শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: a + b + c =20 এবং a²+ b²+ c² = 152 , ab + bc + ca = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, 
a + b  + c = 20 
a²+ b²+ c² = 152

আমরা জানি, 
 (a + b + c)² = a²+b²+c² + 2(ab + bc + ca)
বা, 20²= 152 + 2(ab + bc + ca)
বা, 400 = 152 + 2(ab + bc + ca)
বা, 2(ab + bc + ca) = 400 - 152
বা, 2(ab + bc + ca) = 248
বা, (ab + bc + ca) = 248/2
∴ (ab + bc + ca) = 124

প্রশ্ন: x = 8 এবং y = 7 হলে, 9x² - 30xy + 25y² এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 8 এবং y = 7 

প্রদত্ত রাশি = 9x² - 30xy + 25y²
= (3x)² - 2.3x.5y + (5y)² 
= (3x - 5y)²
= {(3 x 8) - (5 x 7)}²   [x ও y এর মান বসিয়ে]
= (24 - 35)²
= (- 11)²
= 121

প্রশ্ন: যদি x + y = a, x - y = b হয়, তাহলে 2xy = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে
x + y = a
x - y = b

আমরা জানি,
4xy = (x + y)² - (x - y)²
⇒ 4xy = a² - b²
⇒ 4xy/2 = (a² - b²)/2
⇒ 2xy = (a² - b²)/2

প্রশ্ন: p + q = 6 এবং p - q = 4 হলে p² + q² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + q = 6
এবং p - q = 4

: p² + q² = {(p + q)² + (p - q)²}/2
={6² + 4²}/2
= (36 + 16)/ 2
= 52/2
= 26

প্রশ্ন: 36a² + 36a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:

36a² + 36a

= 36a² + 36a + 9 - 9

= (6a)² + 2 ×(6a) × (3)+ (3)² - 9

= (6a + 3)² - 9

সুতরাং, 36a² + 36a এর সাথে 9 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: যদি m − n = 5 এবং m² − n² = 25 হয়, তবে (m + n) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
m − n = 5
m² − n² = 25

আমরা জানি, 
m² − n² = (m + n) (m - n)
⇒ (m + n) = (m² − n²)/(m - n)
⇒ (m + n) = 25/5 = 5

∴ (m + n) = 5

প্রশ্ন: a + b = 9 এবং ab = 20 হলে, a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 9
এবং ab = 20

আমরা জানি,
a³ + b³
= (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (9)³ - 3 × 20 × 9
= 729 - 540
= 189

সুতরাং, a³ + b³ এর মান হলো 189 ।

প্রশ্ন: p√2 + p√2 এর বর্গ কত?

সমাধান:

p√2 + p√2
= 2p√2

এখন বর্গ করে পাই-
= (2p√2)²
= (2√2p)²
= 8p²
∴ p√2 + p√2 এর বর্গ =  8p²

প্রশ্ন: 2a + 3b = 14 এবং ab = 5 হলে, 8a³ + 27b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2a + 3b = 14
ab = 5

এখন,
8a³ + 27b³
= (2a)³ + (3b)³
= (2a + 3b)³ - 3 ⋅ 2a ⋅ 3b(2a + 3b)
= (2a + 3b)³ - 18ab(2a + 3b)
= 14³ - (18 × 5 × 14)
= 2744 - 1260
= 1484

∴ 8a³ + 27b³ এর মান 1484

প্রশ্ন: a = √7 + √6 হলে, (a⁶ -1)/a³ এর মান কত?

সমাধান:
 দেওয়া আছে,
 a = √7 + √6

∴ (1/a) = 1/(√7 + √6)
= (√7 - √6)/(√7 + √6)(√7 - √6)
= (√7 - √6)/(7 - 6)
= √7 - √6

∴ a - (1/a) = √7 + √6 - √7 + √6 = 2√6

এখন,
(a⁶ -1)/a³
= (a⁶/a³) - (1/a³)
= a³ - (1/a³)
= {a - (1/a)}³ + 3 ⋅ a ⋅ (1/a){a - (1/a)}
= (2√6)³ + 3 ⋅ 2√6
= 8 ⋅ 6√6 + 6√6
= 54√6

প্রশ্ন: যদি 4a² + 1/a² = 3 হয়, তবে 8a³ + 1/a³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে ,
4a² + 1/a² = 3
⇒ (2a)² + (1/a)² = 3
⇒ (2a + 1/a)² - 2 . 2a  .1/a = 3
⇒ (2a + 1/a)² = 3 + 4
⇒ (2a + 1/a)² = 7
 ∴ 2a + 1/a =√7

এখন, 
8a³ + 1/a³
= (2a)³ + (1/a)³
= (2a + 1/a)³ - 3 . 2a .1/a (2a +1/a)
= (√7)³ - 6.√7
= 7√7 - 6√7
= √7

প্রশ্ন: x² - √5x + 1 = 0 হলে, x⁶ + 1/x⁶ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
x² - √5x + 1 = 0
⇒ x - √5 + 1/x = 0 [x দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করে]
⇒ x + 1/x = √5

∴ x⁶ + 1/x⁶
= (x³)² + (1/x³)²
= (x³ + 1/x³)² - 2.x³.1/x³
= {(x + 1/x)³ - 3. x .1/x (x + 1/x)}² - 2
= {(√5)³ - 3.√5}² - 2
= (5√5 - 3√5)² -2
= (2√5)² - 2
= 20 - 2
= 18

প্রশ্ন: x + y = 3, x² + y² = 5 হলে, x³ + y³- এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 3
x² + y² = 5

এখানে,
x² + y² = 5
⇒ (x + y)² - 2xy = 5
⇒ 3² - 2xy = 5
⇒ 2xy = 9 - 5
⇒ 2xy = 4
⇒ xy = 4/2
∴ xy = 2

∴ x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy (x + y)
= (3)³ - 3 × 2 × 3
= 27 - 18
= 9

প্রশ্ন: যদি a + (4/a) = 4 হয় তবে, a/(a³ + a - 4) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + (4/a) = 4
⇒ a² + 4 - 4a = 0 
⇒ (a - 2)² =  0
⇒ a = 2

এখন, 
a/(a³ + a - 4)
= 2/(2³ + 2 - 4)
 = 2/6
 = 1/3

প্রশ্ন: a³ + b³ = 189, a + b = 9 হলে, ab = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
a³ + b³ = 189
a + b = 9

এখন,
a³ + b³ = (a + b)³ - {3ab × (a + b)}
বা, 189 = 9³ - (3ab × 9)
বা, 189 = 729 - 27ab
বা, 27ab = 729 - 189
বা, 27ab = 540
বা, ab = 540/27
∴ ab = 20

প্রশ্ন: x + y = 5; xy = 4 হলে,  x⁵ + y⁵ এর মান কত?

সমাধান:

x + y = 5
⇒ (x + y)² = 5²
⇒ (x - y)² + 4xy = 25
⇒ (x - y)² + 4.4=25
⇒ (x - y)² = 25 - 16
⇒ (x - y)²= 9
⇒ (x - y) = √9
∴ (x - y) = 3

এখন,
x + y = 5 ................ (1)
x - y = 3 ....................... (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
x + y + x - y = 5 + 3
⇒ 2x = 8
⇒ x = 8/2
∴ x = 4
x এর মান (1) সমীকরণে বসিয়ে পাই,
4 + y = 5
⇒ y = 5 - 4
∴ y = 1

এখন,
x⁵ + y⁵
= (4)⁵ + (1)⁵
= 1024 +1
 = 1025

প্রশ্ন: 2a + (2/a) = 10 হলে, a² + (1/a²) এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
2a + (2/a) = 10
বা, 2{a + (1/a)} = 10
বা, a + (1/a) = 10/2
∴ a + (1/a) = 5

এখন,
 a² + (1/a²)
= a² + (1/a)²
= {a + (1/a)}² - {2 × a × (1/a)}
= 5² - 2
= 25 - 2
= 23

প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে,  x⁵⁶ + 1/x⁵⁶ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
x + 1/x = 2
⇒ (x² + 1)/x = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ x² - 2.x.1 + 1² = 0
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ x - 1 = 0
⇒ x = 1

এখন,
x⁵⁶ + 1/x⁵⁶
= 1⁵⁶ + 1/1⁵⁶
= 1 + 1/1
= 1 + 1
= 2

প্রশ্ন: x = 1 + √7 হলে, x³ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 x = 1 + √7

∴ x³ = (1 + √7)³
= 1³ + 3.1².√7 + 3.1. (√7)² + (√7)³
= 1 + 3√7 + 3 . 7 + 7√7
= 22 + 10√7 

প্রশ্ন: x² = 15 + 2√56 হলে, 1/x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বা, x² = 15 + 2√56
বা, x² = 8 + 2√56  + 7
বা, x² = (√8)² + 2.√8.√7 + (√7)²
বা, x² = (√8 + √7)²
বা, x = √8 + √7
 
এখন,
1/x
= 1/(√8 + √7)
= (√8 - √7)/ (√8 + √7) (√8 - √7)
=  (√8 - √7)/ {(√8)² - (√7)²}
= (√8 - √7)/(8 - 7)
= √8 - √7
= 2√2 - √7

প্রশ্ন: যদি a + b = 8 এবং ab = 7 হয়, তবে a³+ b³ + 4(a – b)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 a + b = 8
 এবং ab = 7

∴ প্রদত্ত রাশি = a³ + b³ + 4(a – b)²
= (a + b)³ – 3ab (a + b) + 4{(a + b)² - 4ab}
= (8)³ – 3.8.7 + 4 (8² – 4.7) [মান বসিয়ে]
=512 - 168 + 4. (64 - 28)
= 512 - 168 + 4 × 36
= 512 - 168 + 144
= 488 

:. নির্ণেয় মান 488

প্রশ্ন: x + (1/9x) = 1 হয় তবে 27x³ + (1/27x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/9x) = 1
বা, 3x + 3/9x = 3  [উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে]
বা, 3x + 1/3x = 3
বা, (3x + 1/3x)³ = 3³
বা, (3x)³ + (1/3x)³ + 3 . 3x . 1/3x (3x + 1/3x) = 27
বা, 27x³ + 1/27x³ + 3 . 3 = 27
বা, 27x³ + 1/27x³ + 9 = 27
বা, 27x³ + 1/27x³ = 27 - 9
∴ 27x³ + 1/27x³ = 18

প্রশ্ন: যদি a⁴+ a²b²+ b⁴= 15 এবং a²+ ab + b²= 3 হয় তবে a²+ b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a⁴+ a²b²+ b⁴= 15
a²+ ab + b²= 3


এখন,
a⁴+ a²b²+ b⁴= 15
or,(a²)² +2 .a². b²+ (b²)² - a²b²= 15
or,(a²+ b²)² - (ab)²= 15
or,(a²+ ab + b²) (a²- ab + b²)= 15
or, 3(a²- ab + b²) = 15
or, a²- ab + b²= 15/3 = 5 .................. (1)

আবার,
a²+ ab + b²= 3 ......................... (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
2(a²+ b²)= 8
∴ a²+ b²= 8/2 = 4

প্রশ্ন: x - y = 6 এবং xy = 7 হলে, (x²  + y² ) (x³  - y³ ) এর মান কত ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 6
এবং xy = 7

১ম রাশি = x² + y²
= (x-y)²  + 2xy
= 6² + 2 × 7
= 36 + 14
= 50 

২য় রাশি =  x³  - y³
 = (x - y)³  + 3xy (x-y)
= (6)³  + 3 × 6 × 7
 = 216 + 126
= 342 

 ∴ (x²  + y²) (x³  - y³)
= 50 × 342
= 17100