৪৯তম বিসিএস ⎯ গণিত [৫৫১]

If A and B are non singular then
(AB)(AB)^-1=I=AA^-1=AIA^-1=A(BB^-1)A^-1=AB(B^-1A^-1)
(AB)^-1 = (B^-1A^-1)

Since, 
​Aⁿ = I
​⇒ A. A^{n - 1}= I 
⇒ A^-1(A. A^{n - 1})=  A^-1I
⇒ (A^-1A ). A^{n - 1}=  A^-1
⇒ I A^{n - 1}=  A^{- 1}
⇒ A^{n - 1}=  A^{- 1}

।।U।। = √(|2 - i|² +| 2i |²) 
​      =√(4 + 1+ 4)
​      = 3

∂ = - 3 হইলে  L₃ ⇒ 0=-5 , যাহা সঙ্গত নয়। সুতরাং ​∂ = - 3 এর জন্য প্রদত্ত সমীকরণ জোটের কোনো সমাধান নাই।

​(∂+ 3)(∂-2) ≠ 0 বা   ∂ ≠ -3,2 এর জন্য প্রদত্ত সমীকরণ জোটের একক সমাধান বিদ্যমান থাকবে ।

U={(a, b, c, d) : b + c + d = 0}
​b + c + d = 0
a.0 + ​​b + c + d = 0
​Since the independent variable of the equation is 3 (b, c, d), So Dimension = 3

b + c + d = 0
a.0 + ​b + c + d = 0..............(1)
​
​let, the independent variable  of (1) is a, c, d and a = r, c = s, d=t where r, s, t €R
​⇒b =- s - t
​now, (a, b, c, d)= (r, - s - t, s, t)= r(1, 0, 0, 0) + s(0, -1, 1, 0) + (0, -1, 0, 1)
​
​so the Basis of U ={(1, 0, 0, 0),(0, -1, 1, 0),(0, -1, 0, 1)}
​

a = d, d = 2c
​
​So the Dimension of U = 2

It is row echelon matrix. Here it has 2 non-zero rwo, so rank = 2
​ so nullity= column number - rank= 3 -  2 = 1

The basis of z-axis is=1{(0,0,1)}
​and dimension = 1

Since AB=A ⇒ A^-1(AB) =A^-1A 
​⇒ (A^-1A)B=I [ASSOSIATIVITY]
​⇒ B=I
​similarly A=I

Since A is upper triangular (উর্ধ্ব ত্রিজাকার) matrix 
​so ΙAΙ= 1.4.6=24

Ιu.vΙ≤ΙΙuΙΙ ΙΙvΙΙ is the called Cauchy-schwarz (কসি সোহার্যের) inequality

 U= (-1,2,5) 
​ΙΙUΙΙ=√(1+4+24)= √30