শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

রেখাংশের ২টি প্রান্ত বিন্দু থাকে। 

রেখাংশ: 
- রেখাংশের নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে। 
-  ২টি প্রান্ত বিন্দু আছে।

ইউক্লিড প্রদত্ত কয়েকটি বর্ণনা নিম্নরূপ:
১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।
২. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই ।
৩. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা।
৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।
৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাই তল।
৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।
৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার ওপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল।

-  দুইটি ভিন্ন বিন্দুর জন্য একটি ও কেবল একটি সরলরেখা আছে, যাতে উভয় বিন্দু অবস্থিত।
- একই সরলরেখায় অবস্থিত নয় এমন তিনটি ভিন্ন বিন্দুর জন্য একটি ও কেবল একটি সমতল আছে, যাতে বিন্দু তিনটি অবস্থিত।
- কোনো সমতলের দুইটি ভিন্ন বিন্দু দিয়ে যায় এমন সরলরেখা ঐ সমতলে অবস্থিত।

প্রদত্ত চিত্রে ∠AOD একটি-
 
 
স্থূলকোণ: এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়।
চিত্রে ∠AOC সূক্ষ্মকোণ এবং ∠AOD স্থূলকোণ। ∠AOB এক সমকোণ।

প্রদত্ত চিত্র অনুসারে কোনটি সঠিক? 


দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন
ক) প্রত্যেক অনুরূপ কোণ জোড়া সমান হবে।
খ) প্রত্যেক একান্তর কোণ জোড়া সমান হবে।
গ) ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক।

 ∠PEB = ∠EFD [অনুরূপ কোণ]
∠AEF = ∠EFD [একান্তর কোণ]
∠PEB = ∠AEF [বিপ্রতীপ কোণ]

প্রশ্ন: ∠ABD এর পূরক কোণ কোনটি? 

 

সমাধান: 
ΔABD এ 
∠ADB = 90°
তাহলে 
∠ABD + ∠BAD = 90°
∠ABD এর পূরক কোণ = ∠BAD

প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle )
দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়। চিত্রে চিহ্নিত ∠AOC প্রবৃদ্ধ কোণ 
 

1. বৃত্তের কোনাে বিন্দুতে একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
2. স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের ওপর অঙ্কিত লম্ব কেন্দ্রগামী। 
3. বৃত্তের কোনাে বিন্দু দিয়ে ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত বিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক হয়।
4.. বৃত্তের বহিঃস্থ কোনাে বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানলে, ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত 2 : 3 : 5। ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের অর্ধেক কত? 

সমাধান: 
ধরি 
কোণগুলো = 2x , 3x  5x

প্রশ্নমতে,
 2x + 3x + 5x = 180°
10x  = 180°
x = 18°

ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণ =  5 × 18° = 90°

ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের অর্ধেক = 90°/2 = 45°

একটি সরলরেখার একটি বিন্দুতে অপর একটি রশ্মি মিলিত হলে, যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি দুই সমকোণ ।

মনে করি, AB সরলরেখাটির O বিন্দুতে OC রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়েছে ।
ফলে ∠AOC ও ∠COB দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হলো । 
∠AOC + ∠COB = দুই সমকোণ।

প্রদত্ত চিত্রে ∠BAD = 60° হলে ∠BED = কত?
 
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান।
  
O বৃত্তের কেন্দ্র এবং বৃত্তের BCD চাপের ওপর দণ্ডায়মান ∠BAD ও ∠BED দুইটি বৃত্তস্থ কোণ ।
∠BAD =∠BED = 60°

- দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল ৯০° হলে, একটি অপরটির পূরক কোণ
- দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল ১৮০° হলে, কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপরটির সম্পূরক ।
- দুইটি পরস্পর সম্পূরক কোণকে সন্নিহিত কোণ হিসেবে আঁকলে একটি সরলকোণ তৈরি হয় .

প্রদত্ত চিত্রে অনুসারে নিচের কোনগুলো পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ? 

 

কোনো কোণের বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মিদ্বয় যে কোণ তৈরি করে তা ঐ কোণের বিপ্রতীপ কোণ ।
চিত্রে OA ও OB পরস্পর বিপরীত রশ্মি। আবার OC ও OD পরস্পর বিপরীত রশ্মি।
∠BOD ও ∠AOC পরস্পর বিপ্রতীপ
কোণ।
আবার ∠BOC ও ∠DOA একটি অপরটির বিপ্রতীপ কোণ ৷
দুইটি সরলরেখা কোনো বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করলে, ছেদ বিন্দুতে দুই জোড়া বিপ্রতীপ কোণ উৎপন্ন হয়।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হলে তার ক্ষেত্রফল কত শতাংশ বাড়বে?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
নতুন বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2r

প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
নতুন বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(2r)² = 4πr²

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়েছে = 4πr² - πr² = 3πr²

শতকরা বৃদ্ধি পেয়েছে = (3πr²/πr²) × 100 = 300%

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 4 : 3 হলে তাদের পরিধির অনুপাত কত?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 4r এবং 3r

সুতরাং, তাদের পরিধির অনুপাত = (2π × 4r) : (2π × 3π) = 4 : 3

আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
অর্থাৎ ব্যাস = ২ × ব্যাসার্ধ

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর উপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা এর লম্ব-দ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- দুইটি পরস্পরছেদী বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশ তাদের সাধারণ জ্যা-কে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- কোনো বৃত্তের দুইটি ভিন্ন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে বৃত্তটির একটি জ্যা বলা হয়।
- বৃত্তের কেন্দ্রগামী যেকোনো জ্যা হলো ব্যাস।
- বৃত্তের দুইটি জ্যা-এর মধ্যে বৃহত্তর জ্যা-টি ক্ষুদ্রতর জ্যা অপেক্ষা কেন্দ্রের নিকটতম।
- কোনো বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে তাদের ছেদবিন্দু বৃত্তটির কেন্দ্র হবে।
- বৃত্তের সমান জ্যা-এর মধ্যবিন্দুগুলো সমবৃত্ত।
- বৃত্তের দুইটি জ্যা-এর মধ্যে কেন্দ্রের নিকটবর্তী জ্যা, দূরবর্তী জ্যা অপেক্ষা বৃহত্তর।

প্রশ্ন: প্রদত্তচিত্রের ∠ACB = কত ডিগ্রী?

সমাধান:
আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।

এখানে,
∠ACB একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠ACB = 90°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি এবং তার ক্ষেত্রফল সমান হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r

তাহলে, 
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
2πr = πr²
⇒ 2r = r²
⇒  r = 2

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (2)² = 4π

প্রশ্ন: 10 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার পরিধির কত শতাংশ?

সমাধান:
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (10)² = 100π
বৃত্তের পরিধি = 2πr = 2 × π × 10 = 20π

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার পরিধির = (100π/20π) × 100 = 500 শতাংশ

প্রশ্ন: বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।


প্রদত্তচিত্রে,
ABCD  একটি বৃত্তের অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ।
এখানে,
∠ABC + ∠ADC = 180°
এবং ∠BAD + ∠BCD = 180°

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা এর দৈর্ঘ্য 20 সেমি, কেন্দ্র দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য 16 হলে, কেন্দ্র হতে দূরবর্তী জ্যা এর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান-

বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা হচ্ছে বৃত্তের ব্যাস।
∴ ব্যাসার্ধ, OA = 20/2 = 10 সেমি

আবার, বৃত্তের যেকোনো জ্যা এর লম্ব-দ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
অর্থাৎ AD = AC/2 = 16/2 = 8 সেমি

পিথাগোরাসের সূত্র মতে, OD = √(10² - 8²)
= √(100 - 64)
= √36
= 6 সেমি

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।

প্রশ্ন: 56° কোণ বিশিষ্ট একটি বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল 17.6 বর্গসেমি হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = πr² × (θ/360°)

শর্তমতে,
πr² × (θ/360) = 17.6
⇒ r² = (17.6 × 360 × 7) / (22 × 56)
⇒ r² = 36
⇒ r = 6

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাস 84 সেমি হলে জানালাটির পরিসীমা কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস

দেওয়া আছে, ব্যাস, 2r = 84 সেমি

পরিসীমা = (2πr/2) + 2r 
= πr + 2r
= (22/7) × (84/2) + 84
= 132 + 84
= 216 সেমি

প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাস 126 সেমি। চাকাটি 200 বার ঘুরলে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?

সমাধান:
আমরা জনাই,
চাকা এক বার ঘুরলে পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।

পরিধি = 2πr
= 2 × (22/7) × (126/2
= 396 সেমি

1 বার ঘুরলে যায় 396 সেমি
200 বার ঘুরলে যায় (396 × 200) সেমি 
= 79200 সেমি
= 792 মিটার

প্রশ্ন: 16 সেমি এবং 12 সেমি ব্যাস বিশিষ্ট দুটি ছোট বৃত্তাকার পার্ককে একটি বড় বৃত্তাকার পার্ক দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হলো। যদি নতুন বৃত্তাকার পার্কটির ক্ষেত্রফল, ছোট বৃত্তাকার পার্ক দুটির ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হয়, তাহলে নতুন বৃত্তাকার পার্কটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
মনে করি,
নতুন বৃত্তাকার পার্কটির ক্ষেত্রফল = r সেমি

দেওয়া আছে,
ছোট বৃত্তাকার পার্ক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 16/2 = 8 সেমি এবং 12/2 = 6 সেমি।

শর্তমতে,
πr² = π.(8)² + π.(6)²
⇒ πr² = 64π + 36π
⇒ πr² = 100π
⇒ r² = 100
⇒ r = 10