৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার ৩৫০% হলে, সংখ্যা দুইটির অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = x
অপর সংখ্যাটি = x এর (৩৫০/১০০)
= ৭x/২

প্রশ্নমতে,
(৭x/২) : x = ৭x : ২x = ৭ : ২

∴ সংখ্যা দুইটির অনুপাত = ৭ : ২

প্রশ্ন: ৯৫০ টাকার ৪ বছরের সুদ ২৬৬ টাকা হলে, বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হার কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুদের হার = (সুদ × ১০০)/(সময় × আসল)
= (২৬৬ × ১০০)/(৪ × ৯৫০)
= ৭ টাকা বা ৭%

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৯ ও ৬৪ হলে, মধ্য সমানুপাতী কত হবে?

সমাধান:
তিনটি রাশির ১ম ও ২য় রাশির অনুপাত এবং ২য় ও ৩য় রাশির অনুপাত পরস্পর সমান হলে, সমানুপাতটিকে ক্রমিক সমানুপাত বলে। 
রাশি তিনটিকে ক্রমিক সমানুপাতী বলে।

ক্রমিক সমানুপাতে,
(মধ্য রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি
বা, (মধ্য রাশি)^২ = ৯ × ৬৪
বা, (মধ্য রাশি)^২ = ৫৭৬
বা, মধ্য রাশি = √৫৭৬= ২৪

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ৫ টাকা হার চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় ২৫০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ২৫০০০ টাকা
সময়, n = ২ বছর
সুদের হার, r = ৫/১০০ = ১/২০

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় সবৃদ্ধিমূল,
C = P(1 + r)ⁿ
   = ২৫০০০(১ + ১/২০)^২
   = ২৫০০০ × (২১/২০)^২
   = ২৭, ৫৬২.৫ টাকা
   
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ২৭৫৬২.৫ - ২৫০০০ = ২৫৬২.৫ টাকা

প্রশ্ন: সুদের হার ৬ টাকা থেকে কমে ৪ টাকা হওয়ায় এক ব্যক্তির বার্ষিক আয় ১৭ টাকা কমে গেল। তার মূলধন কত?

সমাধান:
সুদের হার কমে = ৬ - ৪ = ২ টাকা বা ২%

এখন,
২ টাকা কমলে মূলধন = ১০০ টাকা
১ টাকা কমলে মূলধন = ১০০/২ টাকা
∴ ১৭ টাকা কমলে = (১০০ × ১৭)/২ টাকা
=  ৮৫০ টাকা

প্রশ্ন: একটি অংশীদারি কারবারের বণ্টনযোগ্য মুনাফা ৯০০০০ টাকা। ১/২ : ১/৩ : ১/৬ অনুপাতে দ্বিতীয় অংশীদারের মুনাফা কত হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত অনুপাত ১/২ : ১/৩ : ১/৬
= ৩ : ২ : ১

অনুপাতের যোগফল = (৩ + ২ + ১) = ৬

∴ দ্বিতীয় অংশীদারের মুনাফা = ৯০০০০ × (২/৬) টাকা
= ৩০০০০ টাকা

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ১০ টাকা মুনাফায় ২০০০ টাকার ৩ বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা কত হবে?

সমাধান:
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = {২০০০(১ + (১০/১০০)^৩} - ২০০০
= (২০০০ (১১/১০)^৩) - ২০০০
= ২৬৬২ - ২০০০
= ৬৬২ টাকা

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ১০ ও ১৫ ঘণ্টায় পানি পূর্ণ করে। নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পানি পূর্ণ হবে?

সমাধান: 
১০ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১ টি চৌবাচ্চাটির ১ অংশ 
১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১০ অংশ 

১৫ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১ টি চৌবাচ্চাটির ১ অংশ 
১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১৫ অংশ

দুইটি নল দ্বারা একত্রে ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় (১/১০) + (১/১৫) অংশ
=(৩ + ২)/৩০ অংশ
= ৫/৩০ অংশ
= ১/৬ অংশ

দুইটি নল দ্বারা
১/৬ অংশ পূর্ণ হয় ১ ঘণ্টায় 
১ অংশ বা সম্পূর্ণ  পূর্ণ হয় (১ × ৬)/১  = ৬ ঘণ্টায়

প্রশ্ন: একই ধরণের ৯টি মেশিন ৪ মিনিটে ২৭টি জার্সি সেলাই করতে পারে। এরকম ৪টি মেশিন কত সময়ে ৬০টি জার্সি সেলাই করতে পারে?

সমাধান:
৯টি মেশিনের ২৭টি জার্সি সেলাই করতে সময় লাগে = ৪ মিনিট
∴ ১টি মেশিনের ১টি জার্সি সেলাই করতে সময় লাগে = (৪ × ৯)/২৭ মিনিট
∴ ৪টি মেশিনের ৬০টি জার্সি সেলাই করতে সময় লাগে = (৪ × ৯ × ৬০)/(২৭ × ৪) মিনিট
= ২০ মিনিট

প্রশ্ন: ৩ দিনে একটি কাজের ১/১৮ অংশ হলে, ঐ কাজের ৪ গুণ কাজ করতে কতদিন লাগবে?

সমাধান: 
১/১৮ অংশ কাজ হয় ৩ দিনে
১ অংশ কাজ হয় (৩ × ১৮) = ৫৪ দিনে


ঐ কাজের ৪ গুণ কাজ করতে লাগবে = ৫৪ × ৪ = ২১৬ দিন

প্রশ্ন: x টাকার x% সরল সুদে ৪ বছরের সুদ x টাকা হলে x = কত? 

সমাধান: 
এখানে,
সুদের হার, r = x% = x/১০০ 
সময়, n = ৪ বছর
আসল, P = x
সুদ, I = x

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, x = x × ৪ × (x/১০০)
বা, x²/২৫ = x 
বা, x² = ২৫x
∴ x = ২৫

প্রশ্ন: মনসুর ও রতনের বেতনের সমষ্টি ১৮০০ টাকা। মনসুর তার বেতনের ৮০% এবং রতন তার বেতনের ৭০% ব্যয় করেন। যদি তাদের সঞ্চয়ের অনুপাত ৪ : ৩ হয়, তবে মনসুরের বেতন কত?

সমাধান:
মনে করি, 
মনসুর ও রতনের বেতন যথাক্রমে ক এবং খ টাকা

প্রশ্নমতে,
ক এর ২০% : খ এর ৩০% = ৪ : ৩
বা, (২০ক/১০০)/(৩০খ/১০০) = ৪/৩
বা, (ক/৫)/(৩খ/১০) = ৪/৩
বা, ২ক/৩খ = ৪/৩
বা, ৬ক = ১২খ
বা, ক/খ = ১২/৬
বা, ক/খ = ২/১
∴ ক : খ = ২ : ১

মনসুরের বেতন = ১৮০০ × (২/৩) = ১২০০ টাকা

প্রশ্ন: একজন দোকানদার একটি বইয়ের লিখিত মূল্যের উপর ১০% কমিশন দিয়ে বিক্রয় করেও ১২% লাভ করেন। দোকানদারের বইটির ক্রয়মূল্য ও লিখিত মূল্যের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
লিখিত মূল্য ১০০ টাকা
১০% কমিশন দিয়ে বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা।

১২% লাভে,
বিক্রয়মূল্য ১১২ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১১২ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৯০)/১১২ টাকা
= ৯০০০/১১২ টাকা
= ২২৫০/২৮ টাকা

ক্রয়মূল্য : লিখিতমূল্য = ২২৫০/২৮ : ১০০
= ২২৫০ : ২৮০০
= ৪৫ : ৫৬

প্রশ্ন: একটি সিএনজি প্রথম মাইলের জন্য ৫০ টাকা এবং পরবর্তী প্রতি ১/৪ মাইলের জন্য ৫ টাকা ভাড়া নেয়। সাড়ে চার মাইল পথের জন্য কত টাকা ভাড়া হবে?

সমাধান:
মোট পথের দৈর্ঘ্য = ৪.৫ মাইল 

প্রথম মাইলের জন্য  ভাড়া = ৫০ টাকা
বাকি পথের দৈর্ঘ্য = ৩.৫ মাইল 

১/৪ মাইলের জন্য ভাড়া নেয় ৫ টাকা 
১ মাইলের জন্য ভাড়া নেয় ৫ × ৪ টাকা 
৩.৫ মাইলের জন্য ভাড়া নেয় ৫ × ৪ × ৩.৫ টাকা = ৭০ টাকা

সুতরাং, সাড়ে চার মাইল পথের জন্য ভাড়া হবে = (৭০ + ৫০) টাকা
= ১২০ টাকা

প্রশ্ন: হীরার আয়ের ৩৫% হ্যাপীর আয়ের ২৫% এর সমান। তাদের আয়ের অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
হীরার আয় x% এবং হ্যাপীর আয় y%

x এর ৩৫%= y এর ২৫%
বা,৩৫x/১০০=২৫y/১০০
বা,৩৫x = ২৫y
বা, x/y = ২৫/৩৫
∴ x : y = ৫ : ৭

প্রশ্ন: কোনো দুর্গে ৭২০ জন সৈন্যের ২০ দিনের খাবার মজুদ আছ। ১০ দিন পর কিছু নতুন সৈন্য আসায় অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের ৮ দিন চললে কত জন সৈন্য এসেছিল?

সমাধান:
অবশিষ্ট = (২০ - ১০) দিন = ১০ দিন 

১০ দিনের খাবার আছে ৭২০ জন সৈন্যের 
১  দিনের খাবার আছে  ১০ × ৭২০ 
৮  দিনের খাবার আছে (১০ × ৭২০) /৮
 = ৯০০ জন 

নতুন সৈন্য এসেছিলো = (৯০০ - ৭২০) জন 
= ১৮০ জন

প্রশ্ন: একটি শার্ট এবং প্যান্টের ক্রয়মূল্যের অনুপাত 3 : 7। তাদের বিক্রয়মূল্যের অনুপাত 1 : 4। যদি পণ্য দুটি বিক্রয় করে লোকসানের পরিমাণ সমান হয়, তবে প্যান্টের ক্রয়মূল্য এবং বিক্রয়মূল্যের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
শার্টের ক্রয়মূল্যে = 3a টাকা
এবং শার্টের বিক্রয়মূল্য = b টাকা
আবার,
প্যান্টের ক্রয়মূল্যে = 7a টাকা
প্যান্টের বিক্রয়মূল্যে = 4b টাকা

প্রশ্নমতে,
 3a - b = 7a - 4b
⇒ 7a - 3a = 4b - b
∴ b = (4a/3)

সুতরাং, 7a : 4b = 7a : 4(4a/3) = 21 : 16

প্রশ্ন: মুনাফা-আসল একত্রে ১০৯২ টাকা। মুনাফা আসলের ১/৩ হলে, মুনাফা কত টাকা? 

সমাধান: 
ধরি, 
মুনাফা = ক টাকা 
আসল = ৩ক টাকা 
∴ মুনাফা-আসল = (ক + ৩ক) টাকা 
= ৪ক টাকা 

প্রশ্নমতে, 
৪ক = ১০৯২ 
বা, ক = ১০৯২/৪ 
= ২৭৩ টাকা 

∴ মুনাফা = ২৭৩ টাকা।

প্রশ্ন: মিজান সাহেব তার সম্পত্তির ১/৫ অংশ তার স্ত্রীকে, ১/৩ অংশ তার ছেলেকে এবং বাকি অংশ তার মেয়েকে দেন। মেয়ে, স্ত্রী এবং ছেলের অংশের অনুপাত কত?

সমাধান:
স্ত্রী ও ছেলে পেল = ১/৫ + ১/৩ অংশ
= (৩ + ৫)/১৫ অংশ
= ৮/১৫ অংশ

∴ মেয়ে পেল = ১ - ৮/১৫ অংশ
= (১৫ - ৮)/১৫ অংশ
= ৭/১৫ অংশ

মেয়ে : স্ত্রী : ছেলে = ৭/১৫ : ১/৫ : ১/৩ 
= ৭ : ৩ : ৫

প্রশ্ন: কোনো ছাত্রাবাসে ৪০ জন ছাত্রের ৩০ দিনের খাবার আছে। ৫ দিন পর আর ও ১০ জন ছাত্র আসলে অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের কতদিন চলবে?

সমাধান:
৫ দিন পর, খাদ্য অবশিষ্ট আছে = ৩০ - ৫ = ২৫ দিনের

অতএব,
অবশিষ্ট খাদ্য,
৪০ জন শেষ করতে পারে ২৫ দিনে
১ জন শেষ করতে পারে ২৫ × ৪০ দিনে
∴ (৪০ + ১০) বা ৫০ জন শেষ করতে পারে (২৫ × ৪০)/৫০ দিনে
= ২০ দিনে