Bank Math Master

Question: If (a/b)^{3x - 4} = (b/a)^{x + 2}, then what is the value of x?

Solution:
Given, (a/b)^{3x - 4} = (b/a)^{x + 2}
⇒ (a/b)^{3x - 4} = (a/b)^{- (x + 2)}
⇒ (a/b)^{3x - 4} = (a/b)^{- x - 2}
⇒ 3x - 4 = - x - 2
⇒ 3x + x = - 2 + 4
⇒ 4x = 2
∴ x = 1/2

Question: If the sum of five consecutive odd integers is 255, what is the largest number?

Solution:
ধরি, মাঝের সংখ্যাটি = x
সুতরাং, 5টি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা হবে যথাক্রমে: x - 4, x - 2, x, x + 2 এবং x + 4

প্রশ্নমতে,
(x - 4) + (x - 2) + x + (x + 2) + (x + 4) = 255
⇒ 5x = 255
⇒ x = 51

∴মাঝের সংখ্যা, x = 51 
∴ সবচেয়ে বড় সংখ্যা = x + 4 = 51 + 4 = 55

Question: X is four years older than Y, who is three times as old as Z. If the sum of their ages is 39, then how old is Y?

Solution:
Let the age of Z be = x years
Then, the age of Y = 3x years 
and age of X = (3x + 4) years

According to the question,
(3x + 4) + 3x + x = 39
⇒ 7x + 4 = 39
⇒ 7x = 39 - 4
⇒ 7x = 35
⇒ x = 5

Hence, age of Y = 3x = (3 × 5) years = 15 years

Question: 

Solution: 

Question: A batsman scored 45, 68, 52, 71, and 59 runs in five innings. How many runs must he score in the sixth innings to have an average of exactly 60 runs?

Solution:
ধরি, 6-তম ইনিংসে রান = x
প্রথম 5টি ইনিংসে মোট রান = (45 + 68 + 52 + 71 + 59) = 295

প্রশ্নমতে,
(295 + x)/6 = 60
⇒ 295 + x = 60 × 6
⇒ 295 + x = 360
⇒ x = 360 - 295
⇒ x = 65

∴ 6-তম ইনিংসে 65 রান করতে হবে।

Question: If x² is an odd number, determine the nature of x² - x. 

Solution:
যেহেতু x² বিজোড় তাই x ও বিজোড় হবে।
এখন,
x² - x
= (x - 1)x
= x(x - 1)
∴ (x - 1) এবং x দুইটি ক্রমিক সংখ্যা।

x বিজোড় সংখ্যা হলে (x - 1) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে।
কারণ দুইটি ক্রমিক সংখ্যার মধ্যে একটি বিজোড় হলে অন্যটি জোড় হবে।

সুতরাং, x ও (x - 1) এর গুনফল = x(x - 1) = x² - x একটি জোড় সংখ্যা।
[জোড় × বিজোড় = জোড়]

Question: (256)^0.16 × (256)^0.09 = ?

Solution:
(256)^{0.16 + 0.09}
= (256)^0.25
= (256)^25/100
= (256)^1/4
= (4⁴)^1/4 (because 256 = 4⁴)
= 4^{4 × 1/4}
= 4¹
= 4

Question: Rahim is currently four times as old as Kabir. Five years ago, Rahim was seven times as old as Kabir. What will be the sum of their ages after 12 years?

Solution:
Let Kabir's current age = x years
Rahim's current age = 4x years

5 years ago:
Rahim's age = 4x - 5
Kabir's age = x - 5

According to the question,
4x - 5 = 7(x - 5)
⇒ 4x - 5 = 7x - 35
⇒ - 5 + 35 = 7x - 4x
⇒ 30 = 3x
∴ x = 10

So, Kabir's age = 10 years, Rahim's age = 4 × 10 = 40 years

After 12 years:
Kabir's age: 10 + 12 = 22
Rahim's age: 40 + 12 = 52

∴ Sum: 22 + 52 = 74 

Question:

Solution:

Question: A group of 10 people has their average weight increased by 3 kg after replacing a 50 kg person with someone new. What is the possible weight of the replacement?

Solution:
ধরি, 10 জন ব্যক্তির বর্তমান গড় ওজন = x কেজি।
∴ মোট ওজন = 10x কেজি।
50 কেজি ওজনের ব্যক্তি চলে যাওয়ার পর মোট ওজন = (10x - 50) কেজি।

মনে করি, নতুন ব্যক্তির ওজন = y কেজি।
নতুন ব্যক্তি প্রবেশ করার পর নতুন মোট ওজন হবে = (10x - 50 + y) কেজি।
এবং নতুন গড় = (x + 3) কেজি। 

প্রশ্নমতে,
(10x - 50 + y)/10 = x + 3
⇒ 10x - 50 + y = 10(x + 3)
⇒ 10x - 50 + y = 10x + 30
⇒ 10x - 10x + y = 30 + 50
⇒ y = 80

সুতরাং, নতুন ব্যক্তির ওজন = 80 কেজি।

Question: M and N are two positive integers such that MN = 72. Which of the following cannot be the value of M + N?

Solution:
72-এর উৎপাদক জোড়াগুলো হল:
1 × 72 = 72 ⇒ M + N = 1 + 72 = 73
2 × 36 = 72 ⇒ M + N = 2 + 36 = 38
3 × 24 = 72 ⇒ M + N = 3 + 24 = 27
4 × 18 = 72 ⇒ M + N = 4 + 18 = 22
6 × 12 = 72 ⇒ M + N = 6 + 12 = 18
8 × 9 = 72 ⇒ M + N = 8 + 9 = 17

সুতরাং, M + N এর সম্ভাব্য মানগুলো: 17, 18, 22, 27, 38, 73

তাই, M + N = 25 হতে পারে না।

Question:

Solution:

Question: Today is Karim's 18th birthday and his father's 48th birthday. How many years from today will Karim's father be twice as old as Karim at that time?

Solution:
Given that, Today Karim is 18 years old
And his Father is 48 years old
Age difference = 48 - 18 = 30 years (constant)

Let After x years, father's age = 2 × Karim's age

Now, Karim's age after x years = 18 + x
Father's age after x years = 48 + x

ATQ,
48 + x = 2(18 + x)
⇒ 48 + x = 36 + 2x
⇒ 2x - x = 48 - 36
⇒ x = 12

So, in 12 years, Karim's father will be twice as old as Karim.

Question:

Solution:

Question: In a class of 120 students, the average score in science is 75. If the 70 girls scored an average of 78, what is the average score of the remaining boys?

Solution:
ধরি, ছাত্রদের গড় নম্বর = x

120 জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = 120 × 75 = 9000
70 জন ছাত্রীর মোট নম্বর = 70 × 78 = 5460

প্রশ্নমতে,
5460 + (120 - 70) × x = 9000
⇒ 5460 + 50x = 9000
⇒ 50x = 9000 - 5460
⇒ 50x = 3540
⇒ x = 3540/50
⇒ x = 70.8

∴ 50 জন ছাত্রের গড় নম্বর = 70.8

Question: If p is a positive integer, what is the smallest possible value of p such that 2160 × p is a perfect square?

Solution:
আমরা জানি, একটি সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে হলে এর মৌলিক গুণনীয়কের ঘাতসমূহ জোড় সংখ্যা হতে হবে।

2160 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5
= 2⁴ × 3³ × 5¹

2160p = 2⁴ × 3³ × 5¹ × p
এখানে, 2-এর ঘাত = 4 (জোড়), 3-এর ঘাত = 3 (বিজোড়), 5-এর ঘাত = 1 (বিজোড়)

পূর্ণবর্গ করতে হলে সব ঘাত জোড় হতে হবে।
তাই p = 3 × 5 = 15 হলে,

2160 × 15 = 2⁴ × 3³ × 5¹ × (3 × 5) = 2⁴ × 3⁴ × 5²
যেহেতু সব মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড়, তাই এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

সুতরাং, p = 15 হলে, 2160 × p পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়।

Question:

Solution:

Question: The square root of (6 + 5√2)(6 - 5√2) is:

Solution:
√{(6 + 5√2)(6 - 5√2)}
= √{6² - (5√2)²}   [∵ (a + b)(a - b) = a² - b²]
= √{36 - (25 × 2)}
= √{36 - 50}
= √(-14)
= √{14(- 1)}
= √14 × √(- 1)
= i√14   [যেখানে i² = - 1]

Question:

Solution:

Question: If the average of 'p' numbers is 3q² and the average of 'q' numbers is 3p², what is the average of the combined (p + q) numbers?

Solution:
দেওয়া আছে,
'p' সংখ্যার গড় = 3q²
∴ p সংখ্যার সমষ্টি = p × 3q²

'q' সংখ্যার গড় = 3p²
∴ 'q' সংখ্যার সমষ্টি = q × 3p²

∴ মোট সমষ্টি = (p × 3q²) + (q × 3p²)
= 3pq² + 3qp²
= 3pq(q + p)

∴ তাদের গড় = মোট সমষ্টি/(p + q)
= 3pq(p + q)/(p + q)
= 3pq