ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিকের ভূমির পরিমাণ ১৯ সে.মি. এবং উচ্চতা ৭ সে.মি.। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= ১৯ × ৭
= ১৩৩ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার সুইমিংপুলের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার এবং প্রস্থ ৩৫ মিটার হলে, সুইমিংপুলের পরিসীমা কত?

সমাধান:
পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ (৫০ + ৩৫)
= ১৭০ মিটার

প্রশ্ন: ২০ বর্গমিটার একটি বর্গাকার জায়গা ঢাকতে ২ বর্গমিটার ক্ষেত্রফলের কয়টি টাইলস লাগবে?

সমাধান:
মোট টাইলসের সংখ্যা = (বর্গাকার জায়গার ক্ষেত্রফল/টাইলসের ক্ষেত্রফল) টি
= ২০/২ টি
= ১০ টি

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু ৯০ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির অন্তব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের অন্তব্যাসার্ধ= বাহু/২√৩
= ৯০/২√৩
= ৪৫/√৩
= (১৫ × √৩ × √৩)/√৩
= ১৫√৩

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২০০ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্যের পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = ক মিটার
তাহলে দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
⇒ ২০০ = ক × ২ক
⇒ ২ক^২ = ২০০
⇒ ক^২ = ১০০
∴ ক = ১০ মিটার

অতএব, প্রস্থ = ১০ মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ১০ × ২ = ২০ মিটার

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ২০ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের ২টি সমান বাহু = ক সে.মি.

আমরা জানি,
অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
⇒ ২০^২ = ক^২ + ক^২
⇒ ২ক^২ = ৪০০
⇒ ক^২ = ৪০০/২
⇒ ক = √২০০
∴ ক = ১০√২

∴ক্ষেত্রফল =(১/২) × ( ১০√২) × ( ১০√২)
= (১/২) × ১০০ × ২
= ১০০ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৪০ বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ ৩০ সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি, সামান্তরিকক্ষেত্রের একটি কর্ণ = ৩০ সে. মি.
এবং এর বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য = h সে.মি.
∴ সামান্তরিকক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = কর্ণ × h বর্গ সে.মি

প্রশ্নমতে,
৩০ × h = ২৪০
⇒ h = ২৪০/৩০
∴ h = ৮

∴ নির্ণেয় লম্বের দৈর্ঘ্য ৮ সে.মি.

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য মিটারে দেওয়া আছে, কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব নয়?

সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।

অপশনে উল্লিখিত প্রত্যেকটি অপশনের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর সাথে তৃতীয় বাহুর সাথে তুলনা করে পাই,
৪ + ৫ > ৬
৬ + ৮ > ১০
৩ + ৪ = ৭ [দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর নয়, সুতরাং ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়]
১২ + ৬ > ১৫

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ১২√৩ বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √৩ক^২/৪
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= √৩(ক + ২)^২/৪

প্রশ্নমতে,
{√৩(ক + ২)^২/৪} - {√৩ক^২/৪} = ১২√৩
⇒ (√৩/৪){(ক + ২)^২ - ক^২} = ১২√৩
⇒ ক^২+ ৪ক + ৪ - ক^২ = ৪৮
⇒ ৪ক + ৪ = ৪৮
⇒ ৪ক = ৪৪
∴ ক = ১১

সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১১ মিটার।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৪৮০ বর্গ সে.মি. এবং এর একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ৪০ সে.মি. হলে অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × একটি কর্ণ × অপর কর্ণ
⇒ ৪৮০ = (১/২) × ৪০ × অপর কর্ণ
⇒ অপর কর্ণ = ৪৮০/২০
∴ অপর কর্ণ = ২৪ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও লম্ব যথাক্রমে ২৫ সে.মি. এবং ২৪ সে.মি হলে ভূমির পরিমাণ কত?

সমাধান:

পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে আমরা জানি,
অতিভূজ^২ = ভূমি^২ + লম্ব^২
∴ ২৫^২= ভূমি^২ + ২৪^২
⇒ ভূমি^২ = ৬২৫ - ৫৭৬
⇒ ভূমি = √৪৯
∴ ভূমি = ৭ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৫ মিটার ও ৯ মিটার এবং তাদের উচ্চতা ৭ মিটার। ঐ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের যোগফল) × উচ্চতা
= (১/২) × (১৫ + ৯) × ৫
= (১/২) × ২৪ × ৭
= ৮৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র প্রত্যেক মধ্যমাকে কোন অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে?

সমাধান:
- ত্রিভুজের কোনো একটি শীর্ষবিন্দু এবং তার বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাকে মধ্যমা বলে।
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় সমবিন্দু যা ত্রিভুজের একটি ভরকেন্দ্র।
- ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র প্রত্যেক মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত ৩ : ৪ এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গসে.মি. হলে, ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৩ক এবং ৪ক

প্রশ্নমতে,
(১/২) × ৩ক × ৪ক = ৯৬
⇒ ১২ক^২/২ = ৯৬
⇒ ৬ক^২ = ৯৬
⇒ ক^২ = ১৬
∴ ক = ৪

তাহলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হবে যথাক্রমে ৩ × ৪ = ১২ সে.মি. এবং ৪ × ৪ = ১৬ সে.মি.
∴ ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি.।

প্রশ্ন: চতুর্ভুজ সম্পর্কিত কোন উপপাদ্যটি ভুল?

সমাধান:
• চতুর্ভুজ সম্পর্কিত উপপাদ্য:
- চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত বাহু পরস্পর সমান ও সমান্তরাল হলে, তার অপর বাহু দুটিও সমান ও সমান্তরাল হবে।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহু ও কোণগুলো পরস্পর সমান এবং প্রত্যেক কর্ণ সামান্তরিককে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গ মিটার। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য ১০ মিটার হলে অপরটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
⇒ ১২০ = (১/২) × (১০ × অপর বাহু)
⇒ অপর বাহু = (১২০ × ২)/১০
= ২৪ মিটার

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সামান্তরিক হতে পারে না?

সমাধান:
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল তাকে সামন্তরিক বলে।
যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।
অতএব ট্রাপিজিয়াম, সামন্তরিক নয়।

- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরষ্পর অসমান।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয় তবে সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র হবে।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ৬৫ সে.মি. এবং বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৩ : ৪ : ৬ হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩ক সে.মি. ৪ক সে.মি. এবং ৬ক সে.মি.

শর্তমতে,
৩ক + ৪ক + ৬ক = ৬৫
⇒ ১৩ক = ৬৫
∴ ক = ৫

∴ বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য = (৬ × ৫) সে.মি.
= ৩০ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার ও প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের ভিতরে চারপাশে ৭.৫ মিটার চওড়া একটি গ্যালারি আছে? গ্যালারির প্রতি ৩ বর্গমিটার জায়গায় একটি চেয়ার বসানো গেলে, উক্ত গ্যালারিতে কয়টি চেয়ার বসানো যাবে? 

সমাধান:
মাঠের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৪০) = ২০০০ বর্গমিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের দৈর্ঘ্য = ৫০ - (২ × ৭.৫) = ৩৫ মিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের প্রস্থ = ৪০ - (২ × ৭.৫) = ২৫ মিটার

গ্যালারি বাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = (৩৫ × ২৫) = ৮৭৫ বর্গমিটার
গ্যালারির ক্ষেত্রফল =(২০০০ - ৮৭৫) = ১১২৫ বর্গমিটার

∴ মোট চেয়ার বসানো যাবে = ১১২৫/৩ টি
= ৩৭৫ টি