়।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ঘণ্টায় ৮ কি.মি. দৌড়ে কত মিনিটে ৫২০০ মিটার পার হবে?

সমাধান: 
৮০০০ মিটার যায় = ৬০ মিনিটে
∴ ১ মিটার যায় = ৬০/৮০০০ মিনিটে 
∴ ৫২০০ মিটার যায় = (৬০ × ৫২০০)/৮০০০ মিনিটে
= ৩৯ মিনিটে 

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চায় তিনটি নল আছে। ১ম ও ২য় নল দ্বারা যথাক্রমে ৩০ মিনিট ও ১৫ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয়। ৩য় নল দ্বারা পূর্ণ চৌবাচ্চাটি খালি হয় ৪০ মিনিটে। তিনটি নল একত্রে চালু থাকলে চৌবাচ্চাটি কত মিনিটে পূর্ণ হবে?

সমাধান: 
১ম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় ১/৩০ অংশ 
২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় ১/১৫ অংশ 
৩য় নল দ্বারা ১ মিনিটে খালি হয় ১/৪০ অংশ

তিনটি নল একত্রে ১ মিনিটে পূর্ণ করে (১/৩০ + ১/১৫ - ১/৪০) অংশ 
= (৪ + ৮ - ৩)/১২০ অংশ 
= ৯/১২০ অংশ 
= ৩/৪০ অংশ 

৩/৪০ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ সম্পূর্ণ বা ১ অংশ পূর্ণ হয় ৪০/৩ মিনিটে

প্রশ্ন: একটি বাস সকাল ৫টা ১৫ মিনিটে ঢাকা থেকে রওনা হয়ে কোথাও না থেমে সকাল ৯ টা ৩০ মিনিটে নড়াইল পৌঁছাল। যদি বাসের গতিবেগ ঘন্টায় ৫০ কি.মি. হয় তবে ঢাকা থেকে নড়াইলের দূরত্ব কত?

সমাধান: 
মোট সময় = (৯ টা ৩০ - ৫ টা ১৫) = ৪ ঘণ্টা ১৫ মিনিট
= ৪ ঘণ্টা + ১/৪ ঘণ্টা 
= ১৭/৪ ঘণ্টা 

১ ঘণ্টায় যায় ৫০ কি.মি. 
∴ ১৭/৪ ঘণ্টায় যায় (৫০ × ১৭)/৪ কি.মি.
= ২১২.৫ কি.মি.

প্রশ্ন: করিম একটি কাজ রহিমের চেয়ে ৬ দিন কম সময়ে করতে পারে । করিমের কাজের গতি যদি রহিমের কাজের গতির ৩ গুণ হয়, তবে করিম একা ঐ কাজ কতদিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান: 
ধরি,
রহিম কাজ করে ক দিনে
∴ করিম কাজ করে ক/৩ দিনে 

শর্তমতে,
ক - ক/৩ = ৬
বা, ৩ক - ক = ১৮
বা, ২ক = ১৮
বা, ক = ৯ 

∴ করিম কাজ করে ৯/৩ দিনে
= ৩ দিনে

প্রশ্ন: দুইটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা ৮ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল দুইটি খুলে দেওয়ার ৪ মিনিট পর প্রথম নলটি বন্ধ করে দেওয়াতে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে আর ৬ মিনিট লাগল। শুধুমাত্র ২য় নল দ্বারা চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
১ম ও ২য় নল দ্বারা ৮ মিনিটে পূর্ণ হয় সম্পূর্ণ বা ১ অংশ 
∴ ১ম ও ২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় ১/৮ অংশ 
∴ ১ম ও ২য় নল দ্বারা ৪ মিনিটে পূর্ণ হয়  ৪/৮ = ১/২ অংশ।

বাকি থাকে চৌবাচ্চার (১ - ১/২) অংশ = ১/২ অংশ।

∴ ২য় নল দ্বারা চৌবাচ্চার ১/২ অংশ পূর্ণ হয় ৬ মিনিটে
∴ ২য় নল দ্বারা চৌবাচ্চার সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় (৬ × ২) মিনিটে = ১২ মিনিটে

প্রশ্ন: একজন পুলিশ ১২০ মিটার দূর থেকে এক চোরকে দেখতে পেয়ে ধরার জন্য ছুটতে শুরু করল। ঠিক সেই সময়েই চোরটিও বাঁচার জন্য দৌড়াতে শুরু করল। যদি চোরের গতিবেগ ১০ কি.মি./ঘণ্টা এবং পুলিশের গতিবেগ ১২ কি.মি./ঘণ্টা হয় তাহলে ধরা পড়ার পূর্বে চোরটি কতদূর যাবে?

সমাধান: 
চোর ও পুলিশের মধ্যে প্রাথমিক দূরত্ব = ১২০ মিটার 

চোরের সাপেক্ষে পুলিশের আপেক্ষিক বেগ = (১২ - ১০) কি.মি./ঘণ্টা
= ২ কি.মি./ঘণ্টা
= (২ × ১০০০)/৩৬০০ মিটার/সেকেন্ড 
= ২০/৩৬ মিটার/সেকেন্ড 
= ৫/৯ মিটার/সেকেন্ড 

∴ পুলিশ চোরকে ধরতে চাইলে ৫/৯ মিটার/সেকেন্ড আপেক্ষিক বেগে ১২০ মিটার দূরত্ব যেতে হবে। 

৫/৯ মিটার/সেকেন্ড বেগে ১২০ মিটার দূরত্ব যেতে পুলিশের সময় লাগে = (১২০ × ৯)/৫ = ২১৬ সেকেন্ড 

যেহেতু চোর এবং পুলিশ দুজনেই একসঙ্গে দৌড়াতে শুরু করে তাই চোরটিও ধরা পড়ার আগে ২১৬ সেকেন্ড ধরে দৌড়াবে ।

চোরের গতিবেগ = ১০ কি.মি./ঘণ্টা
= (১০ × ১০০০)/৩৬০০ মিটার/সেকেন্ড
= ২৫/৯ মিটার/সেকেন্ড 

∴ ধরা পড়ার পূর্বে ২১৬ সেকেন্ডে চোরটি যাবে = (২৫/৯)× ২১৬ মিটার = ৬০০ মিটার