ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে A কোণের মান 40° এবং B কোণের মান 70° হলে, ত্রিভুজটি কি ধরনের ত্রিভুজ?

সমাধান: 
C কোণের মান = 180° - 40° - 70°
= 180° - 110°
= 70°

এখানে B ও C কোণ সমান, আর কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ সমান ত্রিভুজটির দুইটি বাহুও সমান হবে।
তাই ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি রম্বসের বৈশিষ্ট?

সমাধান: 
রম্বসের বৈশিষ্ট্য হলো, এর 
ⅰ) চারটি বাহু পরস্পর সমান,
ⅱ) বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল,
ⅲ) কর্ণদ্বয় পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।

প্রশ্ন: নিচের ত্রিভুজে বাহুর দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান: 
আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।
প্রশ্নোক্ত অপশনগুলোর মধ্যে একমাত্র ২+৩ = ৫ বাহু গুলো দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।

প্রশ্ন : ABCD চতুর্ভুজে AB ∥ CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে সঠিক চতুর্ভুজ কোনটি?

সমাধান :
আমরা জানি,
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় সমান ও একটি কোণ সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
সুতরাং ABCD চতুর্ভুজে AB || CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে চতুর্ভুজ একটি আয়তক্ষেত্র হবে।

প্রশ্ন: তিন কোণ দেয়া থাকলে যে সকল ত্রিভুজ আঁকা যায় তাদের কী ত্রিভুজ বলে?

সমাধান:
সদৃশ ত্রিভুজ:
১। দুইটি ত্রিভুজের একটির দুই বাহু অন্যটির দুই বাহুর সাথে সমানুপাতিক এবং অন্তর্ভুক্ত কোনদ্বয় সমান।
২। দুইটি ত্রিভুজের একটির তিন বাহু অপরটির তিনবাহুর সাথে সমানুপাতিক।
৩। দুইটি ত্রিভুজের একটির তিন কোন অপরটির তিন কোনের সমান।

প্রশ্ন: রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?

রম্বস
- যে আয়তে চারটি বাহু সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কর্ণ দুইটি অসমান তথা কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
- সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 90°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ?

ধরি,
কোণ তিনটি = x, x এবং 2x
প্রশ্নমতে,
x + x + 2x = 180°
4x = 180°
∴x = 45°
এবং 2x = 90°

সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী।

আবার, ত্রিভুজটির সমকোণসংলগ্ন বাহু দুইটিও সমান হবে। অর্থাৎ, ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহুও হবে।
অপশনে দ্বৈত উত্তর থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হয়েছে।   

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা  ও সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা সমান, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে পরিসীমা 3a একক।

বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে পরিসীমা 4a একক।

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ মিটার
এর পরিসীমা ৩ × ১২ = ৩৬ মিটার

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৩৬ মিটার
এক বাহুর দৈর্ঘ্য = (৩৬/৪) = ৯ মিটার।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. ছোট, কিন্তু অতিভুজ, ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. বড়। ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ভূমি = x = সে.মি.
লম্ব = x - 2 সে.মি.
অতিভুজ = x + 2 সে.মি.

সুতরাং,
(x + 2)² = x² + (x - 2)²
বা, x² + 4x + 4 = x² + x² - 4x + 4
বা, x² - 8x = 0
বা, x(x - 8) = 0
হয় x = 0 যা অসম্ভব।
অথবা,  x - 8 = 0
 ∴ x = 8

∴ ভূমি 8 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪, ৫ ও ৩ হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?  

সমাধান: 
ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য দেখে বোঝা যাচ্ছে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ। 
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল 
= (১/২) × ৪ × ৩ 
= ৬ বর্গ একক 

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৬ বর্গ একক।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সামান্তরিক নয়?

সমাধান: 
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরষ্পর অসমান।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয় তবে সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র হবে।

সামন্তরিকের সংজ্ঞা অনুসারে,
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল তাকে সামন্তরিক বলে তাই ট্রাপিজিয়াম সামান্তরিক নয়।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজ এর সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৬° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান: 
ধরি, সূক্ষ্মকোণদ্বয় যথাক্রমে x ও x - 6 ডিগ্রী
প্রশ্নমতে,
x + (x - 6) = 90
বা, 2x - 6 = 90
বা, 2x = 96
বা, x = 48
সুতরাং ক্ষুদ্রতম কোণের মান = 48 - 6 = 42 ডিগ্রী।

প্রশ্ন: একটি চতুুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?

সমাধান: 
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়। নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ।

প্রশ্ন:  একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় ৫ সেমি ও ৬ সেমি হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৫ × ৬
= ১৫ বর্গসেমি

প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকের ∠B = ১০০° হলে  ∠C = কত?

সমাধান:
আমরা জানি, সামান্তরিকের সন্নিহিত দুই কোণের যোগফল ১৮০° এবং কর্ণ বরাবর বিপরীত কোষগুলো পরস্পর সমান।
অর্থাৎ ABCD সামন্তরিকে A ও B কোণের যোগফল ১৮০° এবং B ও D কোণ পরস্পর সমান।
এখানে B +C = 180°
বা, 100° + C = 180°
বা, C = 180° - 100° = 80°

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৬, ৮, ও ১০ মিটার হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব কত মিটার? 

সমাধান:
ত্রিভুজের যে কোন দুইবাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।
এখানে বৃহত্তম বাহু ১০ মিটার এবং ক্ষুদ্রতম বাহু ৬ মিটার। এদের মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব হবে তৃতীয় বাহু ৮ মিটার এর অর্ধেক অর্থাৎ ৪ মিটার।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (a² + 4a + 4) বর্গমিটার হলে, বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল a² + 4a + 4 
= a² + 2.2a + 2² 
= (a + 2)² 

বাহুর দৈর্ঘ্য = a + 2