Math Master

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ৪২ মিটার হয়, তবে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার    ; (দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ)

আমরা জানি, 
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) 
∴ ২(২ক + ক) = ৪২
⇒ ২(৩ক) = ৪২
⇒ ৬ক = ৪২
⇒ ক = ৪২ ÷ ৬
∴ ক = ৭ মিটার

সুতরাং, প্রস্থ = ৭ মিটার
দৈর্ঘ্য = ২ × ৭ = ১৪ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ১৪ × ৭ = ৯৮ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ২৫০° কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
- তাই ২৫০° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 

অন্য অপশন গুলো -
সূক্ষ্মকোণ: যে কোণের মান ০° থেকে ৯০° এর মধ্যে।
স্থূলকোণ: যে কোণের মান ৯০° থেকে ১৮০° এর মধ্যে।
পূরক কোণ: দুটি কোণের সমষ্টি যখন ৯০° হয় তখন একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলা হয়।

প্রশ্ন: দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে কী উৎপন্ন হয়? 

সমাধান: 
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে একটি রেখা উৎপন্ন হয়।

রেখার কিছু সাধারণ বৈশিষ্ট্য: 
• রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও বেধ নাই।
• দুই দিকেই অসীম প্রসারিত করা যায়।
• রেখার নির্দিষ্ট কোনো দিক নেই। 
• রেখা প্রধানত দুই প্রকার। যথা- ক) সরলরেখা এবং খ) বক্ররেখা।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৫৫ বর্গ মিটার। এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে একটির দৈর্ঘ্য ১০ মিটার এবং তাদের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব বা উচ্চতা ৫ মিটার। অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = ৫৫ বর্গ মিটার
একটি সমান্তরাল বাহু = ১০ মিটার
এবং উচ্চতা = ৫ মিটার

ধরি, 
অপর সমান্তরাল বাহুটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = {(সমান্তরাল বাহু দুটির যোগফল) × উচ্চতা}/২
৫৫ = {(১০ + ক) × ৫}/২
⇒ ৫৫ × ২ = (১০ + ক) × ৫ 
⇒ ১০ + ক = ২২ 
⇒ ক = ২২ - ১০ 
∴ ক = ১২ 

সুতরাং, অপর সমান্তরাল বাহুটির দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার। 

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ০.১৬ মি  ও ১০ সে. মি। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের একটি কর্ণ  = ০.১৬ মি  = ০.১৬ × ১০০= ১৬ সে. মি
রম্বসের অপর কর্ণ = ১০ সে. মি

আমরা জানি
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২)(দুই কর্ণের গুনফল)
= (১/২)(১৬ × ১০)
= ৮০ বর্গ সে. মি

প্রশ্ন: দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৩.৫ মিটার দূরত্বে থেকে সমান্তরালভাবে চলছে। তারা একে অন্যের সাথে কত মিটার দূরত্বে গিয়ে মিলিত হবে? 

সমাধান: 
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না।

সমান্তরাল রেখা (Parallel Line): 
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে। 
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত: 
১। সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে। 
২। এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না। 
৩। দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে। 

- দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল। 
- একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়।

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার পার্কের পরিসীমা এক কিলোমিটার। পার্কটির ক্ষেত্রফল কত হেক্টর? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পরিসীমা = ১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার

আমরা জানি,
পরিসীমা = ৪ × বাহু
একটি বাহু = ১০০০ ÷ ৪ = ২৫০ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = বাহু × বাহু = ২৫০ × ২৫০ 
= ৬২৫০০ বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফল = ৬২৫০০ ÷ ১০০০০ হেক্টর
= ৬.২৫ হেক্টর    ; [১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার]

∴ পার্কটির ক্ষেত্রফল ৬.২৫ হেক্টর।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১৭ সে.মি, ১টি কর্ণের দৈর্ঘ্য ৩০ সে.মি. হলে রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
রম্বসের প্রতিটি বাহু = ১৭ সে.মি.
একটি কর্ণ = ৩০ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের দুটি কর্ণ একে অপরকে সমকোণে দ্বিখণ্ডিত করে এবং প্রতিটি বাহু হলো ত্রিভুজের অতিভুজ।
∴ একটি কর্ণকে দ্বিখণ্ডিত করে দুটি অংশ = ৩০/২ = ১৫ সে.মি.

ধরি, অপর কর্ণের দ্বিখণ্ডিত অংশ = ক সে.মি.
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
বাহু^২ = (কর্ণের অর্ধেক)^২ + (অপর কর্ণের অর্ধেক)^২ 
⇒ ১৭^২ = ১৫^২ + ক^২ 
⇒ ২৮৯ = ২২৫ + ক^২ 
⇒ ক^২ = ২৮৯ - ২২৫
⇒ ক^২ = ৬৪ = ৮^২ 
∴ ক = ৮ সে.মি.

∴ অপর কর্ণের পূর্ণ দৈর্ঘ্য = ২ × ক = ২ × ৮ = ১৬ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বিন্দু থেকে কতগুলি সরলরেখা আঁকা যায়?

সমাধান: 
বিন্দু (Point): 
- বিন্দুর কেবল অবস্থান আছে, কিন্তু দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও বেদ নাই। 
- বিন্দুর শুধু অবস্থান আছে কিন্তু কোন মাত্রা নেই এবং বিন্দু মাত্রাহীন। 
- পেনসিলের সরু মাথা দিয়ে কাগজে ফোঁটা দিলে একে বিন্দুর প্রতিকৃতি বলে ধরা হয়। 

বিন্দুর শ্রেণিবিভাগ: 
- বিন্দুকে সাধারণত ৩ শ্রেণিতে ভাগ করা হয়েছে। 
যথা- ১। সমরেখ বিন্দু, ২।  অসমরেখ বিন্দু এবং ৩।  সমবিন্দু। 

সাধারণ বিন্দু: 
- একটি সমতলে দুটি সরলরেখা যে নির্দিষ্ট বিন্দুটিতে ছেদ করে সেই বিন্দুটিকেই সাধারণ বিন্দু বলে। 
- দুটি বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা টানা যায়, কিন্ত একাধিক বক্ররেখা টানা যায় না। 
- একটি বিন্দু দিয়ে একাধিক বা অসংখ্য বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়। 
- সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করতে পারে।

সঠিক উত্তর ঘ) অসংখ্য বা অসীম সংখ্যক

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩০ মিটার এবং প্রস্থ ২০ মিটার। বাগানটির ভেতরের চারদিকে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বাগানের দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার
বাগানের প্রস্থ = ২০ মিটার

∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = ৩০ × ২০ = ৬০০ বর্গমিটার

আবার, 
বাগানের ভেতরের চারদিকে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। 
রাস্তা ছাড়া ভেতরের দৈর্ঘ্য = ৩০ - (২ × ২) = ৩০ - ৪ = ২৬ মিটার
রাস্তা ছাড়া ভেতরের প্রস্থ = ২০ - (২ × ২) = ২০ - ৪ = ১৬ মিটার

∴ ভেতরের অংশের ক্ষেত্রফল = ২৬ × ১৬ = ৪১৬ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = মোট ক্ষেত্রফল - ভেতরের ক্ষেত্রফল = ৬০০ - ৪১৬ = ১৮৪ বর্গমিটার

অতএব, রাস্তার ক্ষেত্রফল ১৮৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ 75° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = 180° 
একটি কোণ 75° হলে, 
∴ অপর কোণটি হবে = (180 - 75)°
= 105°

প্রশ্ন: (3, 4) এবং  (5,8) বিন্দু দুটি দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
 (x₁, y₁) = (3, 4)
এবং (x₂, y₂) = (5, 8)

আমরা জানি, 
(x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) বিন্দুগামী সরল রেখার ঢাল,
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (8 - 4)/(5 - 3)
= 4/2
= 2

সুতরাং,  সরলরেখাটির ঢাল 2। 

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি হবে-

সমাধান:
 
AB সরলরেখার সাথে OC রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়ে ∠AOC ও ∠BOC দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়। 
∠AOC + ∠BOC = 180°

প্রশ্ন: ইউক্লিড প্রদত্ত স্বীকার্য নয় কোনটি?

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো:
স্বীকার্য-১: দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
স্বীকার্য-২: যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
স্বীকার্য-৩: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
স্বীকার্য-৪: সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
স্বীকার্য-৫: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম, সেদিকে মিলিত হয়।

সুতরাং, ইউক্লিড প্রদত্ত স্বীকার্য নয় - গ)  দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র দুইটি সরলরেখা আঁকা যায়।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 14 হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × বাহু

প্রশ্নমতে,
√2 × বাহু = 14
⇒ বাহু = 7 × (√2 × √2)/√2 = 7√2

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (7√2)² = 98 বর্গ একক

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭৮ বর্গমিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৬ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৭৮ বর্গমিটার
সামান্তরিকের উচ্চতা = ৬ মিটার 
সামান্তরিকের ভূমি =? 

আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক 
⇒ ৭৮ = ভূমি × ৬  
⇒  ভূমি = ৭৮/৬ 
∴ ভূমি = ১৩ মিটার 

∴ সামান্তরিকের ভূমি = ১৩ মিটার। 

প্রশ্ন: PQRS চতুর্ভুজে PQ ∥ RS, PR = QS এবং ∠P = 90° হলে সঠিক চতুর্ভুজ কোনটি?

সমাধান: 
আমরা জানি,
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় সমান ও একটি কোণ সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
সুতরাং,  PQRS চতুর্ভুজে PQ ∥ RS, PR = QS এবং ∠P = 90° হলে চতুর্ভুজ একটি আয়তক্ষেত্র হবে।

প্রশ্ন: AB ও CD সমান্তরাল এবং PQ এদের ছেদক হলে, ∠AOE = কত ডিগ্রি?


সমাধান:
এখানে, ∠AOP এবং ∠AOE পরস্পর সরলরৈখিক যুগল কোণ তৈরি করে।
সুতরাং, এদের সমষ্টি ১ সরল কোণ হবে।

আমরা জানি,
১ সরল কোণ = 180°
⇒ ∠AOP + ∠AOE = 180°
⇒ ∠AOE = 180° - ∠AOP
= 180° - 127°
= 53°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের তিনগুণ এবং তৃতীয় কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের চেয়ে ৪০ ডিগ্রি বড় হয় তবে তৃতীয় কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
২য় কোণ = ক
একটি কোণ = ৩ক
৩য় কোণ = ক + ৪০°

শর্তমতে,
ক + ৩ক + ক + ৪০° = ১৮০°
⇒ ৫ক = ১৮০° - ৪০°
⇒ ক = ১৪০°/৫
∴ ক = ২৮°

∴ তৃতীয় কোণ = ২৮° + ৪০° = ৬৮°