Math Master

প্রশ্ন: 5 + 10 + 15 + 20 + ................ ধারাটির প্রথম 12টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
প্রথম পদ a = 5
সাধারণ অন্তর d = 10 - 5 = 5 
পদ সংখ্যা n = 12

S_n = (n/2)[2a + (n - 1)d]
⇒ S₁₂ = (12/2)[2 × 5 + (12 - 1) × 5]
⇒ S₁₂ = 6 [10 + 11 × 5]
⇒ S₁₂ = 6 [10 + 55]
⇒ S₁₂ = 6 × 6
⇒ S₁₂ = 390

∴ প্রথম 12টি পদের যোগফল 390। 

প্রশ্ন: 3 - 6 + 12 - 24 +…............  প্রথম 6টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ a = 3,
সাধারণ অনুপাত r = -2,
পদসংখ্যা n = 6

S_n = a × [1 - (r)ⁿ/ 1 - r]
S₆ = 3 × [1 - (- 2)⁶ / 1 - (-2)]
= 3 × [1 - 64 / 3]
= 3 × [-63/3]
= 3 × (- 21)
= - 63

∴6টি পদের সমষ্টি - 63

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + ......... ধারাটির কততম পদ 1458?

সমাধান:
প্রথম পদ a = 2,
সাধারণ অনুপাত r = 3

আমরা জানি,
n তম পদ a_n = ar^{n - 1}
⇒ a_n = 2 × 3^{n - 1}
⇒ 1458/2 = 3^{n - 1}
⇒ 729 = 3^{n - 1}
⇒ 3⁶ = 3^{n - 1}
⇒ 6 = n - 1
⇒ n = 7

∴ 7 তম পদ 1458

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 11 তম পদ 55 হলে, এর প্রথম 21 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d 

⇒  n তম পদ a_n = a + (n - 1)d
⇒ S_n তম পদের সমষ্টি = (n/2) [2a + (n - 1)d]

11তম পদ:
a_11​ = a + 10d = 55

21টি পদের যোগফল,
S₂₁ = 21/2[2a + 20d]
= 21/2 [2(a + 10d)]
= 21/2 [2 × 55]
= (21 × 2 × 55) / 2
= 21 × 55
= 1155

∴ 21 টি পদের যোগফল 1155

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম 12টি পদের যোগফল 450। যদি প্রথম পদ 10 হয়, সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান: 
সমান্তর ধারার যোগফলের সূত্র:
S_n = n/2 [2a (n - 1)d]
⇒ 450 = 12/2 [2 × 10(12 - 1)×d]
⇒ 450 = 6 [20 × 11d]
⇒ 75 = 20 × 11d
⇒ 11d = 55
⇒ d = 5

∴ সাধারণ অন্তর 5

প্রশ্ন: 7 + 14 + 21 + 28 + ............. + 119 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ a = 7
সাধারণ অন্তর d = 7
শেষ পদ বা n তম পদ a_n = 119

আমরা জানি,
n তম পদ a_n = a + (n - 1)d
⇒ 119 = 7 + (n - 1)7
⇒ 112 =  (n - 1)7
⇒ 16 = (n - 1)
⇒ n = 17 

∴ ধারাটির পদ সংখ্যা 17

প্রশ্ন: কোন গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ 1/16 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
ধরি 
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ = a

দেওয়া আছে, 
পঞ্চম পদ ar⁴ = 1/16
সাধারণ অনুপাত r = 1/2

এখন
a(1/2)⁴ =  1/16
⇒ a (1/16) = 1/16
⇒ a/16 = 1/16
⇒ a = 1

∴ প্রথম পদ a = 1

প্রশ্ন: log2 + log4 + log8 + log16 +…........... প্রথম 12টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম  12টি পদের সমষ্টি
= log2 + log4 + log8 + log16 +............... + প্রথম 12টি পদের সমষ্টি
= log21 + log22 + log23 + log24 +............... + প্রথম 12টি পদের সমষ্টি
= 1log2 + 2log2 + 3log2 + 4log2 + ............... + প্রথম 12টি পদের সমষ্টি
=(1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 12) log2
= {12(12 + 1)/2}log2 
= 78log2

প্রশ্ন: 2 - 2 + 2 - 2 +.......................  ধারাটির (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/2 = - 1

n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rn)/(1 - r)

∴ (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি = {2(1 - (-1)²ⁿ⁺²}/{1 - (- 1)}
= {2 × (1 - 1)}/(1 + 1) [ যেহেতু 2n + 2 জোড় সংখ্যা ]
= (2 × 0)/2
= 0/2
= 0

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 3 সাধারণ অনুপাত 4 হলে 6টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
প্রথম পদ a = 3,
সাধারণ অনুপাত r = 4,
পদ সংখ্যা n = 6

গুণোত্তর ধারার যোগফলের সূত্র:
S_n = a × (rⁿ - 1)/(r - 1) 
⇒ S_6​ = 3 × (4⁶ - 1)​/(4 - 1)
= 3 × (4096 - 1)/3
= 4096 - 1
= 4095

∴6টি পদের যোগফল 4095

প্রশ্ন: (1/2) ​+ (1/4)​ + (1/8) ​+................. ধারাটির 7 তম পদ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ a = 1/2
সাধারণ অনুপাত r = 1/2

গুণোত্তর ধারার n তম পদ সূত্র,
a_n​ = a × r^n-1
⇒ a₇ = (1/2) × (1/2)^7-1
⇒ a₇ = (1/2) × (1/2)⁶
⇒ a₇ = (1/2)⁷
⇒ a₇ = 1/128
 
∴ 7 তম পদ 1/128

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম ও তৃতীয় পদের অনুপাত 2 : 5, পঞ্চম পদ 48 হলে দশম পদ কত?

সমাধান:
প্রথম পদ a₁ = a
তৃতীয় পদ a₃ = a + 2d

তাহলে,
a₁/a₃ = 2/5
⇒ a/(a + 2d) = 2/5
⇒ 5a = 2(a + 2d)
⇒ 5a = 2a + 4d
⇒ 3a = 4d
⇒ a = 4d / 3 ------ (i)

এবার পঞ্চম পদ থেকে d এর মান 
a₅ ​= a + 4d
⇒ 48 = (4d/3) + 4d
⇒ 48 = (4d + 12d)/3
⇒ 48 = 16d/3
⇒ d = (48 × 3)/16
⇒ d = 9

d এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই - 
a = 4d / 3 
⇒ a = (4×9) / 3 
⇒ a =  12

এখন,
a₁₀ = a + 9d
= 12 + 9 × 9
= 93

∴ দশম পদ = 93

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল n(n + 1)। ধারাটির 15টি পদের যোগফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
S_n​ = n(n + 1)
তাহলে,
S₁₅ = 15 × (15 + 1)
= 15 × 16
= 240

∴ প্রথম 15 টি পদের যোগফল 240 

প্রশ্ন: একটি ধারার n তম পদ aⁿ⁺⁵। যদি 5ম পদ 1024 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান: 
এখানে,
n তম পদ aⁿ⁺⁵
5ম পদ = 1024
n = 5 হলে,
a_{5 ​}= a^{5 + 5} = a¹⁰

প্রশ্নমতে, 
a¹⁰= 1024
⇒ a¹⁰ = 2¹⁰
⇒ a = 2

∴a এর মান 2 

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + … ধারাটির প্রথম n পদের যোগফল 765 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ a = 3,
সাধারণ অনুপাত r = 6/3 = 2
প্রথম n পদের যোগফল, S_n = 765

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদের যোগফল,
S_n = {a × (rⁿ - 1)}/(r - 1) 
⇒ 765 = (3 × 2ⁿ - 1)/(2 - 1)
⇒ 765 = 3 × 2ⁿ - 1
⇒ 765/3 = 2ⁿ - 1 
⇒ 255 = 2ⁿ - 1
⇒ 256 = 2ⁿ
⇒ 2ⁿ = 2⁸
∴ n = 8 

∴ n এর মান 8

প্রশ্ন: (1/2) + (1/√2) + 1 + ...... ধারাটির কোন পদ 8√2 ?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1/2
সাধারণ অনুপাত, r = (1/√2) ÷ (1/2) = √2 
∴ n-তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = 8√2
⇒ ar^{n - 1} = 8√2
⇒ (1/2) × (√2)^{n - 1} = 8√2
⇒ (√2)^{n - 1} = 16√2
⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)⁹
⇒ n - 1 = 9
∴ n = 10

∴ 10 তম পদ = 8√2

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারায় পঞ্চম পদ 20, এবং অষ্টম পদ 32 হলে, ধারাটির 12 তম পদ কত?

সমাধান:
ধরি, ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
আমরা জানি,
a_n​ = a + (n - 1)d
তাহলে,
a₅​ = a + 4d = 20............ (1)
a_8​ = a + 7d = 32.............(2)

(2) - (1) করে পাই, 
a + 7d - a - 4d = 32 - 20
⇒ 3d = 12
⇒ d = 4

d এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
a + 4 × 4 = 20
⇒ a + 4 × 4 = 20
⇒ a + 16 = 20
⇒ a = 4

তাহলে 12 তম পদ,
a₁₂ = a + (12 - 1) d
⇒ a₁₂ = 4 + 11 × 4
⇒ a₁₂ = 4 + 44
⇒ a₁₂ = 48

∴ 12 তম পদ 48.

প্রশ্ন: 1 + 4 + 7 + 10 + 13 +......................ধারাটির 1001 তম পদ কোনটি?

সমাধান: 
ধারাটি হলো একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3
পদসংখ্যা, n = 1001

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
= 1 + (1001 - 1) × 3
= 1 + 3000
= 3001

∴ ধারাটির 1001 তম পদ 3001

প্রশ্ন: 0.5 + 0.05 + 0.005 +.......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.5 = 5/10 = 1/2
সাধারণ অনুপাত, r = 0.05/0.5 = 1/10 
যেহেতু, r = 1/10 < 1, সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।

∴ অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/2)/{1 - (1/10)}
 = (1/2)/(9/10)
= (1/2) × (10/9)
= 5/9

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + 4² + 5² +.......... + 25² = ? 

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
এখানে, n = 25

∴ S₂₅ = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {25(25 + 1)(2 × 25 + 1)}/6
= (25 × 26 × 51)/6
= 33150/6
= 5525

∴ধারাটির যোগফল = 5525