Math Master

প্রশ্ন: 2a² - 5a - 12 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
2a² - 5a - 12
= 2a² - 8a + 3a - 12
= 2a(a - 4) + 3(a - 4)
= (2a + 3) (a - 4)

প্রশ্ন: 4a + (4/a) + 8 = 0 হলে, a² + 2a + 1 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 4a + (4/a) + 8 = 0
 4a + (4/a) = - 8
⇒ 4{a + (1/a)} = - 8
⇒ a + (1/a = - (8/4)
⇒ (a² +1)/a = - 2
⇒ a² + 1 = - 2a
∴ a² + 2a + 1 = 0

প্রশ্ন: (p + 4)(p - 4) কে p² - 5 দিয়ে ভাগ করলে ভাগ শেষ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p² - 5 = 0
⇒ p² = 5
⇒ p = √5

তাহলে,
f(p) = √5
∴ f(p) = (p + 4) (p - 4)
= p² - 4²
= (√5)² - 16
= 5 - 16
= - 11

প্রশ্ন: নিচের কোনটি q³ - 21q - 20 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
এখানে,
q = 1 বসিয়ে পাই,
q³ - 21q - 20 = (-1)³ - 21 (-1) - 20
= -1 + 21 - 20
= 0

∴ (q + 1) হবে রাশিটির একটি উৎপাদক। 
q³ - 21 - 20
= q³ + p² - q² - q - 20q - 20
= q²(q + 1) - q(q +1) - 20(q + 1)
= (q + 1) (q² - q - 20)

প্রশ্ন: a² + 1 - √5a = 0 হলে (a - 1/a)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + 1 - √5a = 0
⇒ a² + 1 = √5a
⇒ (a² + 1)/a = √5a/a
⇒ (a²/a) - (1/a) = √5
∴ a + (1/a) = √5

এখন,
{a - (1/a)}² = {a + (1/a)}² - 4 · a · (1/a)
= (√5)² - 4
= 5 - 4
= 1

প্রশ্ন: a² + a - 20 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
a² + a - 20 
= a² + 5a - 4a - 20
= a(a + 5) - 4(a + 5)
= (a + 5)(a - 4)

প্রশ্ন: a + b + c = 6 এবং a² + b² + c² = 14 হলে, (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 6 এবং
a² + b² + c² = 14

প্রদত্ত রাশি = (a - b)² + (b - c)² + (c - a)²
= a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + c²
= 2a² + 2b² + 2c² - 2(ab + bc + ca)
= 2(a² + b² + c²) - {(a + b + c)² - (a² + b² + c²)}
= (2 × 14) - {(6)² - 14}
= (2 × 14) - (36 - 14)
= 28 - 22
= 6

প্রশ্ন: a + b = √7, a - b = √3 হলে, 8ab(a² + b²) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √7
a - b = √3

এখন,
8ab(a² + b²)
= 4ab × 2(a² + b²)
= {(a + b)² - (a - b)²} × {(a + b)² + (a - b)²}
= {(√7)² - (√3)²} × {(√7)² + (√3)²}
= (7 - 3) × (7 + 3)
= 4 × 10
= 40

প্রশ্ন: p(p +1)(p + 2)(p + 3) - 15 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
p(p +1)(p + 2)(p + 3) - 15
= p(p +3)(p + 1)(p + 2) - 15
= (p² + 3p)(p² + p + 2p + 2) - 15
= (p² + 3p) (p² + 3p + 2) - 15

এখন,
 p² + 3p = a ধরলে প্রদত্ত রাশিমালা,
a(a + 2) 
⇒ a(a + 2) - 15
= a² + 2a - 15
= a² - 3p + 5p - 15
= a(a - 3) + 5(a - 3)
= (a - 3)(a + 5)
= ( p² + 3p -3)(p² + 3p + 5) [a এর মান বসিয়ে]
∴ ( p² + 3p -3)(p² + 3p + 5) 

প্রশ্ন: a = √6 + √5 হলে, a³ + (1/a³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = √6 + √5
⇒ 1/a = 1/(√6 + √5)
⇒ 1/a = (√6 - √5)/(√6 + √5)(√6 - √5)
⇒ 1/a = (√6 - √5)/{(√6)² - (√5)²}
⇒ 1/a = √6 - √5

এখন,
a + (1/a) = √6 + √5 + √6 - √5 = 2√6
∴ a³ + (1/a³) = {a + (1/a)}³ - 3 × a × (1/a){a + (1/a)}
= (2√6)³ - 3 × 2√6
= 48√6 - 6√6
= 42√6

প্রশ্ন: p⁶ - 64 এর একটি উৎপাদক নয়-

সমাধান:
p⁶ - 64
= (p³)² - (8)²
= (p³ + 8)(p³ - 8)
= (p³ + 2³)(p³ - 2³)
= (p + 2)(p² - 2p + 2²)(p - 2)(p² + 2p + 2²)
= (p + 2)(p² - 2p + 4)(p - 2)(p² + 2p + 4)

প্রশ্ন: (a/b) + (b/a) = 6 হলে, (a²/b²) + (b²/a²) + 1 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(a/b) + (b/a) = 6

এখন,
(a²/b²) + (b²/a²) + 1
= (a/b)² + (b/a)²  + 1
= {(a/b) + (b/a)}2 - 2 .(a/b). (b/a) + 1
= {(a/b) + (b/a)}² - 2 + 1
= 6² - 2 + 1
= 36 - 2 + 1
= 35

প্রশ্ন: যদি a + (4/a) = 4 হয়, তবে a/(a² + a - 2) এর মান কত?

সমাধান:
a + (4/a) = 4
⇒ (a² + 4)/a = 4
⇒ a² - 4a + 4 = 0
⇒ a² - 2 · a · 2 + 2² = 0
⇒ (a - 2)² = 0
⇒ a - 2 = 0
∴ a = 2

∴ a/(a² + a - 2) = 2/(2² + 2 - 2) = 2/4 = 1/2

প্রশ্ন: a + b + c = 0 হলে, (1/27)(a³ + b³ + c³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 0
a + b = - c

এখন,
(1/27)(a³ + b³ + c³)
= (1/27){(a + b)³ - 3ab(a + b) + c³}
= (1/27){(- c)³ - 3ab( - c) + c³}
= (1/27)( - c³ + 3abc + c³)
= (1/27) × 3abc
= abc/9

প্রশ্ন: a² + a - 2 এর উৎপাদকগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
a² + a - 2
= a² + 2a - a - 2
= a(a + 2) - 1(a + 2)
= (a + 2)(a - 1)

উৎপাদকগুলোর সমষ্টি = a + 2 + a - 1
= 2a + 1

প্রশ্ন: p এর মান কত হলে (9 - 12a + pa²) রাশিটি পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান:
9 - 12a + pa²
= (3)² - 2 × 3 × 2a + (2a)² - pa² - (2a)²
= (3 - 2a)² + pa² - 4a²

∴ রাশিটি পূর্ণ বর্গ হলে,
pa² - 4a² = 0
⇒ pa² = 4a²
∴ p = 4
p এর মান 4 হলে রাশিটি পূর্ণ বর্গ হবে।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি (p² + q²)(p² - q²)(p⁴ + q⁴) এর গুণফল?

সমাধান:
(p² + q²)(p² - q²)(p⁴ + q⁴)
={(p²)² - (q²)²}(p⁴ + q⁴)
=(p⁴ -q⁴)(p⁴ + q⁴)
= (p⁴)² - (q⁴)²
= p⁸ - q⁸

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 8a + ap³ এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
 8a + ap³
= a(8 + p³)
=a{(2)³ + (p)³}
= a(2 + p) {(2)² - 2p + (p)²}
= a(2 + p) (4 - 2p + p²)