গুরুত্বপূর্ণ টপিকের উপর পরীক্ষা - ১৩৫ মার্কস্‌ কাভার

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ১৫, ২০ ও ২৫ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৭, ১২ ও ১৭ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
১৫ - ৭ = ৮
২০ - ১২ = ৮
২৫ - ১৭ = ৮
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ১৫, ২০ ও ২৫ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৮ কম।

১৫, ২০ ও ২৫ এর ল.সা.গু বের করি,
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
২৫ = ৫ × ৫
এখন, ১৫, ২০ ও ২৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৫ = ৩০০

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে = ৩০০ - ৮ = ২৯২

প্রশ্ন:
একজন ছাত্রের পরীক্ষায় অংশগ্রহণ করার সম্ভাবনা ৫/৬ এবং পরীক্ষায় পাস করার সম্ভাবনা ৩/৪। তাহলে, সে পরীক্ষায় অংশ না নেওয়ার এবং পাস না করার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
পরীক্ষায় অংশগ্রহণ করার সম্ভাবনা = ৫/৬
∴ পরীক্ষায় অংশ না নেওয়ার সম্ভাবনা
= ১ - (৫/৬)
= (৬ - ৫)/৬
= ১/৬

আবার,
পরীক্ষায় পাস করার সম্ভাবনা = ৩/৪
∴ পাস না করার সম্ভাবনা
= ১ - (৩/৪)
= (৪ - ৩)/৪
= ১/৪

∴ পরীক্ষায় অংশ না নেওয়ার এবং পাস না করার সম্ভাবনা
= (১/৬) × (১/৪)
= ১/২৪

প্রশ্ন: যদি ⁿP_r = 30240 এবং ⁿC_r = 252 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ⁿP_r = 30240 এবং ⁿC_r = 252

আমরা জানি,
ⁿP_r = ⁿC_r × r!
⇒ 30240 = 252 × r!
⇒ r! = 30240/252
⇒ r! = 120
⇒ r! = 5!
∴ r = 5

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৭৫% ছাত্র গণিতে কৃতকার্য হয়েছে। গণিতে অকৃতকার্যের সংখ্যা মোট ৮০ জন হলে মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
গণিতে কৃতকার্য হয়েছে = ৭৫%
∴ গণিতে অকৃতকার্য হয়েছে = (১০০ - ৭৫)% = ২৫%

২৫ জন অকৃতকার্য হলে মোট পরীক্ষার্থী = ১০০ জন
∴ ১ জন অকৃতকার্য হলে মোট পরীক্ষার্থী = ১০০/২৫ জন
∴ ৮০ জন অকৃতকার্য হলে মোট পরীক্ষার্থী = (১০০ × ৮০)/২৫ জন
= ৮০০০/২৫ জন = ৩২০ জন

∴ পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ৩২০ জন।

প্রশ্ন: কোনো আসল সরল সুদে ৩ বছরে সুদে-আসলে ৬৫২ টাকা এবং ৫ বছরে সুদে-আসলে ৭০০ টাকা হলে, আসল কত?  

সমাধান: 
আসল + ৫ বছরের সুদ =৭০০ টাকা
আসল + ৩ বছরের সুদ= ৬৫২ টাকা
________________________________ 
∴ ২ বছরের সুদ = (৭০০ - ৬৫২) = ৪৮ টাকা
∴ ১ বছরের সুদ =৪৮/২ টাকা
∴ ৫ বছরের সুদ = (৪৮ × ৫)/২ টাকা
= ১২০ টাকা

∴ আসল = (৭০০ - ১২০)
= ৫৮০ টাকা।

প্রশ্ন: হাসান ২৫% কমিশনে ৪৫০ টাকা দিয়ে একটি কলম সেট ক্রয় করলো। কলম সেটটির লিখিত মূল্য কত?

সমাধান:
২৫% কমিশনে,
কলম সেটটির ক্রয়মূল্য = (১০০ - ২৫) = ৭৫ টাকা

∴ ক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা হলে লিখিত মূল্য = ১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে লিখিত মূল্য = (১০০/৭৫) টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৪৫০ টাকা হলে লিখিত মূল্য = (১০০ × ৪৫০)/৭৫ = ৬০০ টাকা

∴ কলম সেটটির লিখিত মূল্য = ৬০০ টাকা।

প্রশ্ন: 'ENGLAND' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 'PANAMA' শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যস্ত সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
ENGLAND শব্দে মোট বর্ণ = 7 টি
এর মধ্যে N = 2 বার, বাকি সব বর্ণ 1 বার করে আছে।
∴ বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/2
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3
= 2520

আবার, PANAMA শব্দে মোট বর্ণ = 6 টি
এর মধ্যে A = 3 বার, বাকি সব বর্ণ 1 বার করে আছে।
∴ বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3!
= (6 × 5 × 4 × 3!)/3!
= 6 × 5 × 4 = 120

∴ ENGLAND শব্দের বিন্যাস সংখ্যা PANAMA শব্দের বিন্যাস সংখ্যার 2520/120 = 21 গুণ।

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৪টি লাল, ৫টি সবুজ ও ৬টি নীল বল আছে। একটি বল তোলা হলে, বলটি লাল অথবা নীল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল = ৪ + ৫ + ৬ = ১৫
এবং লাল বা নীল বল পাওয়ার অনুকূল ফলাফল = লাল বলের সংখ্যা + নীল বলের সংখ্যা
= ৪ + ৬ = ১০টি

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা​/মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা
= ১০/১৫
= ২/৩

প্রশ্ন: একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার চার গুণের সাথে পরবর্তী বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার পাঁচ গুণ যোগ করলে ৯১ হয়। প্রথম বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, প্রথম বিজোড় সংখ্যা = ক 
∴ পরবর্তী বিজোড় সংখ্যা = ক + ২

শর্তমতে,
৪ক + ৫(ক + ২) = ৯১
⇒ ৪ক + ৫ক + ১০ = ৯১
⇒ ৯ক = ৯১ - ১০
⇒ ৯ক = ৮১
⇒ ক = ৮১/৯
⇒ ক = ৯

∴ প্রথম বিজোড় পূর্ণসংখ্যাটি ৯

প্রশ্ন: একটি পণ্যের মূল্য প্রথমে ২৫% বৃদ্ধি পায় এবং পরে ২০% হ্রাস পায়। পণ্যটির মূল্যের সামগ্রিক পরিবর্তন-

সমাধান:
ধরি, পণ্যটির মূল্য = ১০০ টাকা

২৫% বৃদ্ধিতে, পণ্যটির মূল্য = ১০০ + ২৫ = ১২৫ টাকা

২০% হ্রাসে,
১০০ টাকায় হ্রাস পেয়ে মূল্য দাঁড়ায় = ১০০ - ২০ = ৮০ টাকা
∴ ১ টাকায় হ্রাস পেয়ে মূল্য দাঁড়ায় = ৮০/১০০ টাকা
∴ ১২৫ টাকায় হ্রাস পেয়ে মূল্য দাঁড়ায় = (৮০/১০০) × ১২৫ টাকা = ১০০ টাকা

∴ পরিবর্তন = ১০০ - ১০০ = ০ টাকা

∴ কোন পরিবর্তন নেই।

প্রশ্ন: ২০টি কমলা ৮০ টাকায় বিক্রি করায় ২০% লাভ হলো। তাহলে প্রতি ডজন কমলার ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
২০% লাভে, বিক্রয় মূল্য = (১০০ + ২০) = ১২০ টাকা

বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (৮০ × ১০০)/১২০ টাকা
= ৮০০০/১২০ = ২০০/৩ টাকা

এখন,
২০ টি কমলার ক্রয়মূল্য = ২০০/৩ টাকা
∴ ১ টি কমলার ক্রয়মূল্য = ২০০/(৩ × ২০)  টাকা
∴ ১২ টি কমলার ক্রয়মূল্য = (২০০ × ১২)/(৩ × ২০) টাকা
= ৪০ টাকা

প্রশ্ন: যদি A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 4, 6} এবং C = {1, 5, 6} হয়, তবে (A - B) ∪ C = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 
B = {2, 3, 4, 6} এবং 
C = {1, 5, 6} 

এখন, 
A - B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {2, 3, 4, 6} 
= {1, 5} 

∴ (A - B) ∪ C 
= {1, 5} ∪ {1, 5, 6} 
= {1, 5, 6} 

প্রশ্ন: 'MISSISSIPPI' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'MISSISSIPPI' শব্দটিতে মোট 11টি অক্ষর আছে।

এখানে,
M আছে 1 বার
I আছে 4 বার
S আছে 4 বার
P আছে 2 বার

আমরা জানি, যদি কোনো শব্দে n টি অক্ষরের মধ্যে একই অক্ষর যথাক্রমে a, b, c …… বার থাকে, তবে মোট সাজানোর উপায় = n! / (a! × b! × c! ……)

∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায়
= 11! / (4! × 4! × 2!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/(4! × 4! × 2!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5)/(24 × 2)
= 39916800/1152
= 34650

∴ মোট সাজানোর উপায় = 34650

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৪২০ এবং গ.সা.গু ২০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৩/৭ অংশ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ৭ক/৩

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু
⇒ ক × (৭ক/৩) = ৪২০ × ২০
⇒ (৭/৩)ক^২ = ৮৪০০
⇒ ক^২ = ৮৪০০ × (৩/৭)
⇒ ক^২ = ৩৬০০
⇒ ক = √৩৬০০
∴ ক = ৬০

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৬০

∴ বড় সংখ্যাটি = (৬০ × ৭)/৩ = ৪২০/৩ = ১৪০

সুতরাং বড় সংখ্যাটি = ১৪০

প্রশ্ন: ৩৯০ টাকা ৩ জনকে (১/২) : (১/৩) : (১/৪) অনুপাতে ভাগ করে দিলেন। প্রথম জন ও তৃতীয় জনের টাকার পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= (১/২) : (১/৩) : (১/৪)
= {(১ × ১২)/২} : {(১ × ১২)/৩} : {(১ × ১২)/৪}   ;[ ২, ৩, ৪ এর ল, সা গু = ১২ ]
= ৬ : ৪ : ৩

অনুপাতের সমষ্টি = ৬ + ৪ + ৩ = ১৩

এখন,
প্রথম জন পাবে = (৩৯০ এর ৬/১৩) = (৩০ × ৬) = ১৮০ টাকা
তৃতীয় জন পাবে = (৩৯০ এর ৩/১৩) = (৩০  ৩) = ৯০ টাকা

∴ প্রথম জন এবং তৃতীয় জনের টাকার পার্থক্য = ১৮০ - ৯০ = ৯০ টাকা

প্রশ্ন: ৬% হারে ২৫০০০ টাকার ২ বছরের সরল মুনাফা এবং চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
এখানে, মূলধন, P = ২৫০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৬%
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
সরল মুনাফা = Prn/১০০
= (২৫০০০ × ৬ × ২)/১০০
= ৩০০০ টাকা

আবার,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = P{১ + (r/১০০)}ⁿ - P
= ২৫০০০{১ + (৬/১০০)}^২ - ২৫০০০
= ২৫০০০{১ + (৩/৫০)}^২ - ২৫০০০
= ২৫০০০ × (৫৩/৫০)^২ - ২৫০০০
= ২৫০০০ × (৫৩/৫০) × (৫৩/৫০) - ২৫০০০
= ২৫০০০ × (২৮০৯/২৫০০) - ২৫০০০
= ২৮০৯০ - ২৫০০০
= ৩০৯০ টাকা

∴ পার্থক্য = ৩০৯০ - ৩০০০ = ৯০ টাকা

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৫ ও ৪৫ হলে, এর মধ্য সমানুপাতী কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম রাশি = ৫
৩য় রাশি = ৪৫

আমরা জানি,
(মধ্য রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি
⇒ (মধ্য রাশি)^২ = ৫ × ৪৫
⇒ (মধ্য রাশি)^২ = ২২৫
⇒ মধ্য রাশি = √২২৫
∴ মধ্য রাশি = ১৫

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: টাকায় ৮টি করে আম ক্রয় করে টাকায় ৬টি বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
টাকায় ৮টি করে আম ক্রয় করলে,
৮টি আমের ক্রয়মূল্য = ১ টাকা
∴ ১টি আমের ক্রয়মূল্য = ১/৮ টাকা

আবার,
টাকায় ৬টি করে আম বিক্রয় করলে,
৬টি আমের বিক্রয়মূল্য = ১ টাকা
∴ ১টি আমের বিক্রয়মূল্য = ১/৬ টাকা

∴ ১টি আমে লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
= (১/৬) - (১/৮)
= (৮ - ৬)/৪৮
= ২/৪৮
= ১/২৪ টাকা

∴ লাভের হার = (লাভ/ক্রয়মূল্য) × ১০০%
= {(১/২৪)/(১/৮)} × ১০০%
= (১/২৪) × (৮/১) × ১০০%
= (৮/২৪) × ১০০%
= (১/৩) × ১০০%
= ৩৩.৩৩%

∴ শতকরা ৩৩.৩৩% লাভ হবে।

প্রশ্ন: সার্বিক সেট U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 6} এবং C = {1, 3, 5, a, b,} হলে, (A' ∪ B') ∩ C =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
A = {2, 4, 6}
এবং B = {1, 3, 6}

A' = U - A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {2, 4, 6}
= {1, 3, 5}

B' = U - B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {1, 3, 6}
= {2, 4, 5}

A' ∪ B' = {1, 3, 5} ∪ {2, 4, 5}
= {1, 2, 3, 4, 5}

∴ (A′ ∪ B′) ∩ C = {1, 2, 3, 4, 5} ∩ {1, 3, 5, a, b} = {1, 3, 5}

প্রশ্ন: ৪/৩, ৮/৯, ১২/৬ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
লবগুলোর গ.সা.গু বের করি,
৪ = ২ × ২
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
৪, ৮, ১২ এর গ.সা.গু = ৪

হরগুলোর ল.সা.গু বের করি,
৩ = ৩
৯ = ৩ × ৩
৬ = ২ × ৩
৩, ৯, ৬ এর ল.সা.গু = ১৮

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = লবগুলোর গ.সা.গু/হরগুলোর ল.সা.গু
= ৪/১৮
= ২/৯

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৮৫% শিক্ষার্থী পদার্থবিজ্ঞানে এবং ৭৫% শিক্ষার্থী রসায়নে পাশ করল। যদি ৬৫% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করে থাকে, তাহলে শতকরা কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
পদার্থবিজ্ঞানে পাশ করেছে = ৮৫%
রসায়নে পাশ করেছে = ৭৫%
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = ৬৫%

কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ করেছে = (পদার্থবিজ্ঞানে পাশ) + (রসায়নে পাশ) - (উভয় বিষয়ে পাশ)
= (৮৫ + ৭৫ - ৬৫)%
= (১৬০ - ৬৫)%
= ৯৫%

উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (মোট শিক্ষার্থী) - (কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ)
= (১০০ - ৯৫)%
= ৫%

∴ উভয় বিষয়ে শতকরা ৫ জন শিক্ষার্থী ফেল করেছে।

প্রশ্ন: শতকরা ৮ টাকা হার সরল সুদে কত বছরে ৬০০০ টাকা সুদে-আসলে ৯৬০০ টাকা হয়?

সমাধান:
এখানে, আসল, P = ৬০০০ টাকা
সুদ-আসল, A = ৯৬০০ টাকা
সুদ, I = (৯৬০০ - ৬০০০) টাকা = ৩৬০০ টাকা
সুদের হার, r = ৮%

আমরা জানি,
I = (P × n × r)/১০০
⇒ n = (I × ১০০)/(P × r)
⇒ n = (৩৬০০ × ১০০)/(৬০০০ × ৮)
⇒ n = ৩৬০০০০/৪৮০০০
⇒ n = ৭.৫ বছর

∴ সময় = ৭.৫ বছর

প্রশ্ন: 10 জন ছাত্র ও 5 জন ছাত্রী থেকে কত উপায়ে 4 জন ছাত্র ও 3 জন ছাত্রী নিয়ে একটি দল গঠন করা যাবে?

সমাধান:
10 জন ছাত্র থেকে 4 জন ছাত্র এবং 5 জন ছাত্রী থেকে 3 জন ছাত্রী বাছাই করতে হবে.
∴ মোট উপায় = ¹⁰C₄ × ⁵C₃
= 210 × 10 উপায়
= 2100 উপায়

প্রশ্ন: ক, খ এবং গ যথাক্রমে ২৭০০, ৮১০০ এবং ৭২০০ টাকা বিনিয়োগ করে একটি ব্যবসা শুরু করলো। ১ বছর পর খ ৩৬০০ টাকা মুনাফা পেলে তাদের মোট মুনাফা কত? 

সমাধান: 
ক, খ এবং গ বিনিয়োগের অনুপাত = ২৭০০ : ৮১০০ : ৭২০০ 
= ২৭ : ৮১ : ৭২ 
= ৩ : ৯ : ৮ 
∴ অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৩ + ৯ + ৮ 
= ২০ 

মনে করি, 
মোট মুনাফা = p টাকা 

প্রশ্নমতে, 
৯p/২০ = ৩৬০০ 
বা, ৯p= ৩৬০০ × ২০
বা, p = (৩৬০০ × ২০)/৯
∴ p = ৮০০০ টাকা

∴ মোট মুনাফা = ৮০০০ টাকা।

প্রশ্ন: Q = {x ∈ N: 5x ≤ 30} হলে, Q-এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
Q = {x ∈ N : 5x ≤ 30},
5x ≤ 30
⇒ x ≤ 6 অর্থাৎ 6 এর চেয়ে ছোট বা সমান সকল স্বাভাবিক সংখ্যা Q সেটের উপাদান।
∴ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Q সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2⁶ = 64

∴ Q-এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 64 - 1 = 63টি

প্রশ্ন: রহিম ৮০ টাকায় একটি বই বিক্রয় করায় কিছু টাকা ক্ষতি হয়। যদি সে বইটি ১৮৫ টাকায় বিক্রয় করতো তাহলে তাঁর পূর্বের ক্ষতির দ্বিগুণ লাভ হতো। বইটির ক্রয়মূল্য কত টাকা?

সমাধান:
ধরি, বইটির ক্রয়মূল্য = ক টাকা

৮০ টাকায় বিক্রয়ে ক্ষতি = ক - ৮০ টাকা
এবং ১৮৫ টাকায় বিক্রয়ে লাভ = ১৮৫ - ক টাকা

প্রশ্নমতে,
২(ক - ৮০) = ১৮৫ - ক
⇒ ২ক - ১৬০ = ১৮৫ - ক
⇒ ২ক + ক = ১৮৫ + ১৬০
⇒ ৩ক = ৩৪৫
∴ ক = ১১৫

অতএব, বইটির ক্রয়মূল্য ১১৫ টাকা।

প্রশ্ন: একই সরল সুদে ১২০০ টাকার ৪ বছরের সুদ এবং ১৬০০ টাকার ৩ বছরের সুদ একত্রে ১৯২০ টাকা হলে সুদের হার কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সরল সুদ, I = Pnr/১০০
যেখানে, P = আসল, n = সময় এবং r = সুদের হার।

১ম ক্ষেত্রে:
P = ১২০০ টাকা, n = ৪ বছর
 সুদ, I₁ = (১২০০ × ৪ × r)/১০০
= ৪৮r টাকা

২য় ক্ষেত্রে:
P = ১৬০০ টাকা, n = ৩ বছর
সুদ, I₂ = (১৬০০ × ৩ × r)/১০০
= ৪৮r টাকা

প্রশ্নমতে,
I₁ + I₂ = ১৯২০
⇒ ৪৮r + ৪৮r = ১৯২০
⇒ ৯৬r = ১৯২০
⇒ r = ১৯২০/৯৬
⇒ r = ২০

∴ সুদের হার ২০%।

প্রশ্ন: একটি সোনার গহনার ওজন ২৫ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ২। কী পরিমাণ সোনা মিশালে অনুপাত ৫ : ১ হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ২ 
∴ অনুপাত দুটির যোগফল = (৩ + ২) = ৫ 
∴ অনুপাতে সোনার পরিমাণ = ২৫ × (৩/৫) গ্রাম = ১৫ গ্রাম 
∴ অনুপাতে তামার পরিমাণ = ২৫ × (২/৫) গ্রাম = ১০ গ্রাম 

ধরি, 
সোনা মিশাতে হবে = ক গ্রাম 

শর্তমতে, 
(১৫ + ক)/১০ = ৫/১
বা, ১৫ + ক = ৫০
বা, ক = ৫০ - ১৫
∴ ক = ৩৫

∴ সোনা মিশাতে হবে = ৩৫ গ্রাম।