প্রাইমারি ডেইলি কুইজ

প্রশ্ন: cosecθ + cotθ = 4/3 হলে, cosecθ - cotθ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
cosecθ + cotθ = 4/3

আমরা জানি,
cosec⁡²θ - cot⁡²θ = 1
⇒ (cosec⁡θ + cot⁡θ)(cosec⁡θ - cot⁡θ) = 1
⇒ (4/3)(cosec⁡θ - cot⁡θ) = 1
⇒ (cosec⁡θ - cot⁡θ) = 1/(4/3)
∴ (cosec⁡θ - cot⁡θ) = 3/4

সুতরাং, cosecθ - cotθ এর মান 3/4। 

প্রশ্ন: sinθ এর সর্বোচ্চ মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
সাইন ফাংশনের মান সবসময় নিম্নলিখিত সীমার মধ্যে থাকে,
- 1 ≤ sinθ ≤ 1
অর্থাৎ, সর্বোচ্চ মান (maximum value) = + 1
এবং সর্বনিম্ন মান (minimum value) = - 1

প্রশ্ন: cot²45° sin60° tan30° tan²60° এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
cot²45° sin60° tan30° tan²60°
= 1² × (√3/2) × (1/√3) × (√3)² ; [cot45° = 1, sin60° = √3/2, tan30° = 1/√3, tan60° = √3]
= (√3/2) × (1/√3) × 3
= 3/2

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান: 
সাইন ফাংশনের ক্ষেত্রে,
sin(180° - θ) = sin θ

এখন θ = 1° হলে, 
⇒ sin(180° - 1°) = sin 179°
⇒ sin 179° = sin 1°
অর্থাৎ sin 1° = sin 179° এর সমান।

অন্য অপশনগুলো ভুল। 

সঠিক উত্তর: খ) sin 1° = sin 179°

প্রশ্ন: ∆ABC এর ∠B = 90° AB = 3 সে.মি. এবং BC = 4 সে.মি. হলে, sinC এর মান কত?

সমাধান:
 
দেওয়া আছে, 
AB = 3 সে.মি., BC = 4 সে.মি.
এবং ∠B = 90°
সুতরাং, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

এখন, পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
AC² = AB² + BC²
= 32 + 4²
= 9 + 16 = 25
 ⇒ AC = √25 
∴ AC = 5 সে.মি.

এখন ∠C-এর সাইন মান,
sin C = বিপরীত বাহু/অতিভুজ
∠C-এর বিপরীত বাহু = AB = 3 সে.মি.
এবং অতিভুজ = AC = 5 সে.মি.
সুতরাং, sin C = 3/5

প্রশ্ন: যদি sinA = 3/5 হয়, তাহলে cosA =?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
sin A = 3/5
∴ sin²A = (3/5)² = 9/25

আমরা জানি,
sin²A + cos²A = 1
⇒ cos²A = 1 - sin²A 
⇒ cos²A = 1 - (9/25)
⇒ cos²A = (25 - 9)/25
⇒ cos²A = 16/25
⇒ cos A = √(16/25)
∴ cos A = 4/5

প্রশ্ন: cos(nπ/2) অনুক্রমটির তৃতীয় পদ কোনটি? 

সমাধান: 
অনুক্রমটি হলো, cos(nπ/2) ; যেখানে n = 1, 2, 3, 4, …

এখন, 
n = 1 হলে cos(1 × π/2) = cos(π/2) = 0
n = 2 হলে cos(2 × π/2) = cos(π) = - 1
n = 3 হলে cos(3 × π/2) = cos(3π/2) = 0
n = 4 হলে cos(4 × π/2) = cos(2π) = 1
n = 5 হলে cos(5 × π/2) = cos(5π/2) = 0
..............................................................

সুতরাং, তৃতীয় পদ (n = 3) এর মান = cos(3π/2) = 0

প্রশ্ন: একটি মই 20 মিটার দীর্ঘ একটি দেয়ালে 45° কোণে স্পর্শ করে আছে। মইয়ের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
 
ধরি 
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = ?
দেয়ালের  দৈর্ঘ্য AB = 20

আমরা জানি,
Sin∠ACB = AB/AC 
⇒ 1/√2 = 20/AC
⇒ AC = 20√2

সুতরাং, মইয়ের দৈর্ঘ্য 20√2 মিটার

প্রশ্ন: tanθ = x/y হলে, cosecθ এর মান কত?
 
সমাধান:
আমরা জানি,
tanθ = sinθ/cosθ = x/y 

ধরি, ত্রিভুজের বিপরীত বাহু = x, সংলগ্ন বাহু = y
তাহলে, পিথাগোরাস অনুযায়ী অতিভুজ হবে,
⇒ অতিভুজ = √(x² + y²)

∴ cosecθ = 1/sinθ
= অতিভুজ/বিপরীত বাহু
= √(x² + y²)/x 

∴ cosecθ = √(x² + y²)/x

প্রশ্ন: যদি A + B = 90° এবং tan A = √3 হয়, তবে B এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
A + B = 90°
⇒ B = 90° - A ..........(1)
এবং 
tan A = √3
⇒ tan A = tan 60°
∴ A = 60°

(1) নং এ A এর মান বসিয়ে পাই, 
⇒ B = 90° - A
⇒ = 90° - 60°
∴ B = 30°

প্রশ্ন: যদি 2 sin²θ + 5 cos²θ = 3 হয়, তাহলে tan²θ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2 sin²θ + 5 cos²θ = 3
⇒ 2 sin²θ + 5 (1 - sin²θ) = 3
⇒ 2 sin²θ + 5 - 5 sin²θ = 3
⇒ - 3 sin²θ + 5 = 3
⇒ - 3 sin²θ = 3 - 5
⇒ - 3 sin²θ = - 2
∴ sin²θ = 2/3

এবং 
cos²θ = 1 - sin²θ = 1 - (2/3)
∴ cos²θ = 1/3

আমরা জানি, 
tan²θ = sin²θ/cos²θ
 = (2/3)/(1/3)
= (2/3) × (3/1)
∴ tan²θ = 2

প্রশ্ন: যদি 1 + tan²θ = 4 এবং θ < 90° হয়, তবে θ = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
1 + tan²θ = 4
⇒ sec²θ = 4 ; [sec²θ = 1 + tan²θ]
⇒ (secθ)² = (2)²
⇒ secθ = 2
⇒ secθ = sec60°
∴ θ = 60°

প্রশ্ন: যদি, sec⁴θ - tan⁴θ = 7/3 হয়, তবে, sec²θ + tan²θ =?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sec⁴θ - tan⁴θ = 7/3
⇒ (sec²θ - tan²θ) (sec²θ + tan²θ) = 7/3
⇒ 1 × (sec²θ + tan²θ) = 7/3  ; [sec²θ - tan²θ = 1]
∴ sec²θ + tan²θ = 7/3

প্রশ্ন: যদি tan θ = 1 হয়, তাহলে sin θ + cos(- θ) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
tan θ = 1
⇒ tan θ = tan45°
∴ θ = 45°

প্রদত্ত রাশি, 
 sinθ + cos(- θ)
= sinθ + cosθ  ; [cos(- θ) = cosθ] 
= sin45° + cos45°
= (1/√2) + (1/√2)
= (1 + 1)/√2
= 2/√2
= √2

∴ sinθ + cos(- θ) = √2

প্রশ্ন: sin1260° = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= sin1260°
= sin(14 × 90° + 0°)
= - sin0°
= 0

প্রশ্ন: sinθ = cosθ হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinθ = cosθ
⇒ sinθ/cosθ = 1
⇒ tanθ = 1
⇒ tanθ = tan45°
∴ θ = 45°

প্রশ্ন: sin60° cos30° + sin30° cos60° = ?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
sin 60° = √3/2, sin 30° = 1/2,
cos 60° = 1/2 and cos 30° = √3/2

এখন,
sin60° cos30° + sin30° cos60°
(√3/2) × (√3/2) + (1/2) × (1/2)
= (3/4) + (1/4)
= 4/4
= 1