ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: একটি আয়তকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৭০ মিটার এবং প্রস্থ ৫০ মিটার হলে, মাঠের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
আয়তকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
= ২(৭০ + ৫০) মিটার
= ২৪০ মিটার

∴ নির্ণেয় পরিসীমা = ২৪০ মিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ২০৩ বর্গমিটার। এর উচ্চতা ১৪ মি. হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল = ২০৩ বর্গমিটার
ত্রিভুজাকৃতি জমির উচ্চতা = ১৪ মি.

আমরা জানি
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ ২০৩ = (১/২) × ভূমি × ১৪
⇒ ৭ × ভূমি = ২০৩
⇒ ভূমি = ২০৩/৭
⇒ ভূমি = ২৯ মিটার 

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটির অন্তর ৪ সে.মি. এবং তাদের লম্ব দুরত্ব 24 সে.মি.। যদি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল লম্ব দূরত্বের 13 গুণ হয়, তবে সমান্তরাল বাহু দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ট্রাপিজিয়ামের বাহু দুইটি A ও B এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব h

প্রশ্নমতে,
ক্ষেত্রফল = (1/2) (A + B) × h
⇒ 13 × 24 = (1/2) (A + B) × 24
⇒ 312 = 12(A + B)
⇒ A + B = 312/12
∴ A + B = 26

অতএব, সমান্তরাল বাহু দুইটির যোগফল 26 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থের তিন গুণ এবং ক্ষেত্রফল 768 বর্গমিটার। বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার
রাহলে, আয়তক্ষেত্রের দর্ঘ্য = 3x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = x × 3x = 3x²

প্রশ্নমতে,
3x² = 768
⇒ x² = 256
⇒ x = 16 মিটার

এখন, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 3 × 16 = 48 মিটার
∴আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(16 + 48) মিটার = 128 মিটার

আবার, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা
অতএব, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = 128 মিটার।

প্রশ্ন: দুটি ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 2 হলে, আয়তনের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘনক দুটির বাহুর দৈঘ্যের অনুপাত যথাক্রমে 3a, 2a
∴ ঘনক দুটির আয়তনের অনুপাত = (3a)³ : (2a)³
= 27a³ : 8a³
= 27 : 8

প্রশ্ন: একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের মান 5√2 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সমান বাহুদ্বয় = a
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
a² + a² = ( 5√2)²
⇒ 2a² = 50
⇒ a² = 25
∴ a = 5

∴ ক্ষেত্রফল = (1/2) × 5 × 5 
= 12.5 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a
তাহলে, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) a² বর্গ একক
দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে, ক্ষেত্রফল = (√3/4) (a +2)²
= (√3/4) (a² + 4a + 4) বর্গ একক

প্রশ্নমতে,
(√3/4) (a² + 4a + 4) = (√3/4) a² + 3√3
⇒ √3(a² + 4a + 4) = √3a² + 12√3
⇒ √3(a² + 4a + 4) = √3(a² + 12)
⇒ a² + 4a + 4 = a² + 12
⇒ 4a = a² + 12 - a² - 4
⇒ 4a = 8
∴ a = 2
অতএব, সমবাহু ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার

প্রশ্ন: 24 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. হলে এর তীর্যক উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা, h = 24 সে.মি.
এবং ব্যাসার্ধ, r = 14/2 = 7 সে.মি

অতএব, কোণকের তীর্যক উচ্চতা L = √(h² + r²) সে.মি.
= √(24² + 7²) সে.মি.
= √(576 + 49) সে.মি.
= √625 সে.মি.
= 25 সে.মি

প্রশ্ন: একটি বাগানের দৈর্ঘ্য 40 মিটার ও প্রস্থ 30 মিটার। বাগানের বাইরে চারদিকে 3 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
বাগানের ক্ষেত্রফল = 40 × 30 = 1200 বর্গ মিটার

যেহেতু, বাগানের বাইরে চারদিকে 3 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে।
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = 40 + (3 + 3) মিটার = 46 মিটার
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = 30 + (3 + 3) মিটার = 36 মিটার

∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = 46 × 36 = 1656 বর্গ মিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = 1656 - 1200 = 456 বর্গ মিটার

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বেশি হবে?

সমাধান :
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r
∴ব্যাসার্ধ =6r/2 = 3r
∴ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r⁾² = 9πr²

বৃত্তের ক্ষেত্রফল বেশি হবে = 9πr² - πr²
= 8πr² বা 8 গুণ

প্রশ্ন: একটি বেলনের উচ্চতা 14 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাস 12 সে.মি.। বেলনের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের উচ্চতা, h = 14
বেলনের ব্যাসার্ধ, r = 12/2 = 6 সে.মি.

আমরা জানি,
বেলনের ঘনফল = πr²h ঘন সে.মি.
= (22/7) × 6² × 14 ঘন সে.মি.
= 1584 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি গোলকের ব্যাস 12 মিটার। গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গোলকের ব্যাসার্ধ = 12/2 = 6 মিটার

আমরা জানি,
গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ মিটার
= 4 × (22/7) × 6 × 6 বর্গ মিটার
= 452.57 বর্গ মিটার
≈ 453 বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য 10 মিটার এবং প্রস্থ 6 মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে 23.5 টাকা খরচ হলে পুকুরটির চারপাশে বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
আয়তাকার পুকুরের পরিসীমা = 2 × (10 + 6) মিটার
= 32 মিটার

1 মিটারে খরচ হয় = 23.5 টাকা
∴ 32 মিটারে খরচ হয় = (32 × 23.5) টাকা
= 752 টাকা

প্রশ্ন: 3 মিটার, 4 মিটার ও 5 মিটার বাহু বিশিষ্ট তিনটি ঘনক গলিয়ে নতুন একটি ঘনক তৈরি করা হলে নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
নতুন ঘনকের আয়তন = ঘনক তিনটির আয়তনের সমষ্টি
= 3³ + 4³ + 5³
= 27 + 64 + 125
= 216 ঘন মিটার

নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = 3√216
= (6³)^1/3
= 6 মিটার

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ফার্মের দৈর্ঘ্য 200 মিটার এবং প্রস্থ 120 মিটার। ফার্মের পরিচর্যা জনিত কারণে ঠিক মাঝ দিয়ে 4 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দৈর্ঘ্য বরাবর ফার্মের ক্ষেত্রফল = 200 × 4 = 800 বর্গমিটার
প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (120 - 4) × 4 = 464 বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (800 + 464) বর্গমিটার
= 1264 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 12 মিটার। এর আয়তন এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের কতগুণ?

সমাধান:
ঘনকের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের = 6 × বাহু^২ = 6 × 144 = 864 বর্গমিটার
ঘনকের আয়তন = 12³ ঘনমিটার = 1728 ঘনমিটার
∴ এর আয়তন এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের (1728/864) বা 2 গুণ

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 12 বর্গসে.মি. এবং একটি কর্ণ 4 সে.মি. অপর কর্ণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর কর্ণটি = p

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
⇒ 12 = (1/2) × 4 × p
⇒ 12 = 2p
⇒ p = 12/2
∴ p = 6 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ 56 মিটার। পার্কটির বাইরে সীমানা ঘেষে 4 মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ, r = 56 মিটার
∴ রাস্তাসহ পার্কের ব্যাসার্ধ, R = (56 + 4) মি. = 60 মি.
এখন, বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = πr² = π × 56 × 56 বর্গমিটার = 3136π বর্গমিটার

রাস্তাসহ বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = πR² = π × 60 × 60 বর্গমিটার = 3600π বর্গমিটার

∴ নির্ণেয় রাস্তার ক্ষেত্রফল = 3600π - 3136π বর্গমিটার = 464π বর্গমিটার।