Math Master

দেয়া আছে, 
x + y = 4
x² + y² = 8

এখন 
(x + y)² = x² + y² + 2xy 
4² = 8 + 2xy 
16 - 8 = 2xy 
8 = 2xy
xy = 4

x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
            = 4³ - 3 × 4 × 4
            = 64 - 48
            = 16

{a/(x - 3)} - {ax/(x² - 9)}
{a/(x - 3)} - {ax/(x² - 3²)}
{a/(x - 3)} - {ax/(x + 3)(x - 3)}
{a(x + 3) - ax}/(x + 3)(x - 3)}
(ax + 3a - ax)/(x² - 3²)
3a/(x² - 9)

- a + [ - 5b - { - 9c + ( - 3a - 7b + 11c)}]
= - a + [ - 5b - { - 9c  - 3a - 7b + 11c}]
= - a + [ - 5b + 9c  + 3a + 7b - 11c}]
= - a - 5b + 9c  + 3a + 7b - 11c
= 2a + 2b - 2c
= 2(a + b - c)

দেওয়া আছে 
 a + 1/a = 2

এখন
∴ a⁴ + (1/a⁴) = (a²)² + (1/a²)²
                      = {a² + (1/a²)}² - 2.a².(1/a²)
                      = {a² + (1/a²)}² - 2
                       = {(a + 1/a)² - 2.a.(1/a)}² - 2
                       = {(2)² - 2}² - 2
                       = (4 - 2)² - 2
                       = 4 - 2
                       = 2

দেয়া আছে,
X = a² - ab + b² 
Y = a² + ab + b²
 XY = (a² - ab + b²)(a² + ab + b²)
      = a²(a² + ab + b²) - ab(a² + ab + b²) + b²(a² + ab + b²)
      = a⁴ + a³b + a²b² - a³b - a²b² - ab³ + a²b² + ab³ + b⁴
       = a⁴ + a²b² + b⁴ 

দেয়া আছে,
x² - √3x + 1 = 0
x² + 1 = √3x
x²/x + 1/x = √3x/x
x + 1/x = √3

x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2x(1/x)
               =(√3)² - 2
               = 3 - 2
               = 1

(x¹² + 1)/x⁶ = x¹²/x⁶ + 1/x⁶ 
                    = x⁶ + 1/x⁶
                    = (x²)³ + (1/x²)³
                    = (x² + 1/x²)³ - 3x².1/x²(x² + 1/x²)
                    = 1³ -  3× 1
                    = 1 - 3 
                    = - 2

[{2a + b - 1(a + b)}/(a + b)]/[(a + b - b)/(a + b)]
[(2a + b - a - b)/(a + b)]/[a/(a + b)]
[a/(a + b)]/[a/(a + b)]
[a/(a + b)] ×[(a + b)/a]
= 1

দেয়া আছে, 
x² - √5x + 1 = 0
x² + 1 = √5x
x²/x + 1/x = √5x/x
x + 1/x = √5

আবার 
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4x.1/x
(x - 1/x)² =(√5)² - 4
(x - 1/x)²  = 5 - 4
(x - 1/x)² = 1
x - 1/x = 1


(x⁴ - 1)/x² =x⁴/x² - 1/x² 
                  = x² - 1/x² 
                   = (x + 1/x)(x - 1/x)
                   = √5 × 1 = √5

লাইভ পরীক্ষায় প্রশ্নটি ছিল:
(x - 1)/(x + 1), (x - 1)²/(x² + x) এবং x²/(x² - 4x + 5) এর গুণফল কত?
প্রশ্নটি হবে (x - 1)/(x + 1), (x - 1)²/(x² + x) এবং x²/(x² - 4x - 5) এর গুণফল কত?
লাইভ পরীক্ষার প্রশ্নে ভুল থাকার কারণে বাতিল করা হয়েছে।

সমাধান:
{(x - 1)/(x + 1)} × {(x - 1)²/(x² + x)} × {x²/(x² - 4x - 5)} 
{(x - 1)/(x + 1)} × {(x - 1)(x - 1)/x(x + 1)} × {x²/(x² - 5x + x - 5)} 
{(x - 1)/(x + 1)} × {(x - 1)(x - 1)/x(x + 1)} × {x²/(x - 5)(x + 1)} 
= x(x - 1)³/(x + 1)³(x - 5)

দেয়া আছে, 
a² + b² = 4 
a² - b²= 2 

 2(a⁴ + b⁴) =2{(a²)² + (b²)²}
 2(a⁴ + b⁴) = (a² + b²)² + (a² - b²)²
 2(a⁴ + b⁴) = 4² + 2²
 2(a⁴ + b⁴) = 16  + 4
 2(a⁴ + b⁴) = 20 
(a⁴ + b⁴)  = 10

১ম রাশি  = x² + 4x + 3
               = x² + 3x + x + 3
               = x(x + 3) + 1 (x + 3)
               = (x + 3) (x + 1)

২য় রাশি = x² - 1
             = x² - 1²
             = (x + 1) (x - 1)

৩য় রাশি  = x² + 2x - 3
               = x² + 3x - x - 3
               = x(x + 3) - 1 (x + 3)
               = (x + 3)(x - 1)

নির্ণেয় ল.সা.গু = (x + 3)(x + 1)(x - 1)

১ম রাশি = x + 3 
২য় রাশি = x² + 7x + 12
             = x² + 3x + 4x + 12 
              = x(x + 3) + 4(x + 3)
               = (x + 3)(x + 4)
৩য় রাশি = x² + 5x +6
              = x² + 2x + 3x + 6
              = x(x + 2) + 3(x + 2)
              =(x + 2)(x + 3)

নির্ণেয় গ.সা.গু = (x + 3)

[{x³ + y³ + 3xy(x + y)}/(a + b)³] × [{a³ + b³ + 3ab(a + b)}/(x² - y²)] × [(x - y)²/(x + y)²] 
[(x + y)³/(a + b)³] × [(a + b)³/(x + y)(x - y)]× [(x - y)(x - y)/(x + y)(x + y)] 
= x - y

দেয়া আছে,
a + b = 13
a - b = 11

আমরা জানি,
4ab = (a + b)²  - (a - b)²
4ab = 13² - 11²
4ab = 169 - 121 
4ab = 48
ab = 48/4 
ab = 12

দেয়া আছে, 
x + y = 7 
xy = 12 

x² + y² + 3xy = (x + y)² - 2xy + 3xy 
                       = 7² + 12
                        = 49 + 12
                        = 61

দেয়া আছে, 
a⁴ - 2a² + 1 = 0
(a⁴ - 2a² + 1)/a² = 0
a⁴/a² - 2a²/a² + 1/a² = 0 
a² - 2 + 1/a² = 0 
a² + 1/a² = 2

2a + 2/a = - 4 
2(a + 1/a) = - 4 
a + 1/a = - 2
(a² + 1)/a = - 2
a² + 2a + 1 = 0
(a + 1)² = 0 
a + 1 = 0
a = - 1

দেয়া আছে,
a + b + c = 11
ab + bc + ca = 49


আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)
                      = 11² - 2 × 49 
                       = 121 - 98
                        = 23