৪৮তম বিশেষ বিসিএস [স্বাস্থ্য] ⎯ সাধারণ অংশ [Archived]

প্রশ্ন: রেখার প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
রেখা হল অসীম দূরত্ব পর্যন্ত বিস্তৃত সরল পথ।
এর কোনো শুরু বা শেষ নেই, অর্থাৎ কোনো প্রান্তবিন্দু নেই।

অন্যদিকে,
রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে।
- আবার প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ, তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।

রশ্মি:
রশ্মির একটি প্রান্ত বিন্দু আছে।

প্রশ্ন: নিচের কোন তিনটি বাহু দিয়ে ত্রিভুজ অঙ্কন করা যাবে না?

সমাধান:
ত্রিভুজ অঙ্কনের শর্ত হলো-
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি, তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

অপশন 'ক, খ, গ' তে এই নিয়ম মানলেও,
অপশন 'ঘ' তে, ৫ + ৬ = ১১ < ১৩
তাই, এইক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব না।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 49π বর্গমিটার। বৃত্তটির পরিধি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 49π
⇒ r² = 49 = 7²
∴ r = 7

∴ পরিধি = 2πr = 2π × 7 = 14π = 14 × (22/7) = 44 মিটার

প্রশ্ন: ৬০ ফুট দীর্ঘ এবং ৫০ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট একটি বাগানের বাহিরের চর্তুদিকে ৩ ফুট চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ৬০ ফুট
বাগানের প্রস্থ = ৫০ ফুট
রাস্তার প্রস্থ = ৩ ফুট

∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ৬০ × ৫০ = ৩০০০ বর্গ ফুট

আবার
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = ৬০ + ৩ + ৩ = ৬৬ ফুট
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = ৫০ + ৩ + ৩ = ৫৬ ফুট

∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ৬৬ × ৫৬ = ৩৬৯৬ বর্গ ফুট

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = মোট ক্ষেত্রফল − বাগানের ক্ষেত্রফল
= ৩৬৯৬ - ৩০০০ = ৬৯৬ বর্গ ফুট

প্রশ্ন: ২৭৫° কোণকে কী কোণ বলে?

সমাধান:
→ ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

→ যে কোণের পরিমাণ ৯০° তাকে সমকোণ বলে।

→ ৯০° অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।

→ ৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।

∴ ২৭৫° কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্ন: যদি একটি শঙ্কুর ব্যাস ৬ সে.মি. এবং উচ্চতা ২১ সে.মি. হয়, তবে তার আয়তন কত হবে?

সমাধান:
শঙ্কু মানে হচ্ছে সমবৃত্তভূমিক কোণক।

ধরা যাক,
ব্যাসার্ধ, r = ৬/২ = ৩ সে.মি.
উচ্চতা, h = ২১ সে.মি.

এখন,
আয়তন = (১/৩) × π × r^২ × h
= (১/৩) × (২২/৭) × ৩^২ × ২১
= ২২ × ৩ × ৩
= ১৯৮ ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি কোণ, তার সমপূরক কোণ অপেক্ষা ১৮ ডিগ্রি বেশি হলে, কোণটির মান কত?

সমাধান:
মনে করি,
কোণটির মান = ক
∴ সমপূরক কোণ = (১৮০ − ক)°

প্রশ্নমতে,
ক = (১৮০ − ক) + ১৮
⇒ ক + ক = ১৮০ + ১৮
⇒ ২ক = ১৯৮
⇒ ক = ১৯৮ ÷ ২
⇒ ক = ৯৯

∴ কোণটির মান = ৯৯°

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার এবং ১৬ মিটার হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ১২ × ১৬
= ১২ × ৮
= ৯৬ বর্গমিটার

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ ৭২° হলে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ, পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ।
∴ বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ ৭২° হলে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ = ৭২° × ২
= ১৪৪°

প্রশ্ন: 6cm ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের আয়তন কত?

সমাধান:
ধরি,
গোলকের ব্যাসার্ধ = r

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (4/3)πr³ ঘন একক
= (4/3) × π × (6)³
= 288π ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে। CE, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক। AB ।। CE এবং ∠ECD = 55° হলে ∠ACB এর মান কত?

সমাধান:

যেহেতু CE, ∠ACD কে সমদ্বিখণ্ডিত, তাই ∠ECD = ∠ECA = 55°
∴ একান্তর ∠ECA = একান্তর ∠BAC = 55°
আবার, ∠ECD = অনুরূপ ∠ABC = 55° [যেহেতু AB ।। CE ]

∴ ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°
⇒ 55° + 55° + ∠ACB = 180°
⇒ ∠ACB = 180° - 110°
∴ ∠ACB = 70°

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৩ : ২। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ৩০ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার
প্রস্থ = ২ক মিটার

∴ পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ৩০
⇒ ২ × (৩ক + ২ক) = ৩০
⇒ ২ × ৫ক = ৩০
⇒ ১০ক = ৩০
⇒ ক = ৩০/১০
∴ ক = ৩

অতএব,
দৈর্ঘ্য = ৩ × ৩ = ৯ মিটার
প্রস্থ = ২ × ৩ = ৬ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ৯ × ৬ = ৫৪ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৪৮ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ৪৮ বার
∴ ১ সেকেন্ডে ঘুরে = ৪৮/৬০ = ৪/৫ বার

আমরা জানি,
চাকা ১ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ ৪/৫ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ৩৬০° × (৪/৫) = ২৮৮°

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ৫১২ ঘন সে.মি. হলে ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে এর আয়তন ক^৩ ঘন একক

প্রশ্নমতে,
⇒ ক^৩ = ৫১২
⇒ ক^৩ = ৮^৩
∴ ক = ৮

তাহলে,
ঘনকটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৮ সে.মি.
∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = বাহু × √৩ = ৮√৩ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত সর্বোচ্চ ৬টি ও ন্যূনতম ২টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 6 মিটার এবং অপর দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5 মিটার করে হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) √{4(a)² - b²}

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 6 মিটার
এবং দুটি বাহুর প্রতিটি, a = 5 মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = (b/4) × √{4a² - b²}
= (6/4) √{4(5)² - (6)²}
= (3/2) {√(100 - 36)}
= (3/2) × √64
= (3/2) × 8
= 12

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12 বর্গমিটার

প্রশ্ন: দুটি পূরক কোণের একটি আরেকটির 1/2 অংশ হলে বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 90°

দেওয়া আছে,
কোণদ্বয়ের অনুপাত = 1 : 2

∴ বৃহত্তম কোণ = (90/3) × 2 = 60°

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য ২৪ মি. এবং প্রস্থ ১৮ মি.। মেঝেটি ঢাকতে ৪ মি. দীর্ঘ এবং ৩ মি. প্রস্থ বিশিষ্ট কয়টি কার্পেট প্রয়োজন?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কার্পেটের দৈর্ঘ্য ৪ মি. এবং প্রস্থ ৩ মি.
∴ কার্পেটের ক্ষেত্রফল = (৪ × ৩) = ১২ বর্গ মি.

ঘরের দৈর্ঘ্য ২৪ মি. এবং প্রস্থ ১৮ মি.
∴ ঘরের ক্ষেত্রফল = (২৪ × ১৮) = ৪৩২ বর্গ মি.

∴ কার্পেট সংখ্যা = (৪৩২/১২) = ৩৬ টি

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজে কতটি সমকোণ থাকতে পারে?

সমাধান: 
- একটি ত্রিভুজে ১টি সমকোণ থাকতে পারে। 
- সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ, অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ। 
- ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি হয় দুই সমকোণ। 
- সমকোণী ত্রিভূজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভূজ বলে, অতিভূজের বিপরীত কোণ সমকোণ। 
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজই বৃহত্তম বাহু।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং রম্বসের একটি কর্ণ 8 সে.মি. হলে রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি
রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = x সে.মি.

বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = 10 সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 10² = 100 বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = রম্বসের ক্ষেত্রফল
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল= 100 বর্গ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) (কর্ণদ্বয়ের গুণফল)
⇒ 100 = (1/2)(x × 8)
⇒ 4x = 100
⇒ x = 100/4
∴ x = 25

∴ রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য 25 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 8π বর্গ সে. মি.। যদি বৃত্তটির ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হয় তাহলে বৃত্তটির নতুন ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 8π
⇒ r² = 8
∴ r = 2√2

এখন,
∴ নতুন ব্যাসার্ধ = 2 × 2√2 = 4√2
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = π × (4√2)² = 32π বর্গ সে. মি.।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি ৫০ মিটার এবং উচ্চতা ২৫ মিটার। প্রতি বর্গমিটারে ১.৮০ টাকা হিসেবে ঘাস লাগাতে কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি = ৫০ মিটার
ত্রিভুজাকৃতি জমির উচ্চতা = ২৫ মিটার

∴ ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল = (১/২) × (ভূমি × উচ্চতা) বর্গমিটার
= (১/২) × (৫০ × ২৫) বর্গমিটার
= ২৫ × ২৫
= ৬২৫ বর্গমিটার

১ বর্গমিটারে খরচ হয় = ১.৮০ টাকা
∴ ৬২৫ বর্গমিটারে খরচ হয় = (১.৮০ × ৬২৫) টাকা
= ১১২৫ টাকা

∴ ঘাস লাগাতে খরচ হবে = ১১২৫ টাকা

প্রশ্ন: দুইটি সমান্তরাল রেখা কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
দুটি সরল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব যখন সর্বদা একই থাকে তখন একটিকে অপরটির সমান্তরাল রেখা বলা হয়।
দুটি সমান্তরাল রেখা কখনও পরস্পর ছেদ করে না।

প্রশ্ন: ৬ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অংকিত একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গের কর্ণ = √২ × বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য

৬ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গের কর্ণ = √২ × ৬ = ৬√২ সে.মি.

∴ কর্ণের উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৬√২)^২ = ৭২ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১৪ সে. মি. এবং বৃত্তকলা কেন্দ্রে ৬০° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = ১৪ সে. মি.
এবং কোণ, θ = ৬০°

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (θ/360°) × πr^২
= (৬০/৩৬০) × π × ১৪^২
= (১/৬) × π × ১৯৬
= ৩২.৬৭π বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: 22x মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য (6x + 4) মিটার, x এর মান কত হলে অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 16 মিটার হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = (6x + 4) মিটার
আয়তক্ষেত্রের অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = 16 মিটার

প্রশ্নমতে,
2(6x + 4 + 16) = 22x
⇒ 6x + 20 = 11x
⇒ 11x - 6x = 20
⇒ 5x = 20
∴ x = 4

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 24 সে. মি. এবং বৃত্তচাপটির কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ 90° হলে, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাস, 2r = 24 সে. মি.
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 90°

আমরা জানি,
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, S = (θ/360°) × 2πr
= (90°/360°) × 24 × π
= 24π/4
= 6π 
= 6 × 3.14
= 18.84

∴ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = 18.84 সে. মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গমিটার এবং ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
বা, (১/২) × ১৫ × উচ্চতা = ১২০ বর্গমিটার
বা, ১৫ × উচ্চতা = ২৪০ বর্গমিটার
বা, উচ্চতা = ২৪০/১৫ মিটার
∴ উচ্চতা = ১৬ মিটার।