প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ - ২০২৫

প্রশ্ন: দুটি রাশির বর্গের অন্তরফল কোনটি?

সমাধান:
দুটি রাশির বর্গের অন্তরফল হবে:
a² - b² = (a + b)(a - b)

কিছু গুরুত্বপূর্ণ বীজগাণিতিক সূত্র:
1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

প্রশ্ন: 5(3x - 2) = 5(x + 4) হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
5(3x - 2) = 5(x + 4)
বা, 15x - 10 = 5x + 20
বা, 15x - 5x = 20 + 10
বা, 10x = 30
বা, x = 30/10
∴ x = 3

প্রশ্ন: 9a² - (2a - 3b)² = কত?

সমাধান:
9a² - (2a - 3b)²
= (3a)² - (2a - 3b)²
= {3a + (2a - 3b)} {3a - (2a - 3b)}
= (3a + 2a - 3b)(3a - 2a + 3b)
= (5a - 3b)(a + 3b)

প্রশ্ন: যদি a³ + b³ = 341 এবং a + b = 11 হয় তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a³ + b³ = 341 এবং a + b = 11

আমরা জানি,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
⇒ 341 = 11³ - 3ab × 11
⇒ 341 = 1331 - 33ab
⇒ 33ab = 1331 - 341
⇒ 33ab = 990
⇒ ab = 990/33
∴ ab = 30

প্রশ্ন: (x + 5)(x - 5) কে x² - 20 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
(x + 5)(x - 5)
= x² - 5²
= x² - 25

এখন,
 x² - 20)  x² - 25  ( 1
               x² - 20   
—————————
                     - 5

∴ নির্ণেয় ভাগশেষ = - 5

প্রশ্ন: x = 8 এবং y = 3 হলে 4x² - 36xy + 81y²-এর মান কত?

সমাধান:
4x² - 36xy + 81y²
= (2x)² - 2.(2x).(9y) + (9y)²
= (2x - 9y)²
= {2(8) - 9(3)}²
= (16 - 27)²
= (- 11)²
= 121

প্রশ্ন: a = 3, b = 2, c = 4 এবং d = 1 হলে, a - (- b) + (- c) - (- d) = কত?

সমাধান:
a - (- b) + (- c) - (- d)
= a + b - c + d
= 3 + 2 - 4 + 1
= 2

প্রশ্ন: 25a² + 36b² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 25a² + 36b²
= (5a)² + (6b)²

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + 2xy + y²
∴ (5a)² + 2.(5a).(6b) + (6b)²
= (5a + 6b)²

অর্থাৎ (5a)² + (6b)² এর সাথে যদি 2.5a.6b = 60ab যোগ করি তাহলে পূর্ণবর্গ হবে।

∴ 25a² + 36b² এর সাথে 60ab যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

প্রশ্ন: x + (1/x) = √7 হলে, x³ + (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
এখানে, x + (1/x) = √7

আমরা জানি,
x³ + (1/x³) = (x + 1/x)³ - 3 . x . (1/x)(x + 1/x)
= (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x)
= (√7)³ - 3 × √7
= 7√7 - 3√7
= 4√7

প্রশ্ন: 4x⁴ + 1 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে কোনটি পাওয়া যায়?

সমাধান:
4x⁴ + 1
= (2x²)² + 1² 
= (2x²)² + 2.(2x²).1 +(1)² - 4x²
= (2x² + 1)² - (2x)²
= (2x² + 2x + 1)(2x² - 2x + 1)

প্রশ্ন: যদি x + y = 12 এবং xy = 20 হয়, তবে x - y এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, x + y = 12 এবং xy = 20।
আমরা জানি, (x - y)² = (x + y)² - 4xy
= (12)² - 4 × 20
= 144 - 80
= 64
⇒ x - y = √64
∴ x - y = ± 8

প্রশ্ন: 4x + y = 18 এবং 2x - y = 6 হলে x ও y এর মান কত?

 সমাধান:
4x + y = 18 ............ (1)
2x - y = 6 ............ (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণকে যোগ করে পাই,
4x + y + 2x - y = 18 + 6
⇒ 6x = 24
⇒ x = 24/6
⇒ x = 4

x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2(4) - y = 6
⇒ 8 - y = 6
⇒ y = 8 - 6
⇒ y = 2

∴ x = 4 এবং y = 2

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার পাঁচগুণ থেকে ১৫ বিয়োগ করলে বিয়োগফল সংখ্যাটির দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ বেশি হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
৫ক - ১৫ = ২ক + ৬
বা, ৫ক - ২ক = ৬ + ১৫
বা, ৩ক = ২১
বা, ক = ২১/৩
∴ ক = ৭

∴ সংখ্যাটি = ৭

প্রশ্ন: a³ - 7a - 6 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a³ - 7a - 6
= a³ + a² - a² - a - 6a - 6
= a²(a + 1) - a(a + 1) - 6(a + 1)
= (a + 1)(a² - a - 6)
= (a + 1)(a² - 3a + 2a - 6)
= (a + 1){a(a - 3) + 2(a - 3)}
= (a + 1)(a - 3)(a + 2)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (a + 1)(a + 2)(a - 3)

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি a - b = 5 হয়, তবে a³ - b³ - 15ab এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, a - b = 5
প্রদত্ত রাশি = a³ - b³ - 15ab
= (a - b)³ + 3ab(a - b) - 15ab
= 5³ + 3ab × 5 - 15ab
= 125 + 15ab - 15ab
= 125

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার পার্থক্য ১৪ এবং তাদের যোগফল পার্থক্যের ৫ গুণ। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যাটি x এবং ছোট সংখ্যাটি y
প্রশ্নমতে,
x − y = ১৪ ……………(1)
এবং
x + y = ৫(x − y)
⇒ x + y = ৫×১৪ [সমীকরণ (1) থেকে মান বসিয়ে]
⇒ x + y = ৭০ ……………(2)

এখন (1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করলে পাই,
(x − y) + (x + y) = ১৪ + ৭০
⇒ ২x = ৮৪
⇒ x = ৮৪/২
⇒ x = ৪২

এবার x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
৪২ + y = ৭০
⇒ y = ৭০ − ৪২
⇒ y = ২৮

অতএব, সংখ্যা দুইটি হলো ৪২ এবং ২৮

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট যাত্রী ৮০ জন। কেবিনের মাথাপিছু ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণেরও ১৫ টাকা বেশি। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি ৩১২০ টাকা হলে কেবিনে কতজন যাত্রী আছে?

সমাধান:
ধরি, ডেকের যাত্রী ক জন।
∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = (৮০ - ক) জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা।
∴ কেবিনের ভাড়া = (৩০ × ২ + ১৫) টাকা 
= ৬০ + ১৫ = ৭৫ টাকা

প্রশ্নমতে,
৩০ক + ৭৫(৮০ - ক) = ৩১২০
⇒ ৩০ক + ৬০০০ - ৭৫ক = ৩১২০
⇒ ৬০০০ - ৪৫ক = ৩১২০
⇒ ৪৫ক = ৬০০০ - ৩১২০
⇒ ৪৫ক = ২৮৮০
⇒ ক = ২৮৮০/৪৫
∴ ক = ৬৪

∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৮০ - ৬৪ = ১৬ জন।

প্রশ্ন: x² - y² + 4y - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - y² + 4y - 4
= x² - (y² - 4y + 4)
= x² - {(y)² - 2 . y . 2 + (2)²}
= x² - (y - 2)²
= {x + (y - 2)}{x - (y - 2)}
= (x + y - 2)(x - y + 2)

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি a⁴ - 6a² + 1 = 0 হয়, তবে a - (1/a) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, a⁴ - 6a² + 1 = 0
⇒ a⁴ + 1 = 6a²
⇒ (a⁴ + 1)/a² = 6
⇒ a² + (1/a²) = 6
⇒ {a - (1/a)}² + 2.a.(1/a) = 6
⇒ {a - (1/a)}² = 6 - 2 
⇒ a - (1/a) = √4
∴ a - (1/a) = ± 2

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: (4x + y, - 1) = (33, 2x - 3y) হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
ক্রমজোড়ের শর্তানুসারে পাই,
4x + y = 33 ……………(1)
2x - 3y = - 1 ……………(2)

(1) নং সমীকরণকে ৩ দিয়ে গুণ করি:
12x + 3y = 99 ……………(3)

এখন (3) + (2) করলে পাই,
12x + 3y + 2x − 3y = 99 - 1
⇒ 14x = 98
⇒ x = 98/14
⇒ x = 7

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
4(7) + y = 33
⇒ 28 + y = 33
⇒ y = 33 − 28
⇒ y = 5

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (7, 5)

প্রশ্ন: 2x³ + 3x² - 11x - 6 রাশিটির উৎপাদক বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি, f(x) = 2x³ + 3x² - 11x - 6
f(2) নির্ণয় করি,
f(2) = 2(2)³ + 3(2)² - 11(2) - 6
= 16 + 12 - 22 - 6
= 0
∴ (x - 2) হলো f(x) এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষের প্রতি বেঞ্চে ৬ জন করে শিক্ষার্থী বসলে ২টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে বসলে ৪ জন শিক্ষার্থীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণিতে বেঞ্চের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চের সংখ্যা = ক টি

প্রথম শর্তমতে,
শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৬(ক - ২)
দ্বিতীয় শর্তমতে, শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৫ক + ৪

প্রশ্নমতে,
৬(ক - ২) = ৫ক + ৪
⇒ ৬ক - ১২ = ৫ক + ৪
⇒ ৬ক - ৫ক = ৪ + ১২
⇒ ক = ১৬

∴ বেঞ্চের সংখ্যা ১৬ টি।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: x³ + 2x² + ax - 12 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ + 2x² + ax - 12
যেহেতু (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 2 হলে f(x) = 0 হবে।

এখন, f(2) নির্ণয় করি,
f(2) = (2)³ + 2(2)² + a(2) - 12
⇒ f(2) = 8 + 8 + 2a - 12
⇒ f(2) = 2a + 4

শর্তমতে, f(2) = 0
⇒ 2a + 4 = 0
⇒ 2a = - 4
∴ a = - 2

প্রশ্ন: যদি x + y = √11 এবং x - y = √3 হয়, তবে 8xy(x² + y²) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, x + y = √11 এবং x - y = √3
প্রদত্ত রাশি = 8xy(x² + y²)
= 4xy × 2(x² + y²)
= {(x + y)² - (x - y)²} × {(x + y)² + (x - y)²}
= {(√11)² - (√3)²} × {(√11)² + (√3)²}
= (11 - 3)(11 + 3)
= 8 × 14
= 112

প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 5/7 হয় এবং হর থেকে 1 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটির মান 1/2 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরা যাক, ভগ্নাংশের লব = x
এবং হর = y
∴ ভগ্নাংশ = x/y

১ম শর্তমতে,
(x + 2)/y = 5/7
⇒ 7(x + 2) = 5y
⇒ 7x + 14 = 5y
⇒ 7x - 5y = - 14 ............(1)

২য় শর্তমতে,
x/(y - 1) = 1/2
⇒ 2x = y - 1
⇒ y = 2x + 1 ............(2)

y এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
7x - 5(2x + 1) = - 14
⇒ 7x - 10x - 5 = - 14
⇒ - 3x = - 14 + 5
⇒ - 3x = - 9
⇒ x = 3

x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
y = 2(3) + 1
⇒ y = 6 + 1
⇒ y = 7

∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ = 3/7

প্রশ্ন: 16x⁴ + 36x² + 81 কে 4x² - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি p + q = √13 এবং p - q = √5 হয়, তবে pq এর মান কত?

সমাধান:
p + q = √13
p - q = √5

আমরা জানি,
pq = {(p + q)/2}² - {(p - q)/2}²
= (√13/2)² - (√5/2)²
= (13/4) - (5/4)
= (13 - 5)/4
= 8/4
= 2

প্রশ্ন: x³ - 2x² কে x - 3 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকবে?

সমাধান:
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, কোনো বহুপদী রাশি f(x) কে (x - a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় f(a)।
এখানে, ভাজ্য: f(x) = x³ - 2x²
ভাজক: g(x) = x - 3

এখন, x = 3 মানটি f(x)-এ বসিয়ে ভাগশেষ নির্ণয় করি,
f(3) = (3)³ - 2(3)²
= 27 - 18
= 9

∴ নির্ণেয় ভাগশেষ হলো 9

প্রশ্ন: যদি x + y = 5 এবং x² + y² = 13 হয়, তবে x³ + y³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 5
⇒ (x + y)² = 5²
⇒ x² + 2xy + y² = 25 [যেহেতু x² + y² = 13]
⇒ 13 + 2xy = 25
⇒ 2xy = 12
∴ xy = 6

এখন,
x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
= (5)³ - 3 × 6 × 5
= 125 - 90
= 35