নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: কোন সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষ বিভাজ্য নয়?

সমাধান:
কোন সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে , প্রদত্ত সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
এখানে, 
৩৬৩ এ ৩ + ৬ + ৩ = ১২, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
৮১০ এ ৮ + ১ + ০ = ৯, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
৭২৬ এ ৭ + ২ + ৬ = ১৫, যা ৩ দ্বারা বিভাজ।
২৩৯ এ ২ + ৩ + ৯ = ১৪, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

অতএব, ৩ দ্বারা নিঃশেষ বিভাজ্য নয় এমন সংখ্যা হলো → ২৩৯

প্রশ্ন: ২২৫ এর ২০% কত?

সমাধান:
২২৫ এর ২০%
= ২২৫ × (২০/১০০)
= ২২৫ × (১/৫)
= ৪৫

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ৩০% এর মান ৬০ হলে, সংখ্যাটির ৪০% কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৩০% = ৬০
⇒ ক × (৩০/১০০) = ৬০
⇒ ক × ৩/১০ = ৬০
⇒ ক = ৬০০/৩
∴ ক = ২০০

অর্থাৎ, সংখ্যাটি ২০০

এখন,
২০০ এর ৪০% = ২০০ × (৪০/১০০)
= ২ × ৪০ = ৮০

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৫১। সংখ্যা দুটি কী কী?

সমাধান:
ধরি,
ক্রমিক সংখ্যা দুটি হল n এবং n + ১

প্রশ্নমতে,
(n + ১)^২ - n^২ = ৫১
⇒ n^২ + ২n + ১ - n^২ = ৫১
⇒ ২n + ১ = ৫১
⇒ ২n = ৫০
∴ n = ২৫
প্রথম সংখ্যা = n = ২৫
দ্বিতীয় সংখ্যা = n + ১ = ২৬

অতএব, সংখ্যা দুটি ২৫, ২৬

প্রশ্ন: একজন চাকরিজীবী তার বেতনের 1/5 অংশ খাদ্য ক্রয়ে, 1/4 কাপড় ক্রয়ে এবং 1/10 অংশ বাসা ভাড়ায় ব্যয় হয়। তার আয়ের শতকরা কত ভাগ অবশিষ্ট রইল?

সমাধান:
তার মোট বেতন = 1 অংশ
মোট ব্যয় করল = (1/5)  + (1/4) + (1/10) অংশ
= (4 + 5 + 2)/20 অংশ
= 11/20 অংশ

অবশিষ্ট = 1 - (11/20)
= (20 - 11)/20
= 9/20

∴ শতার আয়ের শতকরা অবশিষ্ট রইল = (9/20) × 100%
= 45%

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা নয়?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যেসব সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে p, q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q ≠ 0 তাদেরকে মূলদ সংখ্যা বলে।
- শূণ্য, সব স্বাভাবিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণসংখ্যা মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা। যেমন: √4, √36.
- সব পূর্ণ ঘন সংখ্যার ঘনমূল মূলদ সংখ্যা।
- দশমিকের পরের অঙ্কগুলো যদি সসীম আকারে থাকে তাহলে সংখ্যাটি মূলদ সংখ্যা। যেমন: 5.66, 7.75.

∴ √28/4 = √(4 × 7)/4 = √7 = 2.645751....; যা একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: ১২ টাকায় ৪টি করে লেবু কিনে ৩০০ টাকায় কয়টি লেবু বিক্রয় করলে ২৫% লাভ হবে?

সমাধান:
২৫% লাভে,
৪টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ১২ × (১২৫/১০০) টাকা = ১৫ টাকা

১৫ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ৪ টি লেবু
∴ ১ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ৪/১৫ টি লেবু
∴ ৩০০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = (৪/১৫) × ৩০০ টি লেবু
= ৮০ টি লেবু

∴ ৩০০ টাকায় বিক্রয় করতে হলে ৮০ টি লেবু বিক্রি করতে হবে।

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক জোড় পূর্ণসংখ্যার মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি বৃহত্তম সংখ্যার তিনগুণ থেকে ৪০ কম হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
তাহলে,
অপর সংখ্যা দুটি (ক + ২) এবং (ক + ৪)

প্রশ্নমতে, 
{(ক + ৪) × ৩} - ৪০ = ক
⇒ ৩ক + ১২ - ৪০ = ক
⇒ ৩ক - ক = ৪০ - ১২
⇒ ২ক = ২৮
⇒ ক = ১৪

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ৪ = ১৪ + ৪ = ১৮

প্রশ্ন: শরিফ সাহেব একজন ক্ষুদ্র ব্যবসায়ী। তিনি হাঁটে  গিয়ে ২৫ কেজি আলু বিক্রয় করে দেখলেন যে, বিক্রয়মূল্য ২০ কেজি আলুর ক্রয়মূল্যের সমান। শরিফ সাহেবের শতকরা কত ক্ষতি হলো?

সমাধান:
ধরি,
২০ কেজি আলুর ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
১ কেজি আলুর ক্রয়মূল্য = ১০০/২০ টাকা
= ৫ টাকা

আবার,
২৫ কেজি আলুর বিক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
১ কেজি আলুর বিক্রয়মূল্য = ১০০/২৫ টাকা
= ৪ টাকা

প্রতি কেজি আলুতে ক্ষতি = ৫ - ৪ = ১ টাকা

∴ শতকরা ক্ষতি = (১/৫) × ১০০% = ২০%

∴ শরিফ সাহেবের ২০% ক্ষতি হয়েছে।

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল ২৭ হলে, তাদের গুণফল কত হবে?

সমাধান:
মনেকরি,
সংখ্যা তিনটি = ক, ক + ১, ক + ২

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ১ + ক + ২ = ২৭
⇒ ৩ক + ৩ = ২৭
⇒ ৩ক = ২৪
⇒ ক = ৮

∴ সংখ্যা তিনটি ৮, ৯, ১০
সংখ্যা তিনটির গুণফল = ৮ × ৯ × ১০ = ৭২০

প্রশ্ন: ১০০০ টাকা মূল্যের একটি মোবাইল ফোন দুইবার যথাক্রমে ১৫% এবং ১০% হারে মূল্য ছাড় দিলে, মোবাইলটির চূড়ান্ত বিক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
প্রথম বার ১৫% ছাড়ে,
মোবাইলটির মূল্য = ১০০০ - ১০০০ এর ১৫%
= ১০০০ - {১০০০ × (১৫/১০০)}
= ১০০০ - ১৫০
= ৮৫০ টাকা

দ্বিতীয় বার ১০% ছাড়ে,
মোবাইলটির মূল্য = ৮৫০ - ৮৫০ এর ১০%
= ৮৫০ - {৮৫০ × (১০/১০০)}
= ৮৫০ - ৮৫
= ৭৬৫ টাকা

∴ মোবাইলটির চূড়ান্ত বিক্রয়মূল্য ৭৬৫ টাকা।

প্রশ্ন: ০, ২, ৪, ৬ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল কত?

সমাধান:
বৃহত্তম সংখ্যা = ৬৪২০
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২০৪৬

∴ বিয়োগফল = ৬৪২০ - ২০৪৬ = ৪৩৭৪

প্রশ্ন: একটি জিনিস ১২% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৭২ টাকা বেশি হলে ৬% লাভ হতো। জিনিসটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
জিনিসের ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।
১২% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১২) টাকা = ৮৮ টাকা।
এবং ৬% লাভে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ৬) টাকা = ১০৬ টাকা।

সুতরাং বিক্রয়মূল্য বেশি = (১০৬ - ৮৮) = ১৮ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ১৮ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১৮ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৭২ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৭২)/১৮ টাকা = ৪০০ টাকা।

প্রশ্ন: ক একটি জোড় সংখ্যা এবং খ একটি বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা হতে পারে?

সমাধান:
• ক + খ : জোড় সংখ্যা + বিজোড় সংখ্যা = বিজোড় সংখ্যা [যেমন ২ + ৩ = ৫]
• ক - খ : জোড় সংখ্যা - বিজোড় সংখ্যা = বিজোড় সংখ্যা [যেমন ২ - ১ = ১]
• কখ/২ : (জোড় সংখ্যা × বিজোড় সংখ্যা)/২ = জোড় অথবা বিজোড় সংখ্যা [যেমন (২ × ৩)/২ = ৩; (৪ × ৩)/২ = ৬]
• কখ + ৫ : (জোড় সংখ্যা × বিজোড় সংখ্যা) + ৫ = জোড় সংখ্যা + ৫ = বিজোড় সংখ্যা [যেমন (২ × ৩) + ৫ = ১১]

প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট টুর্নামেন্টে একটি ক্রিকেট টিম ১২ টি খেলার মধ্যে ৮টিতে জয়লাভ করে। দলটির পরাজয়ের শতকরা হার কত?

সমাধান: 
দলটির পরাজয়ের সংখ্যা = ১২ - ৮ = ৪ টি

১২ টি খেলায় পরাজয়ের সংখ্যা = ৪ টি
১টি খেলায় পরাজয়ের সংখ্যা = ৪/১২ টি
১০০টি খেলায় পরাজয়ের সংখ্যা = (৪ × ১০০)/১২ টি
= ৩৩.৩৩

অতএব, দলটির পরাজয়ের শতকরা হার ৩৩.৩৩%।

প্রশ্ন: একটি গ্রামে প্রতি হাজারে ৪০ জন শিশুর জন্ম হয় এবং ২৫ জন মানুষের মৃত্যু হয়। বছরে জনসংখ্যা শতকরা কত বৃদ্ধি পায়?

সমাধান:
প্রতি ১০০০ জনে বৃদ্ধি পায় = ৪০ - ২৫ জন
= ১৫ জন

১০০০ জনে বৃদ্ধি পায় = ১৫ জন
১ জনে বৃদ্ধি পায় = ১৫/১০০০ জন
∴ ১০০ জনে বৃদ্ধি পায় = (১৫ × ১০০)/১০০০ জন
= ১.৫ জন

∴ বছরে জনসংখ্যা শতকরা বৃদ্ধি পায় ১.৫%

প্রশ্ন: ৬০ থেকে ৮০ মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার সমষ্টি কত?

সমাধান:
৬০ থেকে ৮০ মধ্যবর্তী,
ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৬১
বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৭৯

∴ তাদের সমষ্টি = ৬১ + ৭৯ = ১৪০

প্রশ্ন: ৬% সরল মুনাফায় ৮ মাসে ১৬,০০০ টাকার মুনাফা কত?

সমাধান:
এখানে,
আসল, P = ১৬,০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৬% = ৬/১০০ = ৩/৫০
সময়, n = ৮ মাস = ৮/১২ = ২/৩ বছর

সুদ, I = Pnr
= ১৬০০০ × (২/৩) × (৩/৫০)
= ৬৪০ টাকা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৮৪ এবং অন্তরফল ২০ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যা = x
ছোট সংখ্যা = y

শর্তমতে,
x + y = ৮৪ ... (১)
x - y = ২০ ... (২)

এখন, সমীকরণ (১) এবং (২) যোগ করি:
(x + y) + (x - y) = ৮৪ + ২০
⇒ ২x = ১০৪
∴ x = ৫২

∴  বড় সংখ্যাটি ৫২

প্রশ্ন: বার্ষিক ৪% হার মুনাফায় ১০০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ১০০০০ টাকা
বার্ষিক মুনাফার হার, r = ৪% = ৪/১০০ = ১/২৫
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
= ১০০০০ × (১ + ১/২৫)২
= ১০০০০ × (২৬/২৫)^২
= ১০০০০ × (২৬/২৫) × (২৬/২৫)
= ১০০০০ × (৬৭৬/৬২৫)
= ১০৮১৬ টাকা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল তাদের যোগফলের তিন-চতুর্থাংশ। সংখ্যার অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x ও y যেখানে, x > y 

প্রশ্নমতে, 
⇒ x - y = (3/4)(x  + y)
⇒ x - y = (3x + 3y)/4 
⇒ 4x - 4y = 3x + 3y 
⇒ 4x - 3x = 4y + 3y 
⇒ x = 7y 
⇒ x/y = 7 
∴ x : y = 7 : 1 

প্রশ্ন: সুজন ২৪০০০ টাকা ব্যাংকে জমা রাখলেন। ৫ বছর পর তিনি আসল টাকার ২/৫ অংশ সুদ পেলেন। বার্ষিক সরল সুদের হার কত?

সমাধান:
আসল টাকা, P = ২৪০০০ টাকা
সময়, n = ৫ বছর
সুদ = (২/৫) × ২৪০০০ = ৯৬০০ টাকা
সুদের হার, r = ?

আমরা জানি,
SI = (P × r × n)/১০০
⇒ ৯৬০০ = (২৪০০০ × r × ৫)/১০০
⇒ ৯৬০০ = (১২০০০০ × r)/১০০
⇒ ৯৬০০ × ১০০ = ১২০০০০ × r
⇒ ৯৬০০০০ = ১২০০০০ × r
⇒ r = ৯৬০০০০/১২০০০০
∴ r = ৮

∴ সুদের হার ৮%।

প্রশ্ন: নূর, সুমন ও রাকিবের মাসিক খরচের অনুপাত ৯ : ৬ : ৫। নূরের মাসিক খরচ ২৭,০০০ টাকা হলে রাকিবের মাসিক খরচ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
নূর, সুমন ও রাকিবের মাসিক খরচের অনুপাত ৯ : ৬ : ৫

এখন,
নূর এর ৯ অংশ = ২৭০০০ টাকা
∴ ১ অংশ = ২৭০০০/৯ = ৩০০০

∴ রাকিবের খরচ = ৫ × ৩০০০ = ১৫০০০ টাকা

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% হারে ১০০০ টাকা ২ বছর পর সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
মূলধন, P = ১০০০ টাকা
সুদের হার, r = ১০% = ১০/১০০ = ১/১০
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,
SI = P × r × n
= ১০০০ × (১/১০) × ২
= ২০০ টাকা

আবার,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফায়,
C = P(1 + r)ⁿ
= ১০০০ × (১ + ১/১০)^২
= ১০০০ × (১১/১০)^২
= ১০০০ × (১১/১০) × (১১/১০)
= ১২১০ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = C - P
= ১২১০ − ১০০০
= ২১০ টাকা

∴ পার্থক্য = ২১০ − ২০০ = ১০ টাকা

প্রশ্ন: ৫ : ১৮, ৭ : ২ এবং ৩ : ৬ এর মিশ্র অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৫ : ১৮, ৭ : ২ এবং ৩ : ৬
= ৫ : ১৮, ৭ : ২ এবং ১ : ২

অতএব মিশ্র অনুপাত = (৫ × ৭ × ১) : (১৮ × ২ × ২)
= ৩৫ : ৭২

মিশ্র অনুপাতঃ হলো একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত নতুন অনুপাত এই মিশ্র অনুপাত। 

প্রশ্ন: সরল সুদের হার শতকরা কত হলে কোন মূলধন ৮ বছরে সুদে-আসলে তিনগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি, আসল = ক টাকা
সুদাসল = ৩ক
সুদের হার = r
সময়, n = ৮ বছর

সুদ = সুদে-আসল - আসল
= ৩ক - ক = ২ক

আমরা জানি,
SI = Prn/১০০
⇒ ২ক = (ক × R × ৮)/১০০
⇒ ২ = (৮r)/১০০
⇒ r = ২০০/৮
∴ r = ২৫

∴ বার্ষিক সরল সুদের হার = ২৫% = ২৫%

প্রশ্ন: রনি, জনি ও সজীব মিলে ৬০০ টাকা বিনিয়োগ করে ব্যবসা শুরু করল। জনি, রনির চেয়ে ৫০ টাকা বেশি এবং সজীব, জনির চেয়ে ৭০ টাকা কম বিনিয়োগ করেছে। মোট লাভ ২৪০ টাকা হলে, সজীব কত টাকা লাভ পাবে?

সমাধান:
ধরি,
রনির বিনিয়োগ = ক  টাকা
জনির বিনিয়োগ = ক + ৫০ টাকা
সজীবের বিনিয়োগ = (ক + ৫০) - ৭০ = ক - ২০ টাকা

প্রশ্নমতে,
⇒ ক + ক + ৫০ + ক - ২০ = ৬০০
⇒ ৩ক = ৬০০ - ৩০
⇒ ক = ৫৭০/৩
∴ ক = ১৯০

∴ সজীবের বিনিয়োগ = ১৯০ - ২০ = ১৭০ টাকা

∴ সজীবের লাভ = (১৭০/৬০০) × ২৪০ = ৬৮ টাকা

প্রশ্ন: বার্ষিক ৮% সরল সুদে কত বছরে ৭৫০ টাকার সুদ ২৪০ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল (P) = ৭৫০ টাকা
সুদের হার (r) = ৮% 
সুদ (I) = ২৪০ টাকা
সময় = n বছর

আমরা জানি,
SI = (P × r × n)/১০০
⇒ ২৪০ = (৭৫০ × ৮ × n) / ১০০
⇒ ২৪০ = (৬০০০ × n)/১০০
⇒ ২৪০ = ৬০n
⇒ n = ২৪০/৬০
∴ n = ৪ বছর

∴ সময় = ৪ বছর

প্রশ্ন: কোনো শহরের বর্তমান জনসংখ্যা ৪০ লক্ষ। জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার প্রতি হাজারে ২০ হলে, ২ বছর পর ঐ শহরের জনসংখ্যা কত হবে?

সমাধান:
শহরটির বর্তমান জনসংখ্যা, P = ৪০০০০০০
জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার, r = (২০/১০০০) × ১০০% = ২%
সময়, n = ২ বছর।
এখানে জনসংখ্যা বৃদ্ধির ক্ষেত্রে চক্রবৃদ্ধি মূলধনের সূত্র প্রযোজ্য।
C = P(১ + r)^২
= ৪০০০০০০ × (১ + ২/১০০)^২
= ৪০০০০০০ × (১০২/১০০) × (১০২/১০০)
= ৪০০০০০০ × (১০৪০৪/১০০০০)
= ৪১৬১৬০০

২ বছর পর শহরটির জনসংখ্যা হবে ৪১৬১৬০০ জন

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের যোগফল ৫৬ বছর এবং তাদের বয়সের অনুপাত ৫ : ২। ৬ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত কত ছিল?

সমাধান:
ধরি,
পিতার বর্তমান বয়স = ৫ক বছর
পুত্রের বর্তমান বয়স = ২ক বছর

প্রশ্নমতে,
⇒ ৫ক + ২ক = ৫৬
⇒ ৭ক = ৫৬
∴ ক = ৮

সুতরাং,পিতার বয়স = ৫ × ৮ = ৪০ বছর
পুত্রের বয়স = ২ × ৮ = ১৬ বছর

৬ বছর পূর্বে,
পিতার বয়স = ৪০ - ৬ = ৩৪ বছর
পুত্রের বয়স = ১৬ - ৬ = ১০ বছর

∴ তাদের বয়সের অনুপাত = ৩৪ : ১০ = ১৭ : ৫

প্রশ্ন: ১০৫টি আম এবং ১৪০টি কমলা এমনভাবে প্যাকেট করতে হবে যাতে প্রতিটি প্যাকেটে সমান পরিমাণ ফল থাকে। সর্বাধিক কতটি প্যাকেট বানানো যাবে?

সমাধান:
১০৫ এবং ১৪০ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু) বের করতে হবে।
এখন,
১০৫ = ৩ × ৫ × ৭
১৪০ = ২ × ২ × ৫ × ৭

∴ ১০৫ এবং ১৪০ গ.সা.গু = ৫ × ৭ = ৩৫

∴ সর্বাধিক ৩৫টি প্যাকেট বানানো যাবে।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪। উভয় সংখ্যার সাথে ৫ করে যোগ করলে অনুপাত হয় ৪ : ৫। সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম সংখ্যা = ৩ক
দ্বিতীয় সংখ্যা = ৪ক
এবং উভয় সংখ্যার সাথে ৫ যোগ করলে অনুপাত হয় ৪ : ৫ হয়।

প্রশ্নমতে,
(৩ক + ৫)/(৪ক + ৫) = ৪/৫
⇒ ১৬ক + ২০ = ১৫ক + ২৪
⇒ ১৬ক - ১৫ক = ২৫ - ২০
∴ ক = ৫

∴ প্রথম সংখ্যা = ৩ক = ৩ × ৫ = ১৫
∴ দ্বিতীয় সংখ্যা = ৪ক = ৪ × ৫ = ২০

∴ সংখ্যা দুটি  ১৫ এবং ২০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৯৬ এবং গ.সা.গু ১৬। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ১.৫ গুণ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?
 
সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ক
অপর সংখ্যা = ১.৫ক
সংখ্যা দুইটির গুণফল = ১.৫ক^২

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ১.৫ক^২ = ৯৬ × ১৬
⇒ ১.৫ক^২ = ১৫৩৬
⇒ ক^২ = ১৫৩৬/১.৫
⇒ ক^২ = ১০২৪
⇒ ক = √১০২৪
∴ ক = ৩২

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩২

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৪ অংশ পানিতে, ১/২ অংশ মাটিতে এবং অবশিষ্ট ৮ মিটার পানির উপরে আছে।  সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

পানিতে ও মাটিতে আছে= (ক/৪) + (ক/২) অংশ
= (ক + ২ক)/৪ অংশ
= ৩ক/৪ অংশ

∴ পানির উপরে আছে = ক - (৩ক/৪) = (৪ক - ৩ক)/৪ = ক/৪ অংশ

প্রশ্নমতে,
ক/৪ অংশ = ৮ মিটার
⇒ ক = ৮ × ৪
∴ ক = ৩২

অর্থাৎ সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ৩২ মিটার

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৮ : ৩ : ২ এবং ল.সা.গু ৯৬ হলে তাদের গ.সা.গু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ল.সা.গু = ৯৬

ধরি,
সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ৮ক, ৩ক এবং ২ক

এখন,
৮ক, ৩ক এবং ২ক এর গ.সা.গু = ক
৮ক, ৩ক এবং ২ক এর ল.সা.গু = ২৪ক

প্রশ্নমতে,
⇒ ২৪ক = ৯৬
⇒ ক = ৯৬/২৪
∴ ক = ৪

∴নির্ণেয় গ.সা.গু = ৪
 
 

প্রশ্ন: দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ৫/১২ । একটি ভগ্নাংশ ৫/৮ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = ৫/১২
একটি ভগ্নাংশ = ৫/৮

এখন,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = একটি ভগ্নাংশ × অপর ভগ্নাংশ
বা, অপর ভগ্নাংশ = দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল/একটি ভগ্নাংশ
= (৫/১২)/(৫/৮)
= (৫/১২) × (৮/৫)
= ৮/১২
= ২/৩

∴ অপর ভগ্নাংশ = ২/৩

প্রশ্ন: ০.২, ০.০৪, ০.৮ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ল.সা.গু  = (লবগুলোর ল.সা.গু)/(হরগুলোর গ.সা.গু)

এখন,
০.২ = ২/১০
০.০৪ = ৪/১০০
০.৮ = ৮/১০

∴ লবগুলো (২, ৪, ৮) এর ল.সা.গু = ৮
∴ হরগুলো (১০, ১০০, ১০) গ.সা.গু = ১০

∴ ল.সা.গু  = (লবগুলোর ল.সা.গু)/(হরগুলোর গ.সা.গু) = ৮/১০ = ০.৮

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৫ ও ১৬ হলে মধ্যসমানুপাতিক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ক্রমিক সমানুপাতের ক্ষেত্রে,
(২য় রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি
⇒ (২য় রাশি)^২ = ৫ × ১৬
⇒ ২য় রাশি = √(১৬ × ৫)

∴ ২য় রাশি = ৪√৫

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৩২, ৪০ ও ৪৮ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ২৮, ৩৬ ও ৪৪ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
৩২ - ২৮ = ৪
৪০ - ৩৬ = ৪
৪৮ - ৪৪ = ৪

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ৩২, ৪০ ও ৪৮ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৪ কম।

৩২, ৪০ ও ৪৮ এর ল.সা.গু হবে ৪৮০

∴ সংখ্যাটি হবে = ৪৮০ - ৪ = ৪৭৬

প্রশ্ন: ২/৫, ৩/১০ ও ১/৪ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
২/৫, ৩/১০ ও ১/৪
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = লব গুলোর গ.সা.গু/হর গুলোর ল.সা.গু

এখানে,
লব = ২, ৩ ও ১ এর গ.সা.গু = ১
হর = ৫, ১০ ও ৪ এর ল.সা.গু = ২০

∴ ২/৫, ৩/১০ ও ১/৪ এর গ.সা.গু = ১/২০

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বড়?

সমাধান:
৭/৯ = ০.৭৭৭....
৫/৬ = ০.৮৩৩....
৮/১১ = ০.৭২৭২৭২৭...
৪/৫ = ০.৮

সুতরাং, ৫/৬ ভগ্নাংশটি বড়।

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ১০, ১৫, ২০, ও ২৫ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগলো। কতক্ষণ পরে ঘণ্টা গুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
১০, ১৫, ২০, ও ২৫ এর ল. সা. গু = ৩০০

∴ ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = ৩০০ সেকেন্ড পর
= (৩০০/৬০) মিনিট পর [∵ ৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট]
= ৫ মিনিট

প্রশ্ন: সাফিন ৫০০০ টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। ৮ মাস পর সিয়াম কিছু টাকা নিয়ে ওই ব্যবসায় যোগ দেয়। এক বছর পর ৩ : ৪ অনুপাতে ব্যবসার লভ্যাংশ ভাগ করা হয়। সিয়ামের বিনিয়োগ কত টাকা ছিলো?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লভ্যাংশের অনুপাত = ৩ : ৪

ধরি,
সিয়ামের বিনিয়োগ = ক টাকা

সাফিনের বিনিয়োগ নিয়োজিত ছিলো = ১২ মাস
এবং সিয়ামের বিনিয়োগ নিয়োজিত ছিলো = (১২ - ৮) মাস = ৪ মাস

প্রশ্নমতে,
(৫০০০ × ১২)/(ক × ৪) = ৩/৪
⇒ ৬০০০০/ক = ৩
⇒ ৩ক = ৬০০০০
⇒ ক = ৬০০০০/৩
⇒ ক = ২০০০০

সিয়ামের বিনিয়োগ = ২০০০০ টাকা

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৮ এবং ১২ উভয়ের গুণিতক নয়?

সমাধান:
অপশন থেকে পাই,
৮ এবং ১২ উভয়ই ২৪, ৪৮ এবং ৭২ দ্বারা বিভাজ্য, কিন্তু ৩২ শুধুমাত্র ৮ দ্বারা বিভাজ্য এবং ১২ দ্বারা নয়।