Math Master

প্রশ্ন: দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি ৭। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে ৯ বেশি। সংখ্যাটির অর্ধেকের মান কত?

সমাধান: 
ধরি, একক স্থানীয় অঙ্ক = ক
তাহলে, দশক স্থানীয় অঙ্ক = ৭ - ক
∴ সংখ্যাটি = ১০(৭ - ক) + ক = ৭০ - ৯ক
∴ অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = ১০ক + (৭ - ক) = ৯ক + ৭

প্রশ্নমতে,
৯ক + ৭ - ৯ = ৭০ - ৯ক
⇒ ৯ক + ৯ক = ৭০ - ৭ + ৯
⇒ ১৮ক = ৭২
∴ ক = ৪

∴ সংখ্যাটি = ৭০ - (৯ × ৪) = ৩৪
∴ সংখ্যাটির অর্ধেক = ৩৪/২ = ১৭

প্রশ্ন: যদি log_ab = 6 এবং log_14a8b = 3 হয় তবে a এর মান কত?

সমাধান:
log_ab = 6
⇒ a⁶ = b

আবার,
log_14a8b = 3
⇒ (14a)³ = 8b
⇒ 14³ ⋅ a³ = 8 ⋅ a⁶
⇒ 14³ = 8a³
⇒ a³ = 14³/2³
⇒ a³ = (14/2)³
⇒ a³ = 7³
∴ a = 7 

প্রশ্ন: গণিত পরীক্ষায় ৩০% পরীক্ষার্থী পাশ করেছে। যারা পাশ  করতে পারেনি তাদের ১৫ জন গণিত কোর্সে অংশগ্রহণ করেছে এবং ২৭ জন উক্ত কোর্সে অংশগ্রহণ করেনি। কতজন পরীক্ষার্থী পরীক্ষায় অংশগ্রহণ করেছে?

সমাধান: 
গণিত পরীক্ষায় ৩০% পরীক্ষার্থী পাশ করেছে।
ফেল করেছে = (১০০ - ৩০)% = ৭০%

যারা পাশ  করতে পারেনি তাদের ১৫ জন গণিত কোর্সে অংশগ্রহণ করেছে এবং ২৭ জন উক্ত কোর্সে অংশগ্রহণ করেনি।
অর্থাৎ, (১৫ + ২৭) বা ৪২ জন পাশ করেনি।

ধরি, মোট পরীক্ষার্থী = ক জন
ক এর ৭০% = ৪২
⇒ ক × (৭০/১০০) = ৪২
∴ ক = (৪২ × ১০০)/৭০
= ৬০ জন

প্রশ্ন: একটি মাঠের দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার, প্রস্থ ১২ মিটার। মাঠের চারপাশে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য = ১৫ + (২ × ২) = ১৯ মিটার
রাস্তাসহ মাঠের প্রস্থ = ১২ + (২ × ২) = ১৬ মিটার
∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = ১৯ × ১৬ = ৩০৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: 7 + 13 + 19 + 25 + ..... ধারাটির 21 তম পদ কোনটি?

সমাধান:
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা যার,
প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 13 - 7 = 6

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
= 7 + (21 - 1) × 6
= 7 + 20 × 6
= 127

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার এক-পঞ্চমাংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কতগুণ?

সমাধান: 
ধরি,
সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য = a
সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = a²
সরলরেখার এক পঞ্চমাংশের উপর অঙ্কিত বর্গ = (a/5)² = a²/25

∴ একটি সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার এক-পঞ্চমাংশের উপর অঙ্কিত বর্গের 25 গুণ।

প্রশ্ন: (p + 3)(p - 3) কে p² - 7 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
(p + 3)(p - 3) = p² - 3²
= p² - 9

এখন,
p² - 7 ) p² - 9 ( 1
             p² - 7
_______________________
                 - 2

প্রশ্ন: বিক্রয় করসহ একটি দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য ৩০৮ টাকা। বিক্রয় করের হার ১০%। যদি দ্রব্যটি বিক্রয়ে দোকানদারের ১২% লাভ হয়, তবে দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
বিক্রয় কর ১০% হলে,
কর সংযোজন মূল্য = (১০০ + ১০) টাকা = ১১০ টাকা

কর সংযোজন মূল্য ১১০ টাকা হলে কর বাদে মূল্য = ১০০ টাকা
∴ কর সংযোজন মূল্য ১ টাকা হলে কর বাদে মূল্য = ১০০/১১০ টাকা
∴ কর সংযোজন মূল্য ৩০৮ টাকা হলে কর বাদে মূল্য = (১০০ × ৩০৮)/১১০ টাকা
= ২৮০ টাকা

১২% লাভে,
বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১২) টাকা = ১১২ টাকা

বিক্রয়মূল্য ১১২ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১১২ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ২৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ২৮০)/১১২ টাকা
= ২৫০ টাকা

প্রশ্ন: 6 জন বালক ও 4 জন বালিকা হতে 5 জনকে কতভাবে ভর্তির জন্য নির্বাচিত করা যাবে, যাতে ভর্তিকৃতদের মধ্যে সর্বদা শুধুমাত্র 2 জন বালিকা থাকে?

সমাধান:
6 জন বালক থেকে 3 জন নির্বাচন করা যায় = ⁶c₃ = 20 ভাবে
4 জন বালিকা থেকে 2 জন নির্বাচন করা যায় = ⁴c₂ = 6 ভাবে
∴ মোট উপায় = 20 × 6 = 120 ভাবে

প্রশ্ন: কত টাকার ৩/৫ অংশ ৯০ টাকার ৫/৬ অংশের সমান?

সমাধান:
ধরি, 
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৩/৫ = ৯০ এর ৫/৬
⇒ ৩ক/৫ = (৯০ × ৫)/৬
∴ ক = (৯০ × ৫ × ৫)/(৬ × ৩)
= ১২৫

প্রশ্ন: বার্ষিক ১২% হার সুদে কত টাকা বিনিয়োগ করলে ১০ বছরে তা থেকে ৩০০ টাকা সুদ পাওয়া যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুদ = (আসল × সুদের হার × সময়)/১০০
∴ আসল = (সুদ × ১০০)/(হার × সময়)
= (৩০০ × ১০০)/(১২ × ১০) 
= ২৫০ টাকা

∴ বার্ষিক ১২% হার সুদে ২৫০ টাকা বিনিয়োগ করলে ১০ বছরে তা থেকে ৩০০ টাকা সুদ পাওয়া যাবে।

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে এর পরিধি কতগুণ বৃদ্ধি পায়?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাস = 2r
তাহলে, বৃত্তের পরিধি = 2πr
ব্যাস দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে, নতুন ব্যাস = 2r + (2 × 2r) = 6r

∴ নতুন পরিধি = 2π × (6r/2) [ব্যাসার্ধ = ব্যাস/2]
= 2π × 3r
= 6πr
∴ পরিধি বৃদ্ধি পেয়েছে (6πr - 2πr) = 4πr
যা 2πr এর দ্বিগুণ।

প্রশ্ন: 2x² + 6x - 80 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
2x² + 6x - 80
= 2(x² + 3x - 40)
= 2(x² + 8x - 5x - 40)
= 2{x(x + 8) - 5(x + 8)}
= 2(x + 8)(x - 5)

প্রশ্ন: 2x + 3y - 1 = 0 এবং 5x - 2y + 7 = 0 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কত? 

সমাধান:
2x + 3y = 1 .............(1)
5x - 2y = - 7 .............(2)

{(1)নং × 5} - {(2)নং × 2} ⇒
10x + 15y - 10x + 4y = 5 + 14
⇒19y =19
∴ y = 1

y এর মান (1)নং  সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2x + 3 ⋅ 1 = 1
⇒ 2x = 1 - 3
⇒ 2x = - 2
∴ x = - 1

∴(x, y) = (-1, 1)

প্রশ্ন: 6 < x < 10 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে-

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (6 + 10)/2
= 16/2
= 8

এখন,
6 < x < 10
⇒ 6 - 8 < x - 8 < 10 - 8 [উভয়পক্ষ থেকে 8 বিয়োগ করে]
⇒ - 2 < x - 8 < 2
⇒ |x - 8| < 2

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 8| < 2

প্রশ্ন: 52টি তাস থেকে একটি টেক্কা টানার ঘটনা A এবং একটি হরতন টানার ঘটনা B হলে, P(A∪B) এর মান কত?

সমাধান:
P(A) = 4/52 = 1/13
P(B) = 13/52 = 1/4
∴ P(A∩B) = P(A) × P(B) = (1/13) × (1/4) = 1/52

∴ P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
= (1/13) + (1/4) - (1/52)
= (4 + 13 - 1)/52
= 16/52
= 4/13

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্য : বিক্রয়মূল্য = ৫ : ৬ হলে শতকরা লাভ কত?

সমাধান:
ক্রয়মূল্য : বিক্রয়মূল্য = ৫ : ৬

ক্রয়মূল্য = ৫ক টাকা 
বিক্রয়মূল্য = ৬ক টাকা

লাভ = ৬ক - ৫ক = ক টাকা

৫ক টাকায় লাভ হয় = ক টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ক/৫ক টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (ক × ১০০)/৫ক টাকা
= ২০ টাকা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৯ সে.মি হলে এর উচ্চতা কত সে.মি?

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 9 সে.মি
ত্রিভুজটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 9/3 = 3 সে.মি

∴ উচ্চতা, AD = √(AB² - BD²)
= √{3² - (3/2)²}
= √{9 - (9/4)}
= √{(36 - 9)/4}
= √(27/4)
= (3√3)/2

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত 2 : 3 : 4 এবং তাদের গ.সা.গু 4 হলে ল.সা.গু কত?

সমাধান:
∴ ল.সা.গু = গ.সা.গু × রাশিগুলোর অনুপাতের ল.সা.গু
= 4 × 12 [রাশিগুলোর অনুপাতের ল.সা.গু = 12]
= 48

প্রশ্ন: একটি স্কুলের ৭০% ছাত্র ফুটবল, ৭৫% ছাত্র হকি এবং ৮০% ছাত্র ক্রিকেট খেলতে পছন্দ করে। ঐ স্কুলের শতকরা কত জন ছাত্র তিনটি খেলাই খেলতে পছন্দ করে?

সমাধান:
ফুটবল খেলতে পছন্দ করে না = ১০০ - ৭০ = ৩০%
হকি খেলতে পছন্দ করে না = ১০০ - ৭৫ = ২৫%
ক্রিকেট খেলতে পছন্দ করে না = ১০০ - ৮০ = ২০%
একসাথে তিনটির অন্তত একটি পছন্দ করে না = ৩০ + ২৫ + ২০ = ৭৫%
∴ তিনটি খেলাই পছন্দ করে = ১০০ - ৭৫ = ২৫%

প্রশ্ন: a ও b দুটি বিজোড় সংখ্যা। নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
যেকোনো দুটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সবসময় জোড় হয় এবং গুণফল বিজোড় হয়।
a + b  একটি জোড় সংখ্যা। 

প্রশ্ন: যদি A = {x : x² = 9, 2x = 4} হয় তবে A = ?

সমাধান:
x² = 9 
⇒ x² = 3²
⇒ x = ±3
∴ x = 3, -3

আবার,
2x = 4
∴ x = 2

কমা থাকার কারণে x প্রদত্ত দুইটি শর্তকেই মেনে চলতে হবে।
এমন কোনো উপাদান পাওয়া সম্ভব নয় যার বর্গ 9 এর সমান এবং দ্বিগুণ 4 এর সমান ।

∴ A = {}

প্রশ্ন: 2টি টেবিল ও 4টি চেয়ারের মূল্য 1600 টাকা। সমপরিমাণ টাকা দিয়ে 1টি টেবিল ও 6টি চেয়ার কেনা যায়। 2টি চেয়ারের মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
1টি টেবিলের মূল্য = x টাকা
1টি চেয়ারের মূল্য = y টাকা

১ম শর্তানুসারে,
2x + 4y = 1600
বা, x + 2y = 800 …..(i) [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

২য় শর্তানুসারে,
x + 6y = 1600 …..(ii)

(ii) নং থেকে (i) নং বিয়োগ করে পাই,
x + 6y - x - 2y = 1600 - 800
বা, 4y = 800
বা, y = 800/4
∴ y = 200

∴ 2টি চেয়ারের মূল্য = 200 × 2 = 400 টাকা।

প্রশ্ন: একটি বাড়ি 15 ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়ির দেওয়াল থেকে 8 ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়ির ছাদ ছুয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?

সমাধান:

ধরি,
মইটি y ফুট লম্বা।

সমকোণী ত্রিভুজের সূত্রানুযায়ী,
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
বা, AC² = AB² + BC²
বা, y² = (15)² + (8)²
বা, y² = 225 + 64
বা, y² = 289
বা, y² = 17²
∴ y = 17 ফুট

∴ মইটি 17 ফুট লম্বা।

প্রশ্ন: SCIENCE শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে সব কয়টি বর্ণকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
SCIENCE - শব্দটিতে,
মোট বর্ণ ৭টি, যার মধ্যে ৩টি স্বরবর্ণ।
স্বরবর্ণগুলোকে একটি ধরে,
মোট ৫টি বর্ণ সাজানোর উপায় সংখ্যা = ৫!/২! (C দুটি)
= ৬০

আবার,
স্বরবর্ণ ৩টি কে সাজানোর উপায় = ৩!/২! (E দুটি)
= ৩
∴ মোট সাজানোর উপায় সংখ্যা = ৬০ × ৩ = ১৮০