স্পেশাল বিসিএস (স্বাস্থ্য) - লং কোর্স

প্রশ্ন: 256 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₂256
= log₂2⁸
= 8 log₂2 [log_aM^r = r log_aM]
= 8 × 1 [log_aa =1]
=8

প্রশ্ন: 2 + 5 + 8 + 11 + ......... ধারাটির কত তম পদ 299?

সমাধান:
এখানে ১ম পদ, a = 2
সাধারণ পদ, d = 5 - 2 = 3
n তম পদ = 299

প্রশ্নমতে,
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 299 = 2 + (n - 1) × 3
⇒ 3n - 3 + 2 = 299
⇒ 3n - 1 = 299
⇒ 3n = 299 + 1
⇒ 3n = 300
⇒ n = 300/3
∴ n = 100

সুতরাং, প্রদত্ত ধারাটির 100 তম পদ 299

প্রশ্ন: log₃(1/27) এর মান কত?

সমাধান:
log₃(1/27)
= log₃(1/3³)
= log₃3^-3
= - 3 log₃3
= - 3 × 1
= - 3

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ...... + 20² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= [20(20 + 1){(2 × 20) + 1}]/6
= (20 × 21 × 41)/6
= 2870

প্রশ্ন:  6^a + 6^a + 6^a + 6^a + 6^a + 6^a = কত?

সমাধান:
6^a + 6^a + 6^a + 6^a + 6a + 6a
= 6^a(1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1)
= 6^a × 6
= 6^{a + 1}

প্রশ্ন: 2log₈2 + log₈6 + log₈5 = কত?

সমাধান:
2log₈2 + log₈6 + log₈5
= log₈2² + log₈6 + log₈5
= log₈4 + log₈5 + log₈6
= log₈(4 × 5 × 6)
=log₈120

∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 1/{1 - (1/2)}
= 1/{(2 - 1)/2}
= 1/(1/2)
= 1 × (2/1)
= 2

প্রশ্ন: (a/b)^{p - 5} = (b/a)^{p - 7} হয়, তাহলে p এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{p - 5} = (b/a)^{p - 7}
⇒(a/b)^{p -5} = (a/b)^{7 - p} [(a/b)ⁿ = (b/a)^{- n}]
⇒ p - 5 = 7 - p
⇒ p + p = 7 + 5
⇒ 2p = 12
⇒ p = 12/2
∴ p = 6

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 + ...... সমান্তর ধারাটির n তম পদটি কত?

সমাধান:
সমান্তর ধারাটির,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 3 = 4
∴ ধারাটির n তম পদ = {a + (n - 1)d}
= {3 + {n - 1} × 4}
= 3 + 4n - 4
= 4n - 1

প্রশ্ন: (1/√2) - 1 + √2 - .........ধারাটির কত তম পদ 8√2?

সমাধান:
১ম পদ, a = 1/(√2)
সাধারণ অনুপাত, r = (-1)/(1/√2) = (- √2)

মনেকরি,
ধারাটির n তম পদ = 8√2

∴ n তম পদ = ar^{n - 1} = 8√2
⇒ (1/√2)(-√2)^{n - 1} = 8√2
⇒ (-√2)^{n - 1} = (8√2 × √2)
⇒ (-√2)^{n - 1} = 8 × 2
⇒ (-√2)^{n - 1} = 16
⇒ (-√2)^{n - 1} = (-√2)⁸
⇒ n - 1 = 8
⇒ n = 8 + 1
∴ n = 9

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং তৃতীয় পদ 7 হলে, ধারাটির 12 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 3
৩য় পদ = 7
২য় পদ = (7 + 3)/2 = 10/2 = 5
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 3 = 2

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
12 তম পদের সমষ্টি = (12/2){(2 × 3) + (12 - 1)2}
= 6{6 + (11 × 2}
= 6(6 + 22)
= 6 × 28
= 168

প্রশ্ন: 3^{(a + 6)} = 9^{(a + 4)} হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
3^{(a + 6)} = 9^{(a + 4)}
⇒3^{(a + 6)} = 3^{2(a+ 4)}
⇒ a + 6 = 2(a + 4)
⇒ a + 6 = 2a + 8
⇒ 2a - a = 6 - 8
⇒ a = - 2

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ +......+ 10³ = কত?

সমাধান:
সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
= {10(10 + 1)/2}²
= {(10 × 11)/2}²
= (110/2)²
= (55)²
= 3025

প্রশ্ন: 0.18 + 0.0018 + 0.000018 + ......... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 0.18
সাধারণ অনুপাত, r = (0.0018)/(0.18)
= 0.01

∴ সমষ্টি = a/(1 - r)
= 0.18/(1 - 0.01)
= (0.18)/(0.99)
= 18/99
= 2/11

প্রশ্ন: log_ap = 2, log_aq = 3, log_ar = 4 হলে, log_a{(p²q²)/r} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_ap = 2 ⇒ a² = p
log_aq = 3, ⇒ a³ = q
log_ar = 4 ⇒ a⁴ = r

এখন,
log_a{(p²q²)/r}
= log_a{(a²)²(a³)²/a⁴}
= log_a{(a⁴)(a⁶)/a⁴}
= log_aa⁶
= 6 log_aa
= 6 × 1
= 6

প্রশ্ন: 9 + p + q + 72 + ................. একটি গুণোত্তর ধারা হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
এখানে ৪র্থ পদ, ar^{4 - 1} = 72
⇒ ar³ = 72 ...........(1)
১ম পদ ,a = 9 .........(2)
(1) ÷ (2) ⇒
ar³/a = 72/9
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2
সাধারণ অনুপাত r = 2
২য় পদ, p = 9 × 2 = 18

প্রশ্ন: log 3 = 0.4771 এবং log 4 = 0.6020 হলে, log 12 এর মান কত?

সমাধান:
log 12 = log(3 × 4)
= log 3 + log 4
= 0.4771 + 0.6020
= 0.7781
= 1.0791

প্রশ্ন: 5^a + 6·5^a + 18·5^a = 1 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
5^a + 6 · 5^a + 18 · 5^a = 1
⇒ 25 · 5^a = 1
⇒ 5² · 5^a = 5⁰ [a⁰ = 1 অনুসারে 1 = 5⁰]
⇒ 5^{2 + a} = 5⁰
⇒ 2 + a = 0
∴ a = - 2

প্রশ্ন: প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 225 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n+1)/2}2

প্রশ্নানুসারে,
{n(n + 1)/2}² = 225
বা, {n(n + 1)/2}²  = (15)² 
বা, (n² + n)/2 = 15
বা, n² + n - 30 = 0
বা, n² + 6n - 5n - 30 = 0
বা, (n + 6) (n - 5) = 0

হয়, n + 6 = 0 ⇒ n = - 6 [ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়]
∴ n - 5 = 0 ⇒ n = 5

প্রশ্ন: log₂256 + log₂32 এর মান কত?

সমাধান:
log₂256 + log₂32
= log₂2⁸ + log₂2⁵
= 8 log₂2 + 5 log₂2
= (8 × 1) + (5 × 1)
= 8 + 5
= 13

প্রশ্ন: (2a^-1 + 3b^-1)^-1 এর মান কত?

সমাধান:
(2a^-1 + 3b^-1)^-1
= {2(1/a) + 3(1/b)}^-1 [যেহেতু a^-n = (1/aⁿ)]
= {(2/a) + (3/b)}^-1
= {(2b + 3a)/ab}^-1
= ab/(2b + 3a)