Math Master

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৪৮ কি.মি. বেগে ১০০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ৩০ সেকেন্ডে একটি সেতু অতিক্রম করে। সেতুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সেতুটির দৈর্ঘ্য ক মিটার 

ট্রেনের বেগ ঘণ্টায় ৪৮ কি.মি. = সেকেন্ডে (৪৮ × ১০০০)/৩৬০০ মিটার
= ৪০/৩ মিটার/সেকেন্ড

প্রশ্নমতে,
(১০০ + ক )/(৪০/৩) = ৩০
⇒ ১০০ + ক = ৩০ × (৪০/৩)
⇒ ১০০ + ক = ৪০০
⇒ ক = ৪০০ - ১০০
∴ ক = ৩০০ মিটার 

অতএব, সেতুটির দৈর্ঘ্য ৩০০ মিটার।

প্রশ্ন: ক একটি কাজ করে ১২ দিনে। খ সেই কাজ করে ২৪ দিনে। ক ও খ একত্রে ৪ দিনে কাজটির কত অংশ করতে পারবে?

সমাধান: 
ক ১ দিনে করে ১/১২ অংশ 
খ ১ দিনে করে ১/২৪ অংশ 

ক ও খ একত্রে ১ দিনে করে ১/১২ + ১/২৪ অংশ 
= (২ + ১)/২৪ অংশ
= ৩/২৪ অংশ
= ১/৮ অংশ 

ক ও খ একত্রে ১ দিনে করে ১/৮ অংশ 
∴ ক ও খ একত্রে ৪ দিনে করে (১ × ৪)/৮ অংশ 
= ১/২ অংশ  

প্রশ্ন: ৩৬৭৫ কে কত দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
৩৬৭৫ = ৩ × ৫ × ৫ × ৭ × ৭
= ৩ × (৫ × ৫) × (৭ × ৭)

এখানে ৩ জোড়াবিহীন। তাই ৩ দ্বারা ভাগ করলে অথবা ৩ দ্বারা গুণ করলে পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

৩ দ্বারা ভাগ করলে পাই,
 (৫ × ৫) × (৭ × ৭)
= ২৫ × ৪৯
= ১২২৫
= ৩৫^২

∴ ৩৬৭৫ কে ৩ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: কোন বর্ণটিকে আয়নায় ও বাস্তবে একই দেখায় না? 

সমাধান:
ইংরেজি বর্ণমালায় বড় হাতের A, H, I, M, O, T, U, V, W, X ও Y অক্ষরগুলো আয়নায় ও বাস্তবে কোনো পরিবর্তন হয় না।
i, l, o, v, w, x এই ছোট হাতের ইংরেজি অক্ষরগুলোর আয়নায় প্রতিবিম্ব ও বাস্তব বিম্ব একই হয়।

∴ Z আয়নায় ও বাস্তবে একই দেখায় না।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৬০ কি.মি. বেগে চলে ৩৬০ মিটার দীর্ঘ একটি প্লাটফর্ম ৪৮ সেকেন্ডে অতিক্রম করল। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার।
৬০ কিলোমিটার = ৬০ × ১০০০ মিটার = ৬০০০০ মিটার

১ ঘণ্টা বা (৬০ × ৬০) সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৬০০০০ মিটার
∴ ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৬০০০০/(৬০ × ৬০) মিটার
∴ ৪৮ সেকেন্ড অতিক্রম করে = (৬০০০০ × ৪৮)/(৬০ × ৬০)
= ৮০০ মিটার

∴ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = (৮০০ - ৩৬০) মিটার = ৪৪০ মিটার।

প্রশ্ন: পাইপ ক দ্বারা একটি ট্যাঙ্ক ৬ মিনিটে পূর্ণ হয়। আবার পাইপ খ দ্বারা ট্যাঙ্কটি ১০ মিনিটে খালি হয়। যদি দুইটি পাইপ একসাথে চালু থাকে তবে কত সময় পর ট্যাঙ্কটি পূর্ণ হবে?

সমাধান:
পাইপ ক দিয়ে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় ১/৬ অংশ
পাইপ খ দিয়ে ১ মিনিটে খালি হয় ১/১০ অংশ

∴ দুটি নল খোলা থাকলে ১ মিনিটে পূর্ণ হবে = (১/৬ - ১/১০)
= (৫ - ৩)/৩০ অংশ
= ২/৩০ অংশ
= ১/১৫ অংশ

১/১৫ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় ১৫ মিনিটে

প্রশ্ন: (√০.০০১৬) এর বর্গমূল কত?

সমাধান:
√০.০০১৬ এর মান = ০.০৪

(√০.০০১৬) এর বর্গমূল = ০.০৪ এর বর্গমূল = ০.২ 

প্রশ্ন: ঘড়িতে ৩ টা ২০ মিনিট বাজলে আয়নার প্রতিবিম্বে কয়টা বাজতে দেখা যাবে?

সমাধান: 
প্রকৃত সময় = ৩ : ২০
আয়নায় সময় = ১১ : ৬০ - ৩ : ২০
= ৮ : ৪০

৮ টা ৪০ মিনিট বাজে।

প্রশ্ন: ফেনী থেকে ঢাকার দূরত্ব ১৬২ কি.মি.। একটি গাড়ি ঘণ্টায় ২০.৫ কি.মি. বেগে ঢাকা থেকে ফেনীর দিকে এবং আর একটি গাড়ি ঘণ্টায় ২০ কি.মি. বেগে ফেনী থেকে ঢাকার দিকে একই সময়ে যাত্রা শুরু করলো। ফেনী থেকে কত দূরে গাড়ি দুটি মুখোমুখি হবে?

সমাধান: 
গাড়ি দুটির আপেক্ষিক বেগ = (২০.৫ + ২০) কি.মি./ঘণ্টা = ৪০.৫ কি.মি./ঘণ্টা 
মুখোমুখি হতে গাড়ি দুটির মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = ১৬২ কি.মি.

গাড়ি দুটি মুখোমুখি হওয়ার সময় = অতিক্রান্ত দূরত্ব/আপেক্ষিক বেগ
= ১৬২/৪০.৫
= ৪ ঘণ্টা

ফেনী থেকে ঢাকাগামী বাস ১ ঘণ্টায় যায় = ২০ কি.মি.
∴ ফেনী থেকে ঢাকাগামী বাস ৪ ঘণ্টায় যায় = ২০ × ৪ কি.মি.
= ৮০ কি.মি.

∴ ফেনী থেকে ৮০ কি.মি. দূরে গাড়ি দুটি মুখোমুখি হবে।

প্রশ্ন: আরিফ ১০ মিনিটে ৫০০ শব্দ এবং রবিন ১০ মিনিটে ৪০০ শব্দ টাইপ করে। দুজনে একসাথে কাজ করে ৩৬০০ শব্দ মোট কত সময়ে টাইপ করবে?

সমাধান:
আরিফ ১ মিনিটে করে (৫০০/১০) = ৫০ শব্দ
রবিন ১ মিনিটে করে (৪০০/১০) = ৪০ শব্দ

দুজন একত্রে ১ মিনিটে করে = ৫০ + ৪০ শব্দ 
= ৯০ শব্দ 

দুজন একত্রে ৯০ শব্দ টাইপ করে ১ মিনিটে
∴ দুজন একত্রে ৩৬০০ শব্দ টাইপ করে (১ × ৩৬০০)/৯০ মিনিটে
= ৪০ মিনিটে  

প্রশ্ন: ২৪^৫ কে সর্বনিম্ন কত দিয়ে গুন করলে গুণফল পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন সংখ্যার সূচকের মান জোড় সংখ্যক হলে সেই সংখ্যা পূর্ণবর্গ হয়। যেমন: ৫^৪ = ৬২৫ = ২৫^২  

এখন
২৪^৫
= (৬ × ৪)^৫
= ৬^৫ × ৪^৫
= ৬^৫ × (২^২)^৫
= ৬^৫ × ২^১০
 এখানে ৬^৫ × ৬ = ৬^৬ হলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে। তাই সর্বনিম্ন ৬ দিয়ে গুণ দিতে হবে।

প্রশ্ন: ক, খ এবং গ একটি কাজ যথাক্রমে ১২, ১৫ এবং ২০ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কাজটি কতদিনে করতে পারবে?

সমাধান: 
ক ১ দিনে করে = ১/১২ অংশ
খ ১ দিনে করে = ১/১৫ অংশ
গ ১ দিনে করে = ১/২০ অংশ

ক, খ ও গ একত্রে ১ দিনে করে = (১/১২ + ১/১৫ + ১/২০) অংশ
= (৫ + ৪ + ৩)/৬০ অংশ
= ১২/৬০ অংশ
= ১/৫ অংশ

তারা একত্রে ১/৫ অংশ করে ১ দিনে
তারা একত্রে ১ বা সম্পূর্ণ অংশ করে (১ × ৫) দিনে
= ৫ দিনে 

প্রশ্ন: (√৭ + √৭)^২ = কত?

সমাধান:
(√৭ + √৭)^২
= (২√৭)^২
= ৪ × ৭
= ২৮

প্রশ্ন: ৪৭০৮০ জন সৈন্য থেকে কমপক্ষে কতজন সৈন্য সরিয়ে নিয়ে দলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে?

সমাধান:
(২১৬)^২ = ৪৬৬৫৬
(২১৭)^২ = ৪৭০৮৯

আমরা পাই,
৪৭০৮০ - ৪৬৬৫৬ = ৪২৪

∴ ৪৭০৮০ জন সৈন্য থেকে কমপক্ষে ৪২৪ জন সৈন্য সরিয়ে নিয়ে দলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে।

প্রশ্ন: একটি নল ২৪ মিনিটে একটি খালি চৌবাচ্চা পূর্ণ করে । অপর একটি নল প্রতি মিনিটে ২৮ লিটার পানি বের করে দেয়। চৌবাচ্চাটি খালি অবস্থায় নল দুইটি খুলে দিলে ৯৬ মিনিটে উহা পূর্ণ হয়। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরে?

সমাধান:
ধরি,
চৌবাচ্চাটিতে পানি ধরে = ক লিটার
১ম নল ১ মিনিটে পূর্ণ করে = ক/২৪ লিটার
২য় নল ১ মিনিটে খালি করে = ২৮ লিটার

দুইটি নল খোলা অবস্থায় ৯৬ মিনিটে পূর্ণ করে = ক লিটার
∴ দুইটি নল খোলা অবস্থায় ১ মিনিটে পূর্ণ করে = ক/৯৬ লিটার

প্রশ্নমতে,
(ক/২৪) - ২৮ = ক/৯৬
বা, (ক/২৪) - (ক/৯৬) = ২৮
বা, (৪ক - ক)/৯৬ = ২৮
বা, ৩ক = ২৮ × ৯৬
বা, ক = (২৮ × ৯৬)/৩
∴ ক = ৮৯৬ লিটার

∴ চৌবাচ্চাটিতে পানি ধরে ৮৯৬ লিটার

প্রশ্ন: একজন লোক একটি নির্দিষ্ট স্থান A থেকে যাত্রা শুরু করে ২১ কি.মি. ঠিক উত্তর দিকে গেল এবং সেখান থেকে ২৮ কি.মি. ঠিক পূর্ব দিকে গেল। যাত্রা শেষে সে A থেকে কত দূরে থাকবে?

সমাধান:

নির্দিষ্ট স্থান A থেকে যাত্রা শুরু করে উত্তর দিকে AB = 21 কি.মি. উত্তর দিকে গেল এবং সেখান থেকে  পূর্ব দিকে BC = 28 কি.মি. গেল।
যাত্রা শেষে সে A অবস্থান থেকে AC দূরত্বে থাকবে।

ΔABC ত্রিভুজ হতে পাই,
AC² = AB² + BC²
⇒ AC² = (21)² + (28)²
⇒ AC² = 441 + 784
⇒ AC = √1225
∴ AC = 35 কি.মি.

প্রশ্ন: প্রদত্ত কম্বিনেশনটিকে আয়নায় দেখলে কোনটির মত দেখাবে?
 
সমাধান:

প্রশ্ন: দাঁড় বেয়ে একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘণ্টায় যায় ২০ কি. মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে যায় ঘণ্টায় ১২ কি. মি.। স্রোতের বেগ নির্ণয় করুন।

সমাধান:
মনে করি,
নৌকার বেগ = x কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের বেগ = y কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
x + y = ২০ ............. (1)
x - y = ১২ ............. (2)

(1) নং -  (2) নং 
x + y - x + y = ২০ - ১২
বা, ২y = ৮
∴ y = ৪

∴ স্রোতের বেগ = ৪ কি.মি./ঘণ্টা