Math Master

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের তিন কোণের সমষ্টি ২৮০° হলে চতুর্থ কোণটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি  = ৩৬০°
চতুর্ভুজের তিন কোণের সমষ্টি  = ২৮০°

সুতরাং, চতুর্থ কোণটি= (৩৬০ - ২৮০)° 
= ৮০°

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 16 মিটার ও 8 মিটার এবং তাদের উচ্চতা 5 মিটার। ঐ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের যোগফল) × উচ্চতা
= (1/2) × (16 + 8) × 5
= (1/2) × 24 × 5
= 60 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ২৪০ মিটার। প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ২/৩ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার
তাহলে, প্রস্থ = ৩ক × (২/৩) = ২ক মিটার

প্রশ্নমতে,
২(৩ক + ২ক) = ২৪০
⇒ ১০ক = ২৪০
∴ ক = ২৪ মিটার

অতএব, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৩ × ২৪ = ৭২ মিটার

প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের তিন গুণ। কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
কোণটির মান = x°
তাহলে তার সম্পূরক কোণ = 180 - x°

প্রশ্নমতে,
x = 3 × (180 - x)
⇒ x = 540 - 3x
⇒ 4x = 540
⇒ x = 540 / 4
∴ x = 135°

অতএব, কোণটির মান 135°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 10√2 হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × বাহু

প্রশ্নমতে,
√2 × বাহু = 10√2
⇒ বাহু = 10√2/√2 = 10

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 10² = 100 বর্গ একক

প্রশ্ন: দুইটি বিন্দু দিয়ে কয়টি সরলরেখা আঁকা যায়?

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো:
স্বীকার্য-১: দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
স্বীকার্য-২: যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
স্বীকার্য-৩: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
স্বীকার্য-৪: সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
স্বীকার্য-৫: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম, সেদিকে মিলিত হয়।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 3 : 4 এবং ক্ষেত্রফল 96 বর্গসে.মি. হলে, কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = 3 : 4
ধরি, কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 3a এবং 4a

প্রশ্নমতে,
(1/2) × 3a × 4a = 96
⇒ 12a²/2 = 96
⇒ 6a² = 96
⇒ a² = 16
∴ a = 4

∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য (3 × 4) = 12 সে.মি. এবং (4 × 4) = 16 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পার্কের দৈর্ঘ্য 200 মিটার এবং প্রস্থ 120 মিটার। পার্কটিকে পরিচর্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে 4 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আয়তাকার পার্কের দৈর্ঘ্য 200 মিটার এবং প্রস্থ 120 মিটার।
দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = 200 × 4 = 800 বর্গমিটার
প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (120 - 4) × 4 = 464 বর্গমিটার

∴ মোট রাস্তার ক্ষেত্রফল = (800 + 464) বর্গমিটার
= 1264 বর্গমিটার

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১০৮° হলে, বৃত্তস্থ কোণ হবে -

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ তার কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

∴ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১০৮° হলে, বৃত্তস্থ কোণ হবে = ১০৮°/২
= ৫৪°

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার ও প্রস্থ ১৫ মিটার। চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(২৫ + ১৫) মিটার
= ৮০ মিটার

প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা ২২° বেশি হলে, কোণটির মান কত হবে?
সমাধান:
ধরি,
কোণটির মান = ক
∴ ক এর পূরক কোণ = ৯০° - ক

শর্তমতে,
ক - ২২° = ৯০° - ক
⇒ ক + ক = ৯০° + ২২°
⇒ ২ক = ১১২°
⇒ ক = ১১২°/২

সুতরাং, কোণটি = ৫৬°

প্রশ্ন: দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 49 : 64। তাদের পরিসীমার অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 49 : 64 ।

পরিসীমার অনুপাত = √49 : √64
= 7 : 8

অতএব, দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 49 : 64 হলে তাদের পরিসীমার অনুপাত 7 : 8 হবে।

প্রশ্ন:  b এর মান কত?

সমাধান:
2a° + 3a° 180° [এক সরল কোণ বলে]
⇒ 5a° = 180°
∴ a = 36°

আবার, b + 76° = 3 × 36° [বিপ্রতীপ কোণ বলে]
⇒ b = 108° - 76°
∴ b = 32°

প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি খামারের ক্ষেত্রফল ৪৯ বর্গমিটার। খামারটির পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
খামারের ক্ষেত্রফল = ৪৯ বর্গমিটার

বাগানটির এক পাশের দৈর্ঘ্য = √(৪৯) = ৭ মিটার

∴ খামারটির পরিসীমা = ৪ × এক পাশের দৈর্ঘ্য
= ৪ × ৭
= ২৮ মিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০ সে.মি. এবং প্রস্থ ১২ সে.মি. আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ৩০ সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ২০ × ১২ = ২৪০ বর্গ সে.মি.
নতুন আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ক সে.মি. হলে,
ক্ষেত্রফল = ৩০ক বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
৩০ক = ২৪০
⇒ ক = ২৪০/৩০
∴ ক = ৮ সে.মি.

অতএব, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ ৮ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি ২য় কোণের তিনগুণ এবং ৩য় কোণ যদি ২য় কোণের চেয়ে ৩০ ডিগ্রি বড় হয় তবে ৩য় কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
২য় কোণ = ক
একটি কোণ = ৩ক
৩য় কোণ = ক + ৩০°

শর্তমতে,
ক + ৩ক + ক + ৩০° = ১৮০°
⇒ ৫ক = ১৮০° - ৩০°
⇒ ক = ১৫০°/৫
∴ ক = ৩০°

∴ ৩য় কোণ = ৩০° + ৩০° = ৬০°

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গমিটার এবং ভূমি ১০ মিটার হলে, সামান্তরিকের উচ্চতা কত?

সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৫০ বর্গমিটার
সামান্তরিকের ভূমি = ১০ মিটার
সামান্তরিকের উচ্চতা = ক্ষেত্রফল / ভূমি
= ৫০ / ১০
= ৫ মিটার

অতএব, সামান্তরিকের উচ্চতা ৫ মিটার।

প্রশ্ন: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে বলে-

সমাধান:
• এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ এবং এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়।
• দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
• দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি এক সমকোণ বা 90° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের পূরক কোণ বলা হয়।
• দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের সম্পূরক কোণ বলা হয়।
• যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

প্রশ্ন: একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি করা হলে, ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বাহুর দৈর্ঘ্য = 100 একক
তাহলে ক্ষেত্রফল = (100)² = 10000 বর্গ একক

10% বৃদ্ধি করা হলে বাহুর দৈর্ঘ্য = 100 + 10 = 110 একক
নতুন ক্ষেত্রফল = (110)² = 12100 বর্গ একক 

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়েছে = 12100 - 10000 = 2100 বর্গ একক
∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পেয়েছে = (2100 × 100)/10000
= 21%