৪৫ দিনে ৫০তম বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক] - Archived

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃটি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গফুট। ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য ১৪ ফুট হলে শীর্ষ বিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি,
লম্বের দৈর্ঘ্য = ক ফুট

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ ৮৪ = (১/২) × ১৪ × ক
⇒ ৮৪ = ৭ × ক
⇒ ক = ৮৪/৭
∴ ক = ১২ ফুট

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল ১৭৬৪ বর্গ মি. এবং এর চারদিকে বেড়া দেয়া আছে। প্রতি মিটার বেড়া ‍দিতে ১০ টাকা খরচ হলে সম্পূর্ণ মাঠটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = ১৭৬৪ বর্গ .মি.
বর্গাকার মাঠের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √১৭৬৪ মি.
= ৪২ মি.

∴ বর্গাকার মাঠের পরিসীমা = (৪২ × ৪) মি.
= ১৬৮ মি.

∴ ১ মিটার বেড়া ‍দিতে খরচ হয় = ১০ টাকা
∴ ১৬৮ মিটার বেড়া ‍দিতে খরচ হয় = (১৬৮ × ১০) = ১৬৮০ টাকা

প্রশ্ন: ৩০° কোণের সম্পূরক কোণের এক-তৃতীয়াংশ কত?

সমাধান:
৩০° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৩০°
= ১৫০°

∴ ১৫০° কোণের এক-তৃতীয়াংশ = ১৫০°/৩
= ৫০°

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা ২৪ সে.মি. হলে, শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
মধ্যমা, AE = ২৪
ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।

∴ শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব, AD = (২/৩) × ২৪ = ১৬ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 10 সে.মি. এবং 24 সে.মি. হলে, রম্বসটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ABCD একটি রম্বস।
উহার AC = 10 cm, BD= 24 cm
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
AO = CO = 5 cm, BO = OD = 12 cm

ΔAOB এ
OA² + OB² = AB²
⇒ 5² + 12² = AB²
⇒ 25 + 144 = AB²
⇒ 169 = AB²
⇒ AB² = 13²
∴ AB = 13

প্রশ্ন: একটি মোটর সাইকেল ৯ কি.মি. পূর্বদিকে যায় তারপর ৪০ কি.মি. উত্তরদিকে যায়। যাত্রাস্থান থেকে মোটর সাইকেলটির সর্বশেষ অবস্থানের সরাসরি দূরত্ব কত?

সমাধান:

যাত্রাস্থান থেকে মোটর সাইকেলের সরাসরি দূরত্ব = √(৯^২ + ৪০^২)
= √(৮১ + ১৬০০)
= √১৬৮১
= ৪১ কিলোমিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ১১২ সে.মি. এবং বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৭ : ২৪ : ২৫ হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭ক, ২৪ক এবং ২৫ক

শর্তমতে,
৭ক + ২৪ক + ২৫ক = ১১২
⇒ ৫৬ক = ১১২
⇒ ক = ১১২/৫৬
∴ ক = ২

∴ বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য = (২ × ২৫) = ৫০ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আট বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।

সুতরাং অষ্টভুজের আটটি কোণের সমষ্টি = (২ × ৮) - ৪ সমকোণ
= ১৬ - ৪ সমকোণ
= ১২ সমকোণ

∴ অষ্টভুজের আটটি কোণের সমষ্টি = ১২ সমকোণ।

প্রশ্ন: POQ একটি সরল রেখা, যার ∠POR = 68°, এবং ∠QOR = Y° হলে, Y এর মান কত?

সমাধান:

এখানে,
Y° + 68° = 180° [এক সরলকোণ বলে]
⇒ Y° = 180° - 68°
⇒ Y° = 112°

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু ৩০ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির অন্তব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহু, a = ৩০ সে.মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের অন্তব্যাসার্ধ = a/২√৩
= ৩০/২√৩
= ১৫/√৩
= (৫ × ৩)/√৩
= (৫ × √৩ × √৩)/√৩
= ৫√৩

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 200 বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ 25 সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?
 
সমাধান:
মনে করি, সামান্তরিকক্ষেত্রের একটি কর্ণ d = 25 সে. মি. এবং এর বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য h সে.মি.।
∴ সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = dh বর্গ সে.মি.

প্রশানুসারে,
⇒ dh = 200
⇒ h = 200/25
∴ h = 8

∴ নির্ণেয় লম্বের দৈর্ঘ্য = 8 সে.মি.

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ ৭৫° হলে, পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ।

এখন,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৭৫° হলে,
পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ হবে = ৭৫°/২ = ৩৭.৫°

∴ পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ = ৩৭.৫°

প্রশ্ন: একটি মই ১৭ মিটার লম্বা। মইয়ের গোড়াটি একটি খাঁড়া দেওয়াল থেকে ৮ মিটার দূরে অবস্থিত হলে মইটি দিয়ে দেওয়ালের কত উচ্চতায় উঠা যাবে?

সমাধান:

দেওয়ালের উচ্চতা = √(১৭^২ - ৮^২) মিটার
= √(২৮৯ - ৬৪) মিটার
= √২২৫ মিটার
= ১৫ মিটার

প্রশ্ন: 942 সে.মি. দীর্ঘ তারকে একটি বৃত্তের আকারে বাঁধলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
তারের দৈর্ঘ্য = বৃত্তের পরিধি = 942 সে.মি.

ধরি,
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = r

এখানে,
বৃত্তের পরিধি = তারের দৈর্ঘ্য
⇒ 2πr = 942
⇒ 2r = 942/π
⇒ 2r = 942/3.14
⇒ 2r = (942 × 100)/314
⇒ 2r = 300
∴ r = 300/2 = 150 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত 11 : 1 হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = 11x
বহিঃস্থ কোণ = x

প্রশ্নমতে,
x + 11x = 180°
⇒ 12x = 180°
⇒ x = 180°/12
∴ x = 15°

এখানে,
অন্তঃস্থ কোণ = (11 × 15°) = 165°
বহিঃস্থ কোণ = 15°

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = 360°/15° = 24 টি

প্রশ্ন: একটি কোণের মান একটি সমবাহু ত্রিভুজের একবাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তার এক-তৃতীয়াংশের সমান হলে, উক্ত কোণের পূরক কোণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতি কোণের মান ৬০°
এক বাহু বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ = ১২০°

∴ ১২০ এর এক-তৃতীয়াংশ = ১২০/৩ = ৪০°

∴ ৪০° এর পূরক কোণ = ৯০ - ৪০ = ৫০°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৮ মিটার ও ১৬ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ১৬
= ৬৪ বর্গমিটার

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৬৪ বর্গমিটার
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৬৪ = ৮ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৪ × ৮ মিটার
= ৩২ মিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ১.৫ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ২৯৪ বর্গমিটার হলে তার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = ক মিটার
দৈর্ঘ্য = ১.৫ক মিটার

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
⇒ ক × ১.৫ক = ২৯৪
⇒ ক^২ = ২৯৪/১.৫
⇒ ক^২ = ১৯৬ = ১৪^২
∴ ক = ১৪

∴ দৈর্ঘ্য = ১.৫ × ১৪ = ২১ মিটার

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণ ৯০° হলে, তার বাহুর সংখ্যার ঘনের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ = ৯০°
∴ সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = ১৮০° - ৯০°
= ৯০°

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°
∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/৯০°
= ৪ টি

সুতরাং, বাহু সংখ্যার ঘন = ৪^৩ = ৬৪

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য চারগুণ এবং প্রস্থ তিনগুণ করা হলে, ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি হবে?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = x
প্রস্থ = y
∴ ক্ষেত্রফল = xy

আবার,
নতুন দৈর্ঘ্য = ৪x
নতুন প্রস্থ = ৩y
∴ ক্ষেত্রফল = (৪x × ৩y)
= ১২xy

∴ বৃদ্ধি = ১২xy - xy
= ১১xy

অর্থাৎ ক্ষেত্রফল ১১ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: যদি দুইটি রেখা পরস্পরকে ছেদ করে, তবে ছেদবিন্দুতে উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণগুলো কেমন হয়?

সমাধান:

যখন দুটি রেখা পরস্পরকে ছেদ করে, তখন তারা একটি ছেদবিন্দুতে চারটি কোণ তৈরি করে। এই কোণগুলোর মধ্যে বিপরীত দিকে মুখ করা কোণগুলোকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

এই বিপ্রতীপ কোণগুলো সবসময় সমান হয়।

প্রশ্ন: ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য ‍8 একক হলে ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?
 
সমাধান:
ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য, a = 8 একক

আমরা জানি,
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গ একক
= (6 × 8²) বর্গ একক
= (6 × 64) বর্গ একক
= 384 বর্গ একক

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয়ই ১০% বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কত শতাংশ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = ক এবং প্রস্থ = খ
∴ ক্ষেত্রফল = কখ

আবার,
নতুন দৈর্ঘ্য = ক + (ক এর ১০%) = ১.১ক
নতুন প্রস্থ = খ + (খ এর ১০%) = ১.১খ
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = ১.১ক × ১.১খ = ১.২১ কখ

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = ১.২১ কখ - কখ = ০.২১কখ

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে = (০.২১কখ/কখ) × ১০০% = ২১%

সুতরাং ক্ষেত্রফল ২১% বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: ৫০ মিটার দীর্ঘ এবং ৩০ মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরে চারদিকে ২.৫ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে । রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রাস্তাসহ বাগানের,
দৈর্ঘ্য = ৫০ মি. + (২.৫ + ২.৫) মি. = ৫৫ মিটার
প্রস্থ = ৩০ মি. + (২.৫ + ২.৫) মি. = ৩৫ মিটার

∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (৫৫ × ৩৫) = ১৯২৫ বর্গমিটার

এবং
রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৩০) = ১৫০০ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (১৯২৫ - ১৫০০) = ৪২৫ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অন্তঃকোণগুলোর অনুপাত 4 : 5 : 6 : 7 : 8 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান:
কোণগুলোর সমষ্টি = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30
পঞ্চভুজের 5 কোণের সমষ্টি = (5 - 2) × 180° = 3 × 180° =540°

∴ বৃহত্তম কোণ = (8/30) × 540° = 144°
এবং, ছোট কোণ = (4/30) × 540° = 72°

সুতরাং, পার্থক্য = 144° - 72° = 72°