নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: r - [r - {r - (r + 1)}] এর মান কত?

সমাধান:
r - [r - {r - (r + 1)}]
= r - [r - {r - r - 1}]
= r - [r - {- 1}]
= r - [r + 1]
= r - r - 1
= - 1

প্রশ্ন: 2a² - 4ab + 4b² রাশিটির সাথে কত যোগ বা বিয়োগ করলে রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
2a² - 4ab + 4b²
= a² - 2.a.(2b) + (2b)² + a²
= (a - 2b)² + a²

∴ রাশিটি থেকে a² বিয়োগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: x³a - a²x² এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
x³a - a²x²
= x²a(x - a)
= ax²(x - a)

প্রশ্ন: (x/3) - (x/5) = 2 এর সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(x/3) - (x/5) = 2
⇒ (5x - 3x)/15 = 2
⇒ 2x/15 = 2
⇒ 2x = 30
∴ x = 15

প্রশ্ন: যদি x, y থেকে বড় হয়, তাহলে 1/x, 1/y থেকে-

সমাধান:
যদি x, y থেকে বড় হয়, তাহলে 1/x, 1/y থেকে ছোট হয়।
যেমন:
x = 5 এবং y = 4 হলে,
1/x = 1/5 = 0.20

1/y = 1/4 = 0.25

∴ 1/y > 1/x

প্রশ্ন: x² - 3x - 2 কে  x + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কী হবে?

সমাধান:
ধরি,
p(x) = x² - 3x - 2
∴ x + 1 দ্বারা p(x) কে ভাগ করলে ভাগশেষ হবে p(- 1).

∴ p(- 1) = (- 1)² - 3(- 1) - 2
= 1 + 3 - 2
= 4 - 2
= 2

প্রশ্ন: একটি পুস্তকের দাম x টাকা। 3টি পুস্তক ক্রয় করে এক ব্যক্তির 5 টাকা কম পড়ে। তার কাছে কত টাকা ছিল?

সমাধান:
একটি পুস্তকের দাম x টাকা 
3টি পুস্তকের দাম 3x টাকা 

ব্যক্তিটির কাছে 5 টাকা কম থাকায় তার কাছে ছিল 3x - 5 টাকা।

প্রশ্ন: x² + (a + bc)x + abc এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
x² + (a + bc)x + abc
= x² + ax + bcx + abc
= x(x + a) + bc(x + a)
= (x + a)(x + bc)

প্রশ্ন: (x/2) + 3 = (x/3) + 4 এই সমীকরণে x এর মান কত?

সমাধান:
x/2 + 3 = x/3 + 4
⇒ x/2 - x/3 = 4 - 3
⇒ (3x - 2x)/6 = 1
⇒ x/6 = 1
∴ x = 6

প্রশ্ন: x > 0 এবং x² = 4x হলে x এর মান কোনটি?

সমাধান:
x² = 4x
⇒ x² - 4x = 0
⇒ x(x - 4) = 0
হয় x = 0 অথবা x - 4 = 0
∴ x = 4 [x > 0 বলে x = 0 গ্রহণযোগ্য নয়]

প্রশ্ন: a + b = √8 এবং a - b = √7 হলে, 8ab(a² + b²) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √8
a - b = √7

8ab(a² + b²)
= 4ab × 2(a² + b²)
= {(a + b)² - (a - b)²} × {(a + b)² + (a - b)²}
= {(√8)² - (√7)²} × {(√8)² + (√7)²}
= (8 - 7) × (8 + 7)
= 1 × 15
= 15

প্রশ্ন: xy - y² + 3x - 3y এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
 xy - y² + 3x - 3y
= y(x - y) + 3(x - y)
= (x - y)(y + 3)

প্রশ্ন: যদি y = 5x² - 2x এবং  x = 3 হয়, তাহলে y এর মান কত?

সমাধান:
x = 3

∴ y = 5 × (3)² - 2 × 3
= 5 × 9 - 6
= 45 - 6
= 39

প্রশ্ন: যদি 2x - 1 ≥ - 3 হয়, তাহলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
2x - 1 ≥ - 3
⇒ 2x ≥ - 3 + 1
⇒ 2x ≥ - 2
∴ x ≥ - 1

প্রশ্ন: a + b = 8, ab = 15 হলে, a² - b² =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b  = 8
ab = 15

∴ a - b = √{(a + b)² - 4ab}
= √(8² - 4 × 15)
= √(64 - 60)
= √4
= 2

a² - b²
= (a + b)(a - b)
= 8 × 2
= 16

প্রশ্ন: (x - 1)² - 25 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
(x - 1)² - 25
= (x - 1)² - 5²
= (x - 1 + 5)(x - 1 - 5)
= (x + 4)(x - 6)

প্রশ্ন: রাকিব ও সালমানের কাছে কিছু মার্বেল আছে। রাকিব যদি সালমানকে ১০টি মার্বেল দিয়ে দেয় তবে তাদের মার্বেলের সংখ্যা সমান হবে। আবার সালমান যদি রাকিবকে ২০টি মার্বেল দেয় তবে রাকিবের মার্বেলের সংখ্যা সালমানের মার্বেলের সংখ্যা দ্বিগুণ হবে। সালমানের কাছে কতটি মার্বেল আছে?

সমাধান:
ধরি,
রাকিব ও সালমানের কাছে x ও y টি মার্বেল আছে।
শর্তমতে,
x - 10 = y + 10
∴ x = y + 20 ……(i)

আবার,
2(y - 20) = x + 20
⇒ 2y - 40 = x + 20
⇒ 2y - 40 = y + 20 + 20 [(i) নং হতে পাই]
⇒ y = 80

∴ সালমানের ৮০টি মার্বেল আছে।

প্রশ্ন: x² - 9 ≤ 0 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
x² - 9 ≤ 0
⇒ x² ≤ 9
⇒ x ≤ ± 3
∴ - 3 ≤ x ≤ 3

x এর মান বর্গমূল করলে + 3 অপেক্ষা ছোট বা সমান এবং - 3 থেকে বড় বা সমান।

প্রশ্ন: যদি a - b = 7, ab = 60 হয়, তাহলে a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
a² + b² = (a - b)² + 2ab
= (7)² + 2 × 60
= 49 + 120
= 169

প্রশ্ন: a⁴ + 4 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
a⁴ + 4
= (a²)² + 2a²2 + 2² - 4a²
= (a² + 2)² - (2a)²
= (a² + 2 + 2a)(a² + 2 - 2a)
= (a² + 2a + 2)(a² - 2a + 2)

প্রশ্ন: y³ + py + 10 = 0 এর একটি সমাধান 2 হয়, তবে p এর মান কত?

সমাধান:
∵ একটি সমাধান = 2,
y = 2 বসিয়ে পাই,
2³ + 2p + 10 = 0
⇒ 8 + 2p + 10 = 0
⇒ 2p = - 18
⇒ p = (- 18)/2
∴ p = - 9

∴ p এর মান (- 9)

প্রশ্ন: |x - 3| = 2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
|x - 3| = 2
⇒ (|x - 3|)² = 2²
⇒ (x - 3)² = 4
⇒ x² - 6x + 9 = 4
⇒ x² - 6x + 5 = 0
⇒ x² - 5x - x + 5 = 0
⇒ x(x - 5) - 1(x - 5) = 0
⇒ (x - 5)(x - 1) = 0
হয় x - 5 = 0 অথবা x - 1 = 0
∴ x = 5 অথবা x = 1

প্রশ্ন: x² + y² = 90 এবং xy = 27 হলে, x + y =?

সমাধান:
(x + y)² = x² + 2xy + y²
⇒ x + y = √(x² + y² + 2xy)
= √(90 + 2 × 27)
= √(90 + 54)
= √144
= 12

প্রশ্ন: x³ - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
x³ - 8
= x³ - 2³
= (x - 2)(x² + 2x + 2²)
= (x - 2)(x² + 2x + 4)

প্রশ্ন: (x/3) - (x/4) = (x + 1)/6 সমীকরণের সমাধান কত?

সমাধান:
(x/3) - (x/4) = (x + 1)/6
⇒ (4x - 3x)/12 = (x + 1)/6
⇒ 6x = 12x + 12
⇒ - 6x = 12
∴ x = - 2

প্রশ্ন: 2(x - 4) ≥ 3x - 5 হলে x এর বৃহত্তম মান কোনটি?

সমাধান:
2(x - 4) ≥ 3x - 5
⇒ 2x - 8 ≥ 3x - 5
⇒ 2x - 3x ≥ - 5 + 8
⇒ - x ≥ 3
∴ x ≤ - 3

∴ x এর বৃহত্তম মান হবে - 3

প্রশ্ন: p + q = 7 এবং pq = 10 হলে, p² + q² + 3pq = কত?

সমাধান:
p² + q² + 3pq
= (p + q)² - 2pq + 3pq
= (7)² + pq
= 49 + 10
= 59

প্রশ্ন: a² + 6a + 8 - y² + 2y কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

সমাধান:
a² + 6a + 8 - y² + 2y
= a² + 2.a.3 + (3)² - y² + 2.y.1 - (1)²
= (a + 3)² - (y - 1)²
= {(a + 3) + (y - 1)} {(a + 3) - (y - 1)}
= (a + 3 + y - 1)(a + 3 - y + 1)
= (a + y + 2)(a - y + 4)

প্রশ্ন: যদি y = 5x + 4 এবং 5x + 8 = 40 হয় তবে y =?

সমাধান:
5x + 8 = 40
⇒ 5x = 32
∴ x = 32/5

y = 5x + 4
= 5 × (32/5) + 4
= 32 + 4
= 36

প্রশ্ন: |2x - 3| < 7 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
|2x - 3| < 7
⇒ - 7 < 2x - 3 < 7
⇒ - 7 + 3 < 2x < 7 + 3
⇒ - 4 < 2x < 10
∴ - 2 < x < 5

প্রশ্ন: যদি x² + 1/x² = 1 হয়, তাহলে x³ + 1/x³ এর মান কত?

সমাধান:
x² + 1/x² = 1
⇒ (x + 1/x)² - 2.x.(1/x) = 1
⇒ (x + 1/x)² = 3
∴ x + 1/x = √3

x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= (√3)³ - 3 × √3
= 3√3 - 3√3
= 0

প্রশ্ন: (a + b + c)(x + y) + (a + b + c)(y + z) + (a + b + c)(z + x)- কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

সমাধান:
(a + b + c)(x + y) + (a + b + c)(y + z) + (a + b + c)(z + x)
= (a + b + c)(x + y+ y + z + z + x)
= (a + b + c)(2x + 2y + 2z)
= 2(a + b + c)(x + y + z)

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা ৫০। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ১৫ টাকা এবং মোট ভাড়া ১২০০ টাকা হলে, ডেকের যাত্রী কত?

সমাধান:
ধরি,
কেবিনের যাত্রী সংখ্যা x জন
ডেকের যাত্রী সংখ্যা 50 - x জন
ডেকের ভাড়া 15 টাকা
কেবিনের ভাড়া 15 × 2 = 30 টাকা

প্রশ্নমতে,
15(50 - x) + 30x = 1200
বা, 750 - 15x + 30x = 1200
বা, 15x = 450
বা, x = 30

∴ ডেকের যাত্রী সংখ্যা = 50 - 30 = 20 জন 

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন।
- 3 < x < 2

সমাধান:
- 3 < x < 2
- 3 ও 2 এর গড় = (- 3 + 2)/2 = - 1/2

∴ - 3 + 1/2 < x + 1/2 < 2 + 1/2
⇒ - 5/2 < (2x + 1)/2 < 5/2
⇒ - 5 < 2x + 1 < 5
∴ |2x + 1| < 5

প্রশ্ন: a = 2, b = - 3 হলে 16a² + 24ab + 9b² এর মান কত?

সমাধান:
16a² + 24ab + 9b²
= (4a)² + 2. 4a. 3b + (3b)²
= (4a + 3b)²
= { 4 × 2 + 3 × (- 3)}²
= (8 - 9)²
= (- 1)²
= 1

প্রশ্ন: নিচের কোনটি p³ - 6p² + 11p - 6 এর উৎপাদক নয়?

সমাধান:
p³ - 6p² + 11p - 6
= p³ - p² - 5p² + 5p + 6p - 6
= p² (p - 1) - 5p(p - 1) + 6(p - 1)
= (p - 1)(p² - 5p + 6)
= (p - 1)(p² - 3p - 2p +6)
= (p - 1){p(p - 3) - 2(p - 3)}
= (p - 1)(p - 2)(p - 3)

প্রশ্ন: 2y = 2x - 4 এবং 4x - 5y = 3 হলে, x ও y এর মান কত?

সমাধান:
2y = 2x - 4
⇒ y = x - 2 ..........(1)

4x - 5y = 3
⇒ 4x - 5(x - 2) = 3
⇒ 4x - 5x + 10 = 3
⇒ - x = - 7
∴ x = 7

x এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
y = 7 - 2 = 5

∴ নির্ণেয় মান (x, y) = (7, 5)

প্রশ্ন: x² - 2x - 15 > 0 এর সমাধান সেট নিচের কোনটি?

সমাধান:
x² - 2x - 15 > 0
⇒ x² - 5x + 3x - 15 > 0
⇒ x(x - 5) + 3(x - 5) > 0
⇒ (x - 5)(x + 3) > 0 ...............(1)

(1) সত্য হবে যদি (x - 5), (x + 3) উভয়েই ধনাত্মক হয়।
x - 5 > 0
∴ x > 5

x + 3 > 0
∴ x > - 3

আবার (1) সত্য হবে যদি (x - 5), (x + 3) উভয়েই ঋনাত্মক হয়।
x - 5 < 0
∴ x < 5

x + 3 < 0
∴ x < - 3

কিন্তু,
- 3 < x < 5 এর জন্য 
(x - 5)(x + 3) এর মান ঋণাত্মক হয়। যা গ্রহণযোগ্য নয়।

∴ x এর সঠিক মান হবে x > 5 অথবা x < - 3
∴ নির্ণেয় সেট S = {x : x > 5 অথবা x < - 3}

প্রশ্ন: x + 1/x = √5 হলে, x³ + 1/x³ =?

সমাধান:
x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= (√5)³ - 3 × √5
= 5√5 - 3√5
= 2√5

প্রশ্ন: 2x² - 5xy + 2y² এর একটি উৎপাদক হবে-

সমাধান:
2x² - 5xy + 2y²
= 2x² - 4xy - xy + 2y²
= 2x(x - 2y) - y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x - y)

প্রশ্ন: 2x³ - 5x² + 4 = 0 সমীকরণে x এর সহগ কত?

সমাধান:
2x³ - 5x² + 4 = 0

প্রদত্ত সমীকরণে x এর কোন পদ নাই। এজন্য x এর সহগ হবে 0.

প্রশ্ন: (x + 3)(x - 5) < 0 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
 (x + 3)(x - 5) = 0 নিয়ে পাই,
x = - 3 এবং x = 5

প্রশ্নে < চিহ্ন থাকায়,
x < বড় সংখ্যা এবং x > ছোট সংখ্যা হবে।

∴ - 3 < x < 5

প্রশ্ন: a - 1/a = 2 হলে, a³ - 1/a³ এর মান কত?

সমাধান:
a³ - 1/a³
= (a - 1/a)³ + 3.a.(1/a)(a - 1/a)
= (2)³ + 3 × 2
= 8 + 6
= 14

প্রশ্ন: x² - 5ax - 66a² এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - 5ax - 66a²
= x² - 11ax + 6ax - 66a²
= x(x - 11a) + 6a(x - 11a)
= (x - 11a)(x + 6a)
= (x + 6a)(x - 11a)

প্রশ্ন: x² - x - 6 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় হবে-

সমাধান:
x² - x - 6 = 0
⇒ x² - 3x + 2x - 6 = 0
⇒ x(x - 3) + 2(x - 3) = 0
⇒ (x - 3) (x + 2) = 0
হয়, x - 3 = 0 অথবা x + 2 = 0
∴ x = 3 অথবা x = - 2

প্রশ্ন: x = 1 + √3 হলে, x³ = কত?

সমাধান:
x = 1 + √3
⇒ x³ = (1 + √3)³
= 1³ + 3.1².√3 + 3.1.(√3)² + (√3)³
= 1 + 3√3 + 9 + 3√3
= 10 + 6√3

প্রশ্ন: a + b + c = 35 এবং a² + b² + c² = 825 তাহলে, ab + bc + ca =?

সমাধান:
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
⇒ 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)
⇒ ab + bc + ca = {(a + b + c)² - (a² + b² + c²)}/2
= {(35)² - 825}/2
= (1225 - 825)/2
= 400/2
= 200

প্রশ্ন: a³ - 21a - 20 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
ধরি, f(a) = a³ - 21a - 20

এখন,
f(- 1) = (- 1)³ - 21 × (- 1) - 20
= - 1 + 21 - 20
= 21 - 21
= 0

∴ a - (- 1) বা, (a + 1), f(a) এর একটি উৎপাদক।

প্রদত্ত রাশি
= a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a²(a + 1) - a(a + 1) - 20(a + 1)
= (a + 1)(a² - a - 20)

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে ছাত্র বসলে 4 টি বেঞ্চ খালি থাকে। প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে বসলে 1 জন দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেণিতে কয়টি বেঞ্চ আছে?

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = x টি

১ম শর্তমতে, ছাত্র সংখ্যা = 5(x - 4) জন = (5x - 20) জন
২য় শর্তমতে, ছাত্র সংখ্যা = 4x +1 জন

∴ 5x - 20 = 4x +1
⇒ 5x - 4x = 1 + 20
⇒ x = 21
∴ বেঞ্চ সংখ্যা = 21 টি।

প্রশ্ন: a + b = c হলে a³ + b³ + 3abc এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = c

a³ + b³ + 3abc
= (a + b)³ - 3ab(a + b) + 3abc
= (c)³ - 3abc + 3abc
= c³