Bank Math Master

Question: A man aged 40 has three sons whose current ages are 6, 3, and 1 years respectively. In how many years will the total of their ages equal four-fifths of their father's age?

Solution:
দেওয়া আছে,
পিতার বর্তমান বয়স = ৪০ বছর 
তিন পুত্রের বয়স যথাক্রমে ৬ বছর, ৩ বছর ও ১ বছর।

ধরি,
ক বছর পর তিন পুত্রের বয়সের সমষ্টি পিতার বয়সের 4/5 অংশ হবে।

প্রশ্নমতে,
(40 + ক) × (4/5) = (6 + ক) + (3 + ক) + (1 + ক)
⇒ (40 + ক) × (4/5) = 10 + 3ক
⇒ 4(40 + ক) = 5(10 + 3ক)
⇒ 160 + 4ক = 50 + 15ক
⇒ 15ক - 4ক = 160 - 50
⇒ 11ক = 110
⇒ ক = 110/11
⇒ ক = 10

অর্থাৎ 10 বছর পর তিন পুত্রের বয়সের সমষ্টি পিতার বয়সের 4/5 অংশ হবে।

Question: The monthly sales of a grocer for five months are Tk. 6435, Tk. 6927, Tk. 6855, Tk. 7230 and Tk. 6562. How much must he sell in the sixth month to ensure his average over six months is exactly Tk. 6500?

Solution:
ধরি,
6-তম মাসে বিক্রির পরিমাণ = ক টাকা 

প্রথম ৫ মাসে মোট বিক্রি = (6435 + 6927 + 6855 + 7230 + 6562) টাকা = 34009 টাকা 

প্রশ্নমতে,
(34009 + ক)/6 = 6500
⇒ 34009 + ক = 6500 × 6
⇒ 34009 + ক = 39000
⇒ ক = 39000 - 34009
⇒ ক = 4991

∴ 6-তম মাসে বিক্রির পরিমাণ হতে হবে = 4991 টাকা

Question: If  then find the value of x.

Solution:

Question: What is the sum of first five prime numbers?

Solution:
First five prime numbers are 2, 3, 5, 7, 11

sum of first five prime numbers = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28

Question: (256)^0.16 × (256)^0.09 = ?

Solution:
(256)^0.16 × (256)^0.09
= 256^{(0.16 + 0.09)}
= 256^0.25
= 256^(25/100)
= 256^1/4
= (4⁴)^1/4
= (4)^4/4
= 4¹
= 4

Question: The sum of ages of 5 children born at the intervals of 4 years each is 60 years. What is the age of the third oldest among them?

Solution:
ধরি,
ছোট সন্তানের বয়স = ক বছর

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + 4) + (ক + 8) + (ক + 12) + (ক + 16) = 60
⇒ 5ক + 40 = 60
⇒ 5ক = 60 - 40
⇒ 5ক = 20
⇒ ক = 20/5
⇒ ক = 4

অর্থাৎ ছোট সন্তানের বয়স = 4 বছর 
∴ তৃতীয় সন্তানের বয়স = (4 + 8) বছর = 12 বছর

Question: A group of 8 people has their average weight increased by 2.5 kg after replacing a 65 kg person with someone new. What is the possible weight of the replacement?

Solution:
ধরি,
 8 জন ব্যাক্তির গড় ওজন = x কেজি
তাহলে, মোট ওজন = 8x
65 কেজি ওজনের ব্যক্তি চলে যাওয়ার পর মোট ওজন= (8x - 65) কেজি

আবার,
মনে করি, নতুন ব্যাক্তির ওজন= y kg

তাহলে নতুন ব্যক্তি প্রবেশ করার পর নতুন মোট ওজন হবে = (8x - 65 + y) কেজি
এবং নতুন গড় = x + 2.5

প্রশ্নমতে,
(8x - 65 + y)/8 = x + 2.5
⇒ 8x - 65 + y = 8x + 20
⇒ 8x + y - 8x = 20 + 65
⇒ y = 85

সুতরাং, নতুন ব্যাক্তির ওজন =  85 কেজি।

Question: If the sum of five consecutive odd integers is 165, what is the middle number?

Solution:
ধরি, 
মাঝের সংখ্যাটি = x
সুতরাং, ৫ টি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা হবে যথাক্রমে- 
x - 4, x - 2, x, x + 2 এবং x + 4 [যেখানে মাঝের সংখ্যা x]

প্রশ্নমতে,
(x - 4) + (x - 2) + x + (x + 2) + (x + 4) = 165
⇒ 5x = 165 
⇒ x = 165/5
⇒ x = 33

অর্থাৎ 5 টি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার মধ্যে মাঝের সংখ্যাটি = 33

Question: If x =y^a, y = z^b and z = x^c then what is the value of abc?

Solution:
Given,
x =y^a, y = z^b and z = x^c

Now,
x^c = z
⇒ (y^a)^c = z
⇒ y^ac = z [ (a^m)ⁿ = a^{m × n}]
⇒ (z^b)^ac = z
⇒ z^abc = z¹
⇒ abc = 1

Question: The average age of husband, wife and their child 3 years ago was 27 years and that of wife and the child 5 years ago was 20 years. What is the present age of the husband?

Solution:
ধরি,
স্বামীর বয়স = ক বছর
স্ত্রীর বয়স = খ বছর 
সন্তানের বয়স = গ বছর 

5 বছর পূর্বে ,
স্ত্রীর বয়স = (খ - 5) বছর এবং সন্তানের বয়স = (গ - 5) বছর 

প্রশ্নমতে,
(খ - 5) + (গ - 5)/2 = 20
⇒ খ + গ - 10 = 40
⇒ খ + গ = 40 + 10
⇒ খ + গ = 50

আবার , 3 বছর পূর্বে তাদের 3 জনের বয়স ছিলো যথাক্রমে (ক - 3) বছর, (খ - 3) বছর এবং (গ - 3) বছর

প্রশ্নমতে,
{(ক - 3) + (খ - 3) + (গ - 3)}/3 = 27
⇒ ক + খ + গ - 9 = 27 × 3
⇒ ক + 50 - 9 = 81
⇒ ক + 41 = 81 
⇒ ক = 81 - 41
⇒ ক = 40

∴ স্বামীর বয়স = 40 বছর।

Question: Out of three numbers, the second one is twice the first and also thrice the third. If the average of three numbers is 44, what is the value of the third number?

Solution:
ধরি,
দ্বিতীয় সংখ্যাটি = x
তাহলে, প্রথম সংখ্যাটি = x/2
এবং
তৃতীয় সংখ্যাটি = x/3

দেওয়া আছে,
তিনটি সংখ্যার গড় = 44
∴ তিনটি সংখ্যার যোগফল = 44 × 3 = 132

প্রশ্নমতে,
x + (x/2) + (x/3) = 132
⇒ (6x + 3x + 2x)/6 = 132
⇒ 11x = 132 × 6
⇒ x = (132 × 6)/11
⇒ x = 12 × 6
⇒ x = 72

∴ তৃতীয় সংখ্যাটি = 72/3 = 24

Question: [1/{1 + a^{(n - m)}}] + [1/{1 + a^{(m - n)}}] = ?

Solution:
Given,
[1/{1 + a^{(n - m)}}] + [1/{1 + a^{(m - n)}}]
= [1/{1 + (aⁿ/a^m)}] + [1/{1 + (a^m/aⁿ)}]
= [1/{(a^m + aⁿ)/a^m}] + [1/{(aⁿ + a^m)/aⁿ}]
= {a^m/(a^m + aⁿ)} + {aⁿ/(aⁿ  +a^m)}
= (a^m + aⁿ)/(a^m + aⁿ)
= 1

Question: A father said to his son, “At the time of your birth, I was exactly as old as you are now". If the father's current age is 42 years, what is the son’s age 5 years back?

Solution:
Let the son's present age be = x years.

According to the question,
(42 - x) = x
⇒ x + x = 42
⇒ 2x = 42
⇒ x = 42/2
⇒ x = 21 

 Son's age 5 years ago = (21 - 5) years = 16 years

Question: Among 100 students, the average marks in mathematics is 70. If the 60 girls scored an average of 72, determine the average score of the remaining boys.

Solution:
ধরি,
ছাত্রদের গড় নম্বর = ক 

100 জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = 100 × 70 = 7000 
এবং 60 জন ছাত্রীর মোট নম্বর = 60 × 72 = 4320

প্রশ্নমতে,
4320 + (100 - 60) × ক = 7000
⇒ 4320 + 40ক = 7000
⇒ 40ক = 7000 - 4320
⇒ 40ক = 2680
⇒ ক = 2680/40 
⇒ ক = 67

∴ 40 জন ছাত্রের গড় নম্বর = 67

Question: What is the value of 7 log₁₀ (10/9) - 2 log₁₀ (25/24) + 3 log₁₀ (81/80) ?

Solution:
7 log₁₀ (10/9) - 2 log₁₀ (25/24) + 3 log₁₀ (81/80)
= log₁₀ (10/9)⁷ - log₁₀ (25/24)² + log₁₀ (81/80)³
= log₁₀ {(10/9)⁷/(25/24)²} + log₁₀ (81/80)³
= log₁₀ {(10/9)⁷ × (24/25)² × (81/80)³}
= log₁₀ {10⁷ × (2 × 2 × 2 × 3)² × (9²)³}/{(9⁷ × (5²)² × (10 × 8)³}
= log₁₀ {10⁷ × 2⁶ × 3² × 9⁶}/{9⁷ × 5⁴ × 10³ × (2³)³}
= log₁₀ {(10⁷ × 2⁶ × 9 × 9⁶)/(9⁷ × 5⁴ × 10³ × 2⁹)}
= log₁₀ {(10⁷ × 2⁶ × 9⁷)/(9⁷ × 5⁴ × 10³ × 2⁹)}
= log₁₀ {10⁴ /(5⁴ × 2³⁾}
= log₁₀ {(2 × 5)⁴/(5⁴ × 2³)}
= log₁₀ (2⁴ × 5⁴)/(5⁴ × 2³)}
= log₁₀ 2

Question: If x² is an odd number, determine the nature of x² - x.

Solution:
যেহেতু x² বিজোড় তাই x ও বিজোড় হবে। 

এখন,
x² - x
= x(x - 1)
= (x - 1)x
∴ (x - 1) এবং x দুইটি ক্রমিক সংখ্যা।

x বিজোড় সংখ্যা হলে (x - 1) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে।
কারণ দুইটি ক্রমিক সংখ্যার মধ্যে একটি বিজোড় হলে অন্যটি জোড় হবে।

সুতরাং, x ও (x - 1) এর গুনফল = x(x - 1) = x² - x একটি জোড় সংখ্যা। [জোড় × বিজোড় = জোড়]