১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: একটি ঘনক আকৃতির বাক্সের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার হলে বাক্সের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি,
একবাহুর দৈর্ঘ্য, a = ২ মিটার

∴ বাক্স তলের মোট ক্ষেত্রফল = ৬a² বর্গমিটার
= {৬ × (২)^২} বর্গমিটার
= ৬ × ৪
= ২৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ab × sinθ
= (1/2) × 16 × 16 × sin30°
= (1/2) × 16 × 16 × (1/2)
= 64 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ এবং ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গমিটার হলে, এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = a মিটার  এবং দৈর্ঘ্য = ৩a মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = (৩a × a) = ৩a^২ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
৩a^২ = ৪৮
⇒ a^২ = ১৬
∴ a = ৪ 
অতএব, বড় বাহুটির দৈর্ঘ্য = ৩ × ৪ = ১২ মিটার

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য ১৬ সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) × ১৬ × ১৬
= ১২৮ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৮ বর্গমিটার হয়, তাহলে কর্ণের দৈর্ঘ্যের কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (a)^২
⇒ ১৮ = (a)^২  
∴ a = √১৮

∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২ × a = √২ × √১৮ = √৩৬ = ৬ মিটার

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 20 সে.মি. ও 40 সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 20 সে.মি. ও 40 সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (20 x 40) বর্গমিটার
= 400 বর্গ সে.মি.

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল= 400 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বিষমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহুর পরিমাপ ২৫ সে.মি, ৬০ সে.মি এবং ৬৫ সে.মি হলে ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
এখানে,
তিনটি বাহুর পরিমাপ ২৫ সে.মি, ৬০ সে.মি এবং ৬৫ সে.মি

আমরা জানি,
পরিসীমা = বাহু তিনটির যোগফল
= (২৫ + ৬০ + ৬৫) সে.মি.
= ১৫০ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৫ : ৬ : ৭ হলে, বৃহত্তম কোণের পরিমাপ কত?

সমাধান:
ধরি,
তিনটি কোণের পরিমাপ ৫ক, ৬ক এবং ৭ক

শর্তমতে,
৫ক + ৬ক + ৭ক = ১৮০°
⇒ ১৮ক = ১৮০°
∴ ক = ১০

অতএব, বৃহত্তম কোণের পরিমাপ = ৭ × ১০ = ৭০°

প্রশ্ন: ৫ একক ধার বিশিষ্ট একটি ঘনকের দুই কর্ণের সমষ্টি কত একক?

সমাধান:
ধার, a = ৫ একক
আমরা জানি,
ঘনকটির কর্ণ = (√৩)a

∴ ঘনকের দুই কর্ণের সমষ্টি = (√৩)a + (√৩)a
= ৫√৩ + ৫√৩ = ১০√৩ একক

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি যথাক্রমে ৭ মি. ও ৫ মি. এবং ক্ষেত্রফল ৪২ বর্গ মি. হলে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × h × (a + b)
⇒ ৪২ = (১/২) × h × (৭ + ৫)
⇒ ৪২ = (১/২) × h × ১২
⇒ ৪২ = ৬h
∴ h = ৭ মিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর অনুপাত ৩ : ৫ : ৬। যদি ত্রিভুজটির পরিসীমা ৭০ সে.মি. হয় তবে ত্রিভুজটির দীর্ঘতম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে = ৩ক, ৫ক, ৬ক

∴ পরিসীমা = ৩ক + ৫ক + ৬ক = ১৪ক

প্রশ্নমতে,
১৪ক = ৭০
∴ ক = ৫

অতএব, দীর্ঘতম বাহুর দৈর্ঘ্য = ৬ × ৫ = ৩০ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সে.মি. এবং ১৪ সে.মি. হলে, সামন্তরিকের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সামান্তরিকের পরিসীমা = ২ × সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের সমষ্টি
= ২ × ( ১২+ ১৪)
= ৫২ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 54 হলে ঘনকের আয়তন কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘনকের প্রতি বাহু = a
∴ সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল, 6a² = 54
⇒ a² = 9
∴ a = 3

∴ ঘনকটির আয়তন = a³ = 3³ = 27 ঘন একক

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের চার গুণ এবং ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘরের বিস্তার = x মিটার এবং দৈর্ঘ্য = ৪x মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = (৪x × x) = ৪x^২ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
৪x²= ৪০০
⇒ x² = ১০০
∴ x = ১০

∴ পরিসীমা = ২(৪x + x) = ২ × ৫x = ১০ × ১০ = ১০০ মিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২০০ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২০০ মিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ২০০/৪ = ৫০ মিটার

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু^২
= ৫০^২
= ২৫০০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সমকোণের মোট সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের তলের সংখ্যা = ৬ টি
এবং প্রতিটি তলের সমকোণ সংখ্যা = ৪ টি

অতএব, সমকোণের সংখ্যা = (৬ × ৪) = ২৪ টি

প্রশ্ন: ABCD সামন্তরিকের AB = 14 সে.মি. এবং D বিন্দু থেকে AB এর লম্ব-দূরত্ব 7 সে.মি. সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
= 14 × 7 বর্গ সে.মি.
= 98 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ ৬০° হলে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ, পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ।

∴ বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ ৬০° হলে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ = ৬০° × ২
= ১২০°

প্রশ্ন: কোনো বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৬√২ হলে এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = (√২)a
⇒ (√২)a = ৬√২  
⇒ a = ৬

∴ পরিসীমা = ৪a = ৪ × ৬ = ২৪ একক

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাস ১২ সে.মি. হলে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ , r = ১২/২ = ৬ সে.মি.

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = πr^২ বর্গ একক
= π × (৬)^২ বর্গ সে.মি.
= ৩৬π বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটি 40 সে.মি. এবং অন্তর্বর্তী কোণ 45° হলে সমান বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্বের উচ্চতা কত 

সমাধান:
ধরি,
সমান বাহুদ্বয় = a
অন্তর্বর্তী কোণ, θ = 45°

আমরা জানি,
উচ্চতা = a sinθ
= 40 × sin45°
= 40 × (1/√2)
= (20 × 2)/√2
= 20√2 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 84 বর্গগজ। ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য 14 গজ হলে শীর্ষ বিন্দু হতে ভূমির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি,
লম্বের দৈর্ঘ্য = a গজ
∴ ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ 84 = (1/2) × 14 × a
⇒ a = 84/7
∴ a = 12 গজ