৪০ দিনে ৪৭তম বিসিএস প্রস্তুতি - Archived

প্রশ্ন: 3^{x + 2} = 27^{x - 1} হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
3^{x + 2} = 27^{x - 1}
⇒ 3^{x + 2} = (3³)^{x - 1}
⇒ 3^{x + 2} = 3^{3(x - 1)}
⇒ 3^{x + 2} = 3^{3x - 3}
⇒ x + 2 = 3x - 3
⇒ 2x = 5
∴ x = 5/2

প্রশ্ন: 2log₅25 + 3log₂16 + 4log₃27 এর মান কত?

সমাধান:
2log₅25 + 3log₂16 + 4log₃27
= 2log₅5² + 3log₂2⁴ + 4log₃3³
= 2 × 2 . log₅5 + 3 × 4 . log₂2 + 4 × 3 . log₃3 [log_aMⁿ = n.log_aM]
= 4 + 12 +12 [log_aa = 1]
= 28

প্রশ্ন: ৯ + ১৪ + ১৯ + ২৪ + ...... ধারাটির কোন পদ ১২৯?

সমাধান:
এখানে,
ধারার ১ম পদ a = ৯
সাধারণ অন্তর d = ১৪ - ৯ = ৫
ধারার n তম পদ = ১২৯

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
৯ + (n-1) × ৫ = ১২৯
⇒ ৯ + ৫n - ৫ = ১২৯
⇒ ৫n = ১২৯ + ৫ - ৯
⇒ ৫n = ১২৫
⇒ n = ১২৫/৫
∴ n = ২৫

∴ ২৫ তম পদটি হলো ১২৯

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারা যেখানে প্রথম পদ ৮ এবং পরবর্তী প্রতিটি পদ আগের পদ থেকে ৪ বেশি, ধারার ১০০তম পদটি কত?

সমাধান:
১ম সংখ্যাটি = ১ম পদ, a = ৮
সাধারণ অন্তর, d = ৪

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ ১০০ তম পদ = ৮ + (১০০ - ১) × ৪
= ৮ + (৯৯ × ৪)
= ৮ + ৩৯৬
= ৪০৪

∴ ১০০ তম পদ হলো ৪০৪

প্রশ্ন: log_mn² = 4a এবং log_nm³ = 6b হলে, ab = কত?

সমাধান: 
log_mn² = 4a
⇒ 2log_mn = 4a
⇒ log_mn = 2a

আবার,
log_nm³ = 6b
⇒ 3log_nm = 6b
⇒ log_nm = 2b

আমরা জানি,
log_mn = 1/log_nm
⇒ 2a = 1/2b
⇒ 2a × 2b = 1
⇒ 4ab = 1
∴ ab = 1/4 

প্রশ্ন: (81)^0.2 × (81)^0.05 = ?

সমাধান:
(81)^0.2 × (81)^0.05 
= (81)^{0.2 + 0.05}
= (81)^0.25
= (81)^1/4
= (3⁴)^1/4
= (3)^{4 × 1/4}
= 3¹
= 3

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে চতুর্থ পদটি 64 এবং সপ্তম পদটি 512 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r

চতুর্থ পদ = 64
∴ ar^{4 - 1} = 64
⇒ ar³ = 64 ......(1)

সপ্তম পদ = 512
∴ ar⁶ = 512 ......(2)

(2) নং কে (1) দ্বারা ভাগ করে পায়ী,
ar⁶/ar³ = 512/64
⇒ r^{6 - 3} = 8
⇒ r³ = 2³
⇒ r = 2

(1) নং হতে পাই,
a . 2³ = 64
⇒ a = 64/8
⇒ a = 8

∴ প্রথম পদ হলো 8

প্রশ্ন:  2 + x + y + 128 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 2

ধরি,
সাধারণ অনুপাত = r

প্রশ্নমতে,
ar^4-1 = 128
⇒ ar³ = 128
⇒ 2 . r³ = 128
⇒ r³ = 64
⇒ r³ = 4³
∴ r = 4

∴ ধারাটির দ্বিতীয় পদ,
x = ar^{2 - 1}
= 2 × 4^{2 - 1}
= 2 × 4¹
∴ x = 8

∴ ধারাটির তৃতীয় পদ,
y = ar^{3 - 1}
= 2 × 4^{3 - 1}
= 2 × 4²
= 2 × 16
∴ y = 32

∴ xy = 8 × 32
= 256

প্রশ্ন: log₉(3/243) এর মান কত?

সমাধান:
log₉(3/243)
= log₉(1/81)
= log₉(1/3⁴)
= log₉(3^-4)
= - 4 . log₉3  [log_aMⁿ = n.log_aM]
= - 4 . log₉(√9)
= - 4 . log₉9^(1/2)
= - 4 . 1/2 . log₉9
= - 2 . 1  [log_aa = 1]
= - 2

প্রশ্ন: (100x)⁰ + 100x⁰ + (100x)⁰ = ?

সমাধান: 
(100x)⁰ + 100x⁰ + (100x)⁰
= 1 + (100 × 1) + 1
= 1 + 100 + 1
= 102

প্রশ্ন: ৩ + ৭ + ১১ + ......... + ২০৩ = ?

সমাধান:
এখানে ১ম পদ a = ৩ সাধারণ অন্তর d = ৭ - ৩ = ৪

ধরি,

n তম পদ = ২০৩

প্রশ্নমতে,
a + (n-1)d = ২০৩
⇒ ৩ + (n - ১)৪ = ২০৩
⇒ ৩ + ৪n - ৪ = ২০৩
⇒ ৪n - ১ = ২০৩
⇒ ৪n = ২০৪
∴ n = ৫১

∴ ৫১ টি পদের সমষ্টি S_n = (n/2) . (a + l)
= (৫১/২) × (৩ + ২০৩)
= (৫১/২) × ২০৬
= ৫১ × ১০৩
= ৫২৫৩

প্রশ্ন: log₁₀5 + log₁₀(3b + 1) = log₁₀(b + 2) + 1 হলে , b এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀5 + log₁₀(3b + 1) = log₁₀(b + 2) + 1
⇒ log₁₀5 + log₁₀(3b + 1) = log₁₀(b + 2) + log₁₀10
⇒ log₁₀{5(3b + 1)} = log₁₀{10(b + 2)}
⇒ log₁₀(15b + 5) = log₁₀(10b + 20)
⇒ 15b + 5 = 10b + 20
⇒ 5b = 15
⇒ b = 15/3
∴ b = 3

প্রশ্ন: রুমানা তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 2000 টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 200 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি 15 তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করবেন?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ a = 2000
সাধারণ অন্তর d = 200

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1)d
= 2000 + (14 × 200)
= 2000 + 2800
= 4800

∴ রুমানা 15 তম মাসে সঞ্চয় করেন 4800 টাকা।

প্রশ্ন: 4 + 9 + 14 + 19 + …. ধারাটির প্রথম 25 টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে, 
9 - 4 = 5 , 14 - 9 = 5
∴ এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 4 = 5
n = 25

∴ ধারাটির প্রথম 25 পদের সমষ্টি, S_n = n/2{2a + (n - 1)d}
= (25/2){(2 × 4)+ (25 - 1) × 5}
= (25/2){8 + (24 × 5)}
= (25/2)(8 + 120)
= (25/2) × 128
= 25 × 64
= 1600

প্রশ্ন: 5, 15, 45, …, 3645 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 15/5 = 3 (r > 1)

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 3645
⇒5 × 3^{n - 1} = 3645
⇒ 3^{n - 1} = 3645/5
⇒ 3^{n - 1} = 729
⇒ 3^n-1 = 3⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7

∴ ধারাটির সমষ্টি S_n= a.(rⁿ - 1)/(r - 1)
= {5 ×(3⁷ - 1)}/(3 - 1)}
= 5 × (2187 - 1)/2
= 5 × (2186/2)
= 5 × 1093
= 5465

প্রশ্ন: (2⁴)^{x + 2} = 1024 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(2⁴)^{x + 2} = 1024
⇒ 2^{4(x + 2)} = 1024
⇒ 2^{(4x + 8)} = 2¹⁰
⇒ 4x + 8 = 10
⇒ 4x = 10 - 8
⇒ 4x = 2
⇒ x = 2/4
∴ x = 1/2

প্রশ্ন: 

সমাধান:

প্রশ্ন: 64 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান: 
64 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম
= log₂64
= log₂2⁶
= 6log₂2
= 6 × 1
= 6

প্রাকৃতিক গ্যাস: 
- প্রাকৃতিক গ্যাস বিদ্যুৎ উৎপাদনে সর্বাধিক ব্যবহৃত হয়। 
- বাংলাদেশে গ্যাসের ব্যবহারকারিদের ৮টি গ্রাহকশ্রেণি রয়েছে।
- বিদ্যুৎ উৎপাদনে ৩৭%, শিল্পে ২৩%, ক্যাপটিভ বিদ্যুতে ১৮%, গৃহস্থালিতে ১০%, সার উৎপাদনে ৭%, সিএনজিতে ৪% এবং বাণিজ্যিক ও চা শিল্পে ১% গ্যাস ব্যবহৃত হয়।
- কৃষি সেচ মৌসুম, রমজান মাস ও গ্রীষ্মকালে বিদ্যুৎ উৎপাদনে গ্যাসের চাহিদা আরো বেশি থাকে। 

উৎস: বাংলাদেশ তেল, গ্যাস ও খনিজসম্পদ কর্পোরেশন (পেট্রোবাংলা)