Math Master

প্রশ্ন: log_p(1/81) = - 4 হলে p এর মান কত?

সমাধান:
log_p(1/81) = - 4
⇒ p^{- 4} = 1/81
⇒ p^-4 = (1/3⁴)
⇒ p^-4 = 3^{- 4}
∴ p = 3

প্রশ্ন: (3a + 4b, 2) = (14, 4a - 3b) হলে (a, b) এর মান কত?

সমাধান:
3a + 4b = 14 ........... (1)
4a - 3b = 2 .......... (2)

(1) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুণ করে (2) নং সমীকরণকে 4 দ্বারা গুণ করে যোগ করে পাই,
9a + 12b + 16a - 12b = 42 + 8
⇒ 25a = 50
∴ a = 2

(1) নং সমীকরণে a এর মান বসিয়ে পাই,
3 × 2 + 4b = 14
⇒ 4b = 14 - 6
⇒ 4b = 8
∴ b = 2
সুতরাং (a, b) = (2, 2)

প্রশ্ন: p² - √3p + 1 = 0 হয়, তবে p³ + p^{- 3} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p² - √3p + 1 = 0
⇒ p² + 1 = √3
⇒ (p² + 1)/p = √3
⇒ p + 1/p = √3

প্রদত্ত রাশি, p³ + p^{- 3}
= p³ + 1/p³
= (p + 1/p)³ - 3 · p · 1/p · (p + 1/p)
= (√3)³ -3 · √3
= 3√3 - 3√3
= 0

প্রশ্ন: log_p√2 = 1/6 হলে p এর মান কত?

সমাধান:
log_p√2 = 1/6 
⇒ p^(1/6) = √2
⇒ p^{(1/3 × 1/2)} = 2^1/2
⇒ p^1/3  = 2
⇒ p = 2³
∴ p = 8

প্রশ্ন: একটি গাড়ি ঘন্টায় 60 কি.মি. বেগে কিছু পথ এবং ঘন্টায় 40 কি.মি. বেগে অবশিষ্ট পথ অতিক্রম করলো। গাড়িটি মোট 5 ঘণ্টায় 240 কি.মি. পথ অতিক্রম করলে, ঘন্টায় 60 কি.মি. বেগে কতদূর গিয়েছে?

সমাধান:
ধরি,
গাড়িটি ঘন্টায় 60 কি.মি. বেগে গিয়েছে = x কি.মি. 
গাড়িটি ঘন্টায় 40 কি.মি. বেগে গিয়েছে = 240 - x কি.মি.

প্রশ্নমতে,
(x/60)+{(240 - x)/40} = 5
⇒ {2x + 3(240 - x)}/120 = 5
⇒ (2x + 720 - 3x)/120 = 5
⇒ - x + 720 = 600
⇒ - x = 600 - 720
⇒ - x = - 120
∴ x = 120

অতএব, গাড়িটি ঘন্টায় 60 কি.মি. বেগে 120 কি.মি. গিয়েছে।

প্রশ্ন: log₂64 + log₂8 এর মান কত?

সমাধান:
log₂64 + log₂8
= log₂2⁶ + log₂2³
= 6log₂2 + 3log₂2
= 6 + 3
= 9

প্রশ্ন: a = 2 + √3 হলে, a² + 1/a² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 2 + √3
⇒ 1/a = 1/(2 + √3)
⇒ 1/a = (2 - √3)/{(2 + √3)(2 - √3)}
⇒ 1/a = (2 - √3)/{(2)² - (√3)²}
⇒ 1/a = 2 - √3
∴ a + 1/a = 2+ √3 + 2 - √3
 = 4

প্রদত্ত রাশি, a² + 1/a²
= (a + 1/a)² - 2 · a · 1/a 
= (4)² - 2
= 16 - 2
= 14

প্রশ্ন: (a + 4) নিচের কোনটির একটি উৎপাদক?

সমাধান:
a + 4 = 0 হলে, a = - 4

ক) 2a² - a - 3
= 2(- 4)² - (- 4) - 3
= 32 + 4 - 3
= 33 ≠ 0

খ) a² + a - 20
= (- 4)² + (- 4) - 20
= 16 - 4 - 20
= - 8 ≠ 0

গ) (a - 1)² - 25
= (- 4 - 1)² - 25
= (- 5)² - 25
= 25 - 25
= 0

প্রশ্ন: 256 এর 4 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
256 এর 4 ভিত্তিক লগারিদম = log₄256
= log₄4⁴
= 4 log₄4
= 4 × 1
= 4

প্রশ্ন: 

সমাধান:

প্রশ্ন: (4)^1/a = (8)^1/b হলে, b/a এর মান কত?

সমাধান:
(4)^1/a = (8)^1/b
⇒ (2²)^1/a = (2³)^1/b  
⇒ (2)^2/a = (2)^3/b
⇒ 2/a = 3/b
∴ a/b = 3/2

প্রশ্ন: নিচের কোনটি  4a⁴ - 25a² + 36 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রুপ?

সমাধান:
4a⁴ - 25a² + 36
= 4a⁴ - 16a² - 9a² + 36
=  4a²(a² - 4) - 9(a² - 9)
= (a² - 4)(4a² - 9)
= (a + 2)(a - 2)(2a + 3)(2a - 3)

প্রশ্ন: a + b = 25 এবং ab = 150 হলে, a এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 25
এবং ab = 150

এখন,
(a - b)² = (a + b)² - 4ab
⇒ (a - b)² = (25)² - 4 × 150
⇒ (a - b)² = 625 - 600
⇒ (a - b)² = 25
⇒ a - b = √25
∴ a - b = 5
(a + b) ও (a - b) যোগ করে পাই,
a + b + a - b = 25 + 5
⇒ 2a = 30
∴ a = 15

প্রশ্ন: নিচের কোনটি a⁴ - 27a² + 1 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
a⁴ - 27a² + 1
(a²)² - 2 · a² · 1 + (1)² - 25a²
= (a² - 1)² - (5a)²
= (a² - 1 + 5a) (a² - 1 - 5a)
= (a² + 5a - 1)(a² - 5a - 1)

প্রশ্ন: রুমকি, সীমা ও শিখার কাছে একত্রে 180 টাকা আছে। সীমার চেয়ে রুমকির 6 টাকা কম ও সীমার চেয়ে শিখার 12 টাকা বেশি আছে। বর্তমানে শিখার কাছে কত টাকা আছে?

সমাধান:
মনে করি,
সীমার আছে = a টাকা
রুমকির আছে = a - 6 টাকা
এবং শিখার আছে = a + 12 টাকা

প্রশ্নমতে,
a + a - 6 + a + 12 = 180
⇒ 3a + 6 = 180
⇒ 3a = 180 - 6
⇒ 3a = 174
∴ a = 58
অতএব, সীমার কাছে আছে = 58 টাকা

সুতরাং, শিখার কাছে আছে = a + 12 টাকা
= (58 - 12) টাকা
= 70 টাকা

প্রশ্ন: x + y = 8 এবং x² + y² = 34 হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 8
x² + y² = 34

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + 2xy + y²
⇒ (x + y)² = x² + y² + 2xy
⇒ (8)² = 34 + 2xy
⇒ 64 = 34 + 2xy
⇒ 2xy = 64 - 34
⇒ 2xy = 30
∴ xy = 15

প্রশ্ন: 9 × 3^{a - 1} = 27^a হলে a এর মান কত?

সমাধান:
9 · 3^{a - 1} = 27^a
⇒ 3² · 3^{a - 1} = (3³)^a
⇒ 3^{2 + a - 1} = 3^3a
⇒ 2 + a - 1 = 3a
⇒ a + 1 = 3a
⇒ 3a - a = 1
⇒ 2a = 1
∴ a = 1/2

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 9p² + 18p - 40 এর একটি উৎপাদক নয়?

সমাধান:
9p² + 18p - 40
= 9p² + 30p - 12p - 40
= 3p(3p + 10) - 4(3a + 10)
= (3p + 10)(3p - 4)

প্রশ্ন: 5a + 3b = 22 এবং 2a = b হলে, (a, b) এর মান কত?

সমাধান:
5a + 3b = 22 ........... (1)
2a = b .............. (2)
(1) নং সমীকরণে b = 2a বসিয়ে পাই,
5a + 3 · 2a = 22
⇒ 5a + 6a = 22
⇒ 11a = 22
∴ a = 2
(2) নং এ a এর মান বসিয়ে পাই,
2 × 2 = b
∴ b = 4
সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান (a, b) = (2, 4)

প্রশ্ন: (2²)^{a + 2} = 256 হলে, a  এর মান কত?

সমাধান:
(2²)^{a + 2} = 256
⇒ 2^{(2a + 4)} = 2⁸
⇒ 2a + 4 = 8
⇒ 2a = 8 - 4
⇒ 2a = 4
∴ a = 2