Math Master

প্রশ্ন: 2^{2a + 1} = 512 হলে a এর মান কত? 

সমাধান:
2^{2a + 1} = 512
2^{2a + 1} = 2⁹
2a + 1 = 9
2a = 9 - 1
2a = 8
a = 4

প্রশ্ন: 4 + 6 + 8 + ................ধারাটির কোন পদ 202 ? 

সমাধান: 
এখানে
১ম পদ a = 4
সাধারণ অন্তর d =6 - 4 = 2

আমরা জানি,
 n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, 202= 4 +(n - 1)×(2)
বা, 202= 4 + 2n - 2
বা, 202 = 2n + 2
বা 2n = 202 - 2
বা  2n = 200
বা n = 200/2
   n  = 100

প্রশ্ন: 3^{x - 4} = 9a^{x - 6} হলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
3^{x - 4} = 9a^{x - 6} 
3^{x - 4}/9  = a^{x - 6} 
3^{x - 4}/3² = a^{x - 6}
3^{x - 4 - 2} = a^{x - 6}
3^{x - 6} = a^{x - 6}
3^{x - 6}/a^{x - 6} = 1
(3/a)^{x - 6} =(3/a)⁰
x - 6 = 0
x = 6

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর অনুক্রমের প্রথম পদ 3 এবং দ্বিতীয় পদ 6 হলে অনুক্রমটির প্রথম 16টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এখানে
ধারাটির প্রথম পদ a = 3
সাধারণ অন্তর d = 6 - 3 = 3
এবং পদসংখ্য n = 16

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার ১৬তম পদের সমষ্টি
= (16/2){2. a + (16 - 1)d}
= 8{2 × 3 + 15 × 3}
= 8(6 + 45)
= 8 × 51
= 408

প্রশ্ন: √(2ⁿ) = 32 হলে n এর মান কত?

সমাধান: 
√(2ⁿ) = 32 
⇒ (2ⁿ)^1/2 = 32
⇒ 2^n/2 = 2⁵
⇒ n/2 = 5
 n = 10

প্রশ্ন: (1³ + 2³ + 3³ + .............. + n³)/(1 + 2 + 3 + ............... + n) = 66 হলে, n এর মান কত?

সমাধান: 
(1³ + 2³ + 3³ + .............. + n³)/(1 + 2 + 3 + ............... + n) = 66
{n(n + 1)/2}²/{n(n + 1)/2} = 66
n(n + 1)/2 = 66
n(n + 1) = 132
n² + n - 132 = 0 
n² + 12n - 11n - 132 = 0 
n(n + 12) - 11 (n + 12 )= 0 
(n + 12)(n - 11) = 0
হয় 
n + 12 = 0 
n = - 12 [গ্রহণযোগ্য নয়]
অথবা 
n - 11 = 0
n = 11

প্রশ্ন: x^x√x = (x√x)^x হলে √x এর মান কত? 

সমাধান: 
x^x√x = (x√x)^x
(x^x)^√x = (x¹.x^1/2)^x
(x^x)^√x = (x^3/2)^x
(x^x)^√x = (x^x)^3/2
√x = 3/2

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + 7 + .............ধারাটির 2n + 1 সংখ্যক পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
এখানে
ধারাটির প্রথম পদ a = 1
সাধারণ অন্তর d = 2
এবং পদসংখ্য = 2n + 1

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার 2n + 1 সংখ্যক পদের সমষ্টি
= {(2n + 1)/2}{2. a + ( 2n + 1 -1)d}
= {(2n + 1)/2}{2. 1 + (2n).2}
= {(2n + 1)/2}(2 + 4n)
= {(2n + 1)/2}(4n + 2)
= {(2n + 1)/2} × (4n +2)
= {(2n + 1)/2}×2(2n + 1)
= (2n + 1)²

বিকল্প :
1 + 3 + 5 + 7 + ……… ধারাটির n টি পদের সমষ্টি = n²
1 + 3 + 5 + 7 + ……… ধারাটির 2n + 1 টি পদের সমষ্টি = (2n + 1)²

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 32 এবং 16 হলে ধারাটির 10তম পদ কত?

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 32
ধারাটির দ্বিতীয় পদ, ar^{2 -1} = ar = 16

অতএব সাধারণ অনুপাত, r = 16/32 = 1/2

∴ 10তম পদ ar^{10 - 1} = 32 (1/2)⁹
                             = (2⁵ × 1)/2⁹
                             = 1/2⁴
                             = 1/16

প্রশ্ন: 5 - 5 + 5 - 5 + ............. ধারাটির (2n + 4) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধরি 
১ম পদ = 5
সাধারণ অনুপাত r = - 5/5 = - 1 

গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি a(1 - rⁿ)/(1- r)
গুণোত্তর ধারার (2n + 4) সংখ্যক পদের সমষ্টি 
= 5{1 - (- 1)^{(2n + 4)}}/{1 - (- 1)}
= 5{1 - 1}/{1 + 1}
= 5 × 0/2
= 0/2
= 0

প্রশ্ন: a^1/6 = √5 হলে a = কত? 

সমাধান: 
a^1/6 = √5
(a^1/6)⁶ =(√5)⁶
a = (5^1/2)⁶
a = 5³
a = 125

প্রশ্ন: কোনো অনুক্রমের n তম পদ = {1 - (- 1)⁵ⁿ}/2 হলে 11তম পদ কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
 n তম পদ = {1 - (- 1)⁵ⁿ}/2
11তম পদ = {1 - (- 1)⁵⁵}/2
                 = (1+1)/2
                 = 2/2 
                 = 1

প্রশ্ন: 5 + x + y + 625 + ................. গুণোত্তর ধারাটির x পদের মান কত?

সমাধান: 
এখানে,
৪র্থ পদ ar^{4 -1} = 625
বা ar³ = 625 ......... (i)

প্রথম পদ, a = 5 ....... (ii)
(i) ÷ (ii) = 
ar³/a = 625/5
r³ = 125
r³ = 5³
∴ r = 5
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত, r = 5
২য় পদ x  = 5 × 5 = 25

প্রশ্ন: log₁₀x = - 3 এর মান কত? 

সমাধান: 
log₁₀x = - 3
10^{- 3} = x
x = 1/10³
x = 1/1000
x = 0.001

প্রশ্ন: 4, 4/5, 4/25,................ অনুক্রমটির 10তম পদ কত? 

সমাধান: 
১ম পদ a = 4
সাধারণ অনুপাত r = (4/5) ÷ 4
= (4/5) × (1/4)
= 1/5
n তম পদ = ar^{n - 1} 
10 তম পদ = ar^{10 - 1} 
= 4(1/5)⁹
= 4/5⁹

প্রশ্ন: log₆(1/36) = কত? 

সমাধান: 
 log₆(1/36)
= log₆(1/6²)
= log₆6^{- 2}
= - 2 log₆6
= - 2 × 1 
= - 2

প্রশ্ন: 7√7 এর 7 ভিত্তিক লগ = কত? 

সমাধান: 
= log₇7√7
= log₇(7 × 7^1/2)
= log₇7^3/2
=(3/2)log₇7
= (3/2).1
= 3/2