Math Master

প্রশ্ন: কোন শর্তে x⁰ = 1?

সমাধান:
x ≠ 0 হলে x⁰ = 1 , x ^{- n} = 1/xⁿ

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ 5 এবং সাধারণ অন্তর 7 হলে, ধারাটির (2p + 1) তম পদ কত?

সমাধান: 
এখানে
ধারাটির প্রথম পদ a = 5
সাধারণ অন্তর d = 7

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ (2p + 1) তম পদ =a + (2p + 1 - 1) d
= 5 + (2p + 1 - 1) × 7
= 5 + 2p × 7
= 14p + 5

প্রশ্ন: 63.70 এর লগের পূর্ণক নির্ণয় করুন।

সমাধান:
যেকোনো সংখ্যা N কে বৈজ্ঞানিক আকারে প্রকাশ করে পাওয়া যায়, N = a ×10ⁿ, যেখানে N > 0, 1≤ a ≤ 10 এবং n ∈ Z
যেমন: ৫০০ = ৫ × ১০^২
৩৩৩৩ = ৩.৩৩৩ × ১০^৩
০.২৫ = ২.৫ × ১০^-১

N = a × 10ⁿ
⇒ log₁₀N = log₁₀ (a × 10ⁿ) [উভয় পক্ষে 10 ভিত্তিতে লগ নিয়ে]
⇒ log₁₀N = log₁₀a + log₁₀10ⁿ
⇒ log₁₀N = log₁₀a + nlog₁₀10
⇒ log₁₀N = n + log₁₀a [ log10 10 = 1]
∴ log₁₀N= n + log₁₀a
logN = n + loga [ভিত্তি 10 উহ্য রেখে]
এখানে, n কে বলা হয় logN এর পূর্ণক। অর্থাৎ, কোন সংখ্যাকে বৈজ্ঞানিক আকারে প্রকাশ করার পর ১০ এর যে ঘাত পাওয়া যায় সেই ঘাতকে পূর্ণক বলে।

প্রদত্ত সংখ্যাটি,
63.70
= 6.370 × 10¹
∴ 63.70 এর লগের পূর্ণক 1

প্রশ্ন: 2 + 4 + 6 + 8 + ....................... n তম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এখানে
১ম পদ a = 2
সাধারণ অন্তর d = 4 - 2 = 2

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (n/2){2 × 2 + (n - 1) × (2)}
= (n/2) {4 + 2n - 2)}
= (n/2) (2n + 2)
= (n/2) × 2(n + 1)
= n(n + 1)

প্রশ্ন:

সমাধান: 
(√5)^{x + 1} = (5^1/3)^{2x - 1}
(5^1/2)^{x + 1} = (5^1/3)^{2x - 1}
5^{(x + 1)/2} = 5^{(2x - 1)/3}
(x + 1)/2 = (2x - 1)/3
2(2x - 1) = 3(x + 1)
4x - 2 = 3x + 3
4x - 3x = 3 + 2
x = 5 

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 18 তম পদ 37 হলে, তার প্রথম 35 পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ধারাটি প্রথম পদ, a 
সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
18 তম পদ = a + (18 - 1)d
= a + 17d

প্রশ্নমতে, a + 17d = 37

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n-1)d}
সুতরাং প্রথম 35টি পদের সমষ্টি = (35/2) {2a + (35 - 1)d}
= (35/2) (2a + 34d)
= (35/2) × 2 (a + 17d)
= 35 × (a + 17d)
= 35 × 37
= 1295

প্রশ্ন: log_√24 × log_√39 এর মান কত?

সমাধান:
log√2⁴ × log_√39
=log_√2(√2)⁴ × log_√3(√3)⁴
= 4log_√2(√2)  × 4log_√3(√3)
= 4 × 4
= 16

লাইভ পরীক্ষার প্রশ্নে ভুল ছিল। 
প্রশ্ন অনুযায়ী সঠিক উত্তর না থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হলো। 
----------------------------------- 

সমাধান:
(x^b/x^c)^{(b + c)} × (x^c/x^a)^{(c + a)} × (x^a/x^b)^{(a + b)}
= x^{(b - c)(b + c)} × x^{(c - a)(c + a)} × x^{(a - b)(a + b)}
_{= x}b² - c² × _xc² - a² × _xa² - b²
_{= x}b² - c² + c² - a² + a² - b²
= x⁰
= 1

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ 5 এবং তৃতীয় পদ 9 হলে, ধারাটির প্রথম 12টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
প্রথম পদ  a = 5 
৩য় পদ = 9

২য়  পদ = (5 + 9)/2 = 14/2 = 7

সাধারণ অন্তর d  = 7 - 5 = 2

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){ 2a + ( n - 1)d
12 তম পদের সমষ্টি = (12/2){ 2a + (12 - 1)d
= 6{2 × 5 + 11 × 2}
= 6 (10 + 22)
= 6 × 32 
= 192

প্রশ্ন: 7 + x + y + 56 একটি গুণোত্তর ধারা হলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
এখানে,
৪র্থ পদ ar^{4 -1} = 56
বা ar³ = 56 ......... (i)

প্রথম পদ, a = 7 ....... (ii)
(i) ÷ (ii) = 
ar³/a = 56/7
r³ = 8
r³ = 2³
∴ r = 2

সাধারণ অনুপাত, r = 2
২য় পদ x  = 7 × 2 = 14

প্রশ্ন: প্রথম 12টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n+1)(2n+1)}/6

∴ 12টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {12(12+ 1)(2 × 12 +1)}/6
= {12 × 13 × 25}/6
= 3900/6
= 650

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 7তম পদ 22 এবং 16তম পদ 49 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
সমান্তর ধারার ১ম পদ = a 
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি, 
7তম পদ = a + (7 - 1)d = a + 6d = 22 ................ (1)
16তম পদ = a + (16 - 1)d = a + 15d = 49 .................. (2)

(2) - (1) হতে পাই,
a + 15d - a - 6d = 49 - 22
9d = 27
d = 3

সাধারণ অন্তর, d = 3 

(1) নং হতে পাই,
22 = a + 6d
বা, 22 = a + (6 × 3)
বা, a = 22 - 18
∴ a = 4

সমাধান:
(5³ × 5⁵)/5⁷
= 5^{3 + 5}/5⁷
=5⁸/5⁷
=5^{8 - 7}
= 5
5 এর বর্গমূল = √5

প্রশ্ন: 4 + 4/3 + 4/9 + ............ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত? 

সমাধান:
১ম পদ a = 4
সাধারণ অনুপাত r = (4/3)/4
= (4/3) × (1/4)
 = 1/3

অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= 4/{1 - (1/3)}
= 4/{(3 - 1)/3}
 = 4/(2/3)
 = 4 × 3/2
 = 6

প্রশ্ন: log_x(5/2) = - 1/2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
x ^{- 1/2} = 5/2
1/x^1/2 = 5/2
x^1/2 = 2/5
(x^1/2)² = (2/5)²
x = 4/25

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + 4 + ........... এর ৩য় আংশিক সমষ্টি কত?

সমাধান: 
1 + 2 + 3 + 4 + ........... এর ৩য় আংশিক সমষ্টি = ১ম ৩টি পদের যোগফল 
=  1 + 2 + 3
= 6

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 + ................ ধারাটির কোন পদ 263?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a = 3 
সাধারণ অন্তর d = 7 - 3 = 4
ধারাটির n তম পদ = 263

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d.
a + (n - 1)d = 263
বা, 3 + (n - 1)4 = 263
বা, 4(n - 1) = 263 - 3
বা, 4(n - 1) = 260
বা, n - 1= 260/4
বা, n - 1 = 65
বা, n = 65 + 1
∴ n = 66 

ধারাটির 66 তম পদ = 263