Bank Math Master

Question: In how many ways can the letters of the word 'ARRANGE' be arranged?

Solution:
'ARRANGE' শব্দটিতে মোট 7 টি বর্ণ আছে।

এই বর্ণগুলোর মধ্যে
'A' আছে 2 বার,
'R' আছে 2 বার,
এবং বাকি বর্ণগুলো ভিন্ন ভিন্ন।

সুতরাং, মোট সাজানোর সংখ্যা = 7!/(2! × 2!)
= 5040/(2 × 2)
= 5040/4
= 1260

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 1260

Question: A ladder leans against a vertical wall making an angle of 60° with the ground. If the foot of the ladder is 4.6 m away from the base of the wall, find the length of the ladder.

Solution:
 
Let AB be the wall and BC be the ladder.

 Then, ∠ACB = 60°
and AC = 4.6 m

We know,
cos∠ACB = AC/BC
⇒ cos60° = AC/BC
⇒ AC/BC= 1/2
⇒ BC = 2 × AC
⇒ BC = 2 × 4.6
∴ BC = 9.2 m

Question: At what angle the hands of a clock are inclined at 15 minutes past 5?

Solution:
Hours hand moves in 15 past.
5 from 12 p.m = (5 + 15/60) hours = 21/4 hours
Angle of hours hand = (360/12) × (21/4)
= 157.5°

Minutes hands makes angle of = (360/60) × 15
= 90°

Angle between hours and minutes hands = (157.5° - 90°)
= 67.5°

Question: How many ways can the word QUESTION be arranged with 2 letters each time?

Solution:
'QUESTION' শব্দটিতে মোট 8 টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ আছে (Q, U, E, S, T, I, O, N)

8টি ভিন্ন বর্ণ থেকে প্রতিবার 2টি বর্ণ নিয়ে সাজাতে হবে।

n টি ভিন্ন বস্তু থেকে r টি বস্তু নিয়ে সাজানোর উপায় = ⁿP_r = n!/(n - r)!

এখানে n = 8, r = 2
∴ ⁸P₂ = 8!/(8 - 2)!
= 8!/6!
= (8 × 7 × 6!)/(6!)
= 8 × 7
= 56

∴ 'QUESTION' শব্দের বর্ণগুলো থেকে প্রতিবার 2টি বর্ণ নিয়ে মোট 56 উপায়ে সাজানো যায়।

Question: If 16th March, 2005 is Wednesday, what was the day of the week on 16th March, 2004?

Solution:
Since 16th March is coming after February leap year will not count in 2004. 
Odd day is 1.

∴ 16th March, 2004 is Tuesday.

Question: Find the angle of elevation of the sun if the length of a tree's shadow is √3 times its actual height.

Solution:
 
Let,
AB = height of tree
BC= Shadow of tree
angle of elevation = C
∴  BC = √3 AB

We know,
tanC = AB/BC
⇒ tanC = AB/√3AB
⇒ tanC = 1/√3
⇒ tanC = tan30°
∴ C = 30°

Question: How many diagonals can be drawn in an octagon?

Solution:
An octagon has n = 8 vertices and 8 sides.
Total number of lines formed by joining 2 vertices out of 8 is: ⁸C₂
∴ Total lines = ⁸C₂
= 8!/{2! × (8 - 2)!}
= (8 × 7)/2 
= 28

These 28 lines include both the sides and the diagonals of the octagon.

Number of diagonals = Total lines - Number of sides
= 28 - 8
= 20

∴ The number of diagonals in an octagon is 20.

Question: If ⁶P_r = 120, what is the value of r?

Solution:
আমরা জানি, ⁿP_r = n!/(n - r)!
দেওয়া আছে,
⁶P_r = 120
⇒ 6!/(6 - r)! = 120
⇒ 720/(6 - r)! = 120 (কারণ 6! = 720)
⇒ (6 - r)! = 720/120
⇒ (6 - r)! = 6
⇒ (6 - r)! = 3!   (3! = 3 × 2 × 1 = 6)
⇒ 6 - r = 3
⇒ r = 6 - 3
∴ r = 3

Question: Today is Friday. After 58 days, it will be:

Solution:
আমরা জানি যে সপ্তাহের প্রতিটি দিন 7 দিন পর পুনরাবৃত্তি হয়।
58 ÷ 7 = 8 (ভাগশেষ 2)
অর্থাৎ, (7 × 8) = 56 দিন পর আবার শুক্রবার হবে।
∴ 58 দিন পর হবে (শুক্রবার + 2 দিন) = রবিবার।

Question: There are 7 non-collinear points. How many triangles can be drawn by joining these points?

Solution: 
A triangle is formed by joining any three non-collinear points in pairs.
There are 7 non-collinear points.

∴ The number of triangles formed = ⁷C₃ = 35

Question: An accurate clock shows 10:00 AM. Through how many degrees will the hour hand rotate when the clock shows 4:00 PM?

Solution: 
10:00 AM থেকে 4:00 PM পর্যন্ত অতিবাহিত সময় = 6 ঘণ্টা।

আমরা জানি,
ঘণ্টার কাঁটা 12 ঘণ্টায় ঘোরে 360°
∴ 1 ঘণ্টায় ঘোরে = 360°/12 = 30°
∴ 6 ঘণ্টায় ঘোরে = 6 × 30° = 180°

অতএব, 10:00 AM থেকে 4:00 PM পর্যন্ত ঘণ্টার কাঁটাটি 180° ঘুরবে

Question: If ⁿC₁₄ = ⁿC₇, what is the value of ⁿC₂?

Solution:
আমরা জানি,
যদি ⁿC_a = ⁿC_b হয়, তবে হয় a = b অথবা a + b = n হবে।

এখানে,
ⁿC₁₄ = ⁿC₇
⇒ 14 + 7 = n
⇒ n = 21

∴ ⁿC₂ = ²¹C₂
= 21!/(2! × (21 - 2)!) 
= 21!/(2! × 19!) 
= (21 × 20 × 19!)/(2 × 1 × 19!) 
= (21 × 20)/2 
= 21 × 10
= 210

Question: A 40-meter cable is attached from the top of a vertical pole to the ground. If the cable makes an angle of 30° with the ground, what is the height of the pole?

Solution:
 
ধরি, উচ্চতা(Height), AB = h
দেয়া আছে, AC = 40m
∠ACB = 30°

∴ sin30°= AB/AC
⇒ 1/2 = h/40
⇒ h = 40 × 1/2
∴ h = 20 m

Question: A committee of 4 members is to be formed from 6 men and 5 women. In how many different ways can the committee be formed if it must contain at least 2 men?

Solution:
To form a committee of 4 members with at least 2 men, we consider the following possible cases:

Case 1: 2 Men and 2 Women
Ways = ⁶C₂ × ⁵C₂
= 15 × 10
= 150

Case 2: 3 Men and 1 Woman
Ways = ⁶C₃ × ⁵C₁
= 20 × 5
= 100

Case 3: 4 Men and 0 Women
Ways = ⁶C₄ × ⁵C₀
= 15 × 1
= 15

Total number of ways = 150 + 100 + 15
= 265

Question: Which of the following is a leap year?

Solution:
অধিবর্ষ বা লিপ ইয়ার নির্ণয়ের দুটি প্রধান নিয়ম রয়েছে:
১. সাধারণ বছর: বছরটি 4 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হতে হবে।
২. শতাব্দী বছর (100 দ্বারা বিভাজ্য): বছরটি 400 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হতে হবে।

এখন,
ক) 1900 সাল (শতাব্দী বছর): 1900 ÷ 400 দ্বারা বিভাজ্য নয় (ভাগশেষ 300)। ⇒ অধিবর্ষ নয়।

খ) 2000 সাল (শতাব্দী বছর): 2000 ÷ 400 = 5 (ভাগশেষ 0)। ⇒ অধিবর্ষ।

গ) 2022 সাল: এটি 4 দ্বারা বিভাজ্য নয়। (2022 ÷ 4 ⇒ ভাগশেষ 2)। ⇒ অধিবর্ষ নয়।

ঘ) 2010 সাল: এটি 4 দ্বারা বিভাজ্য নয়। (2010 ÷ 4 ⇒ ভাগশেষ 2)। ⇒ অধিবর্ষ নয়।

অতএব, 2000 সালটি অধিবর্ষ।

Question: In a badminton tournament, every player plays against every other player exactly once. If there were 66 matches played in total, how many players participated in the tournament?

Solution:
ধরি, টুর্নামেন্টে মোট খেলোয়াড়ের সংখ্যা = x

যেহেতু প্রতিটি খেলোয়াড় অন্য সকল খেলোয়াড়ের সাথে একবার করে ম্যাচ খেলে, তাই মোট ম্যাচের সংখ্যা হবে:
^xC₂ = 66
⇒ x!/{2!(x - 2)!} = 66
⇒ x(x - 1)/2 = 66
⇒ x(x - 1) = 132
⇒ x² - x - 132 = 0
⇒ x² - 12x + 11x - 132 = 0
⇒ x(x - 12) + 11(x - 12) = 0
⇒ (x - 12)(x + 11) = 0
⇒ x = 12 অথবা x = -11

যেহেতু খেলোয়াড়ের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 12

∴ টুর্নামেন্টে মোট খেলোয়াড়ের সংখ্যা = 12 জন।

Question: A pole 120 m long breaks at a point and the broken part bends such that it makes an angle of 30° with the ground (without getting separated). The length of the broken part is:

Solution:
 
খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য = 120 মিটার
ধরি,ভাঙা অংশটির দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ অবশিষ্ট অংশটির দৈর্ঘ্য = (120 - x) মিটার
মই ভূমির সাথে কোণ তৈরি করে, θ = 30°

আমরা জানি,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ
⇒ sin 30° =(120 - x)/x
⇒ 1/2 = (120 - x)/x
⇒ x = 2(120 - x)
⇒ x = 240 - 2x
⇒ 3x = 240
∴ x = 80 মিটার

অতএব, খুঁটির ভাঙা অংশটির দৈর্ঘ্য = 80 মিটার।

Question: In how many ways can the letters of the word 'MISSISSIPPI' be arranged such that the first letter is always 'M'?

Solution:
'MISSISSIPPI' শব্দটিতে মোট 11টি বর্ণ রয়েছে।

শর্ত: প্রথম স্থানে 'M' স্থির। এখন বাকি 11 - 1 = 10টি স্থানে বাকি বর্ণগুলোকে সাজাতে হবে।

বাকি 10টি বর্ণের মধ্যে পুনরাবৃত্ত অক্ষর: I (4 বার), S (4 বার), P (2 বার)।

∴ বাকি 10টি বর্ণের বিন্যাস সংখ্যা = 10!/(4! × 4! × 2!)
= 3,628,800/(24 × 24 × 2)
= 3,628,800/1,152
= 3,150

Question: In how many ways can the letters of the word "EQUATION" be arranged such that the consonants occupy only the even positions?

Solution:
এখানে "EQUATION" শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8টি।
ব্যঞ্জনবর্ণ (Consonant) আছে 3টি: Q, T, N
স্বরবর্ণ (Vowel) আছে 5টি: E, U, A, I, O
8টি বর্ণের মধ্যে জোড় স্থান (Even positions) আছে 4টি (2nd, 4th, 6th এবং 8th)।

4টি জোড় স্থানের মধ্যে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ সাজানোর উপায় = ⁴P₃ = 24
বাকি (8 - 3) = 5টি স্থানে 5টি স্বরবর্ণ সাজানোর উপায় = 5! = 120

∴ ব্যঞ্জনবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 24 × 120
= 2,880

অতএব, EQUATION শব্দটির ব্যঞ্জনবর্ণগুলোকে জোড় স্থানে রেখে মোট 2,880 উপায়ে সাজানো যাবে।

Question: A clock gains (moves ahead) 10 minutes each day. How many days will it take to reach a point where the clock will indicate the correct time?

Solution:
একটি ঘড়িকে পুনরায় সঠিক সময় দেখাতে হলে তাকে 12 ঘণ্টা সময় এগিয়ে যেতে হবে।
কারণ একটি 12 ঘণ্টার ঘড়িতে যখন সঠিক সময় থেকে 12 ঘণ্টা এগিয়ে যাবে, তখন এটি আবার সঠিক সময় নির্দেশ করবে।

12 ঘণ্টা = 12 × 60 মিনিট = 720 মিনিট

এখন, যেহেতু ঘড়িটি প্রতিদিন 10 মিনিট করে সময় এগিয়ে যায়,

10 মিনিট সময় এগিয়ে যায় 1 দিনে
∴ 720 মিনিট সময় এগিয়ে যাবে = (1/10) × 720 দিনে
= 72 দিনে

সুতরাং, 72 দিন পর ঘড়িটি আবার সঠিক সময় দেখাবে।