শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: 12x²yz² এবং 15xy²z² এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
12x²yz² = 3 × 2 × 2 × x × x × y × z × z
15xy²z² = 3 × 5 × x × y × y × z × z

∴ ল.সা.গু = 3 × 5 × 2 × 2 × x × x × y × y × z × z
= 60x²y²z²

প্রশ্ন: x - 2 = √3 হলে x⁴ + 1/x⁴ এর মান কত?

সমাধান:
x - 2 = √3
x = √3 + 2
1/x = 1/(√3 + 2)
1/x = (2 - √3)/(√3 + 2) (2 - √3)
1/x = (2 - √3)/{2² - (√3)²}
1/x =(2 - √3)/(2 - 3) 
1/x = 2 - √3 

x + 1/x = 2 + √3 + 2 - √3 = 4

x⁴ + 1/x⁴ 
= (x²)² + (1/x²)²
= (x² + 1/x²)² - 2.x²(1/x²)
= {(x + 1/x)² - 2x.1/x}² - 2
= {4² - 2}² - 2
= (16 - 2)² - 2
= 14² - 2
= 196 - 2
= 194 

প্রশ্ন: x³ - 1, x² - 1, x² - 2x + 1 রাশিগুলোর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
x³ - 1
= (x - 1)(x² + 2x + 1)
= (x - 1)(x + 1)²
= (x - 1)(x + 1)(x + 1)

x² - 1
= (x + 1)(x - 1)

x² - 2x + 1
= (x - 1)²
= (x - 1)(x - 1)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (x - 1)

প্রশ্ন: বার্ষিক ক্রীড়া অনুষ্ঠান করার জন্য কোনো এক বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীরা 45,000 টাকার বাজেট করলেন এবং সিদ্ধান্ত নিলেন যে, প্রত্যেক শিক্ষার্থীই সমান চাঁদা দিবেন। কিন্তু 5 জন শিক্ষার্থী চাঁদা দিতে পারে নি। এর ফলে প্রত্যেক শিক্ষার্থীর মাথাপিছু 15 টাকা চাঁদা বৃদ্ধি পেল। ঐ বিদ্যালয়ে কতজন শিক্ষার্থী ছিল?

সমাধান:
মনে করি,
বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীর সংখ্যা x
এবং জনপ্রতি প্রদেয় চাঁদার পরিমাণ q টাকা।
তাহলে. মোট চাঁদা, A = qx টাকা

পাঁচজন চাঁদা দিতে অস্বীকৃতি জানানোয় প্রকৃত চাঁদা দেয়া শিক্ষার্থী সংখ্যা ছিল (x - 5) জন
এবং চাঁদা হলো (q + 15) টাকা।
তাহলে, মোট চাঁদা হলো (x - 5)(q + 15)

প্রশ্নানুসারে,
qx = (x-5)(q+15) ……….(i)
এবং qx = 45000……….(ii)

সমীকরণ (i)থেকে পাই,
qx = (x - 5)(q + 15)
বা, qx = qx - 5q + 15x - 75
বা, 5q = 15x - 75 = 5(3x - 15)
∴ q = 3x - 15………..(iii)

সমীকরণ (ii)এ q এর মান বসিয়ে পাই,
(3x-15) × x = 45000
বা, 3x² - 15x=45000
বা, x² - 5x = 15000 [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করে]
বা, x² - 125x + 120x - 15000 = 0
বা, x(x - 125) + 120(x - 125) = 0
বা, (x - 125)(x + 120)=0
∴ (x - 125) = 0 অথবা (x + 120) = 0
বা, x = 125 বা, x = - 120
যেহেতু শিক্ষার্থীর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x এর মান -120 গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ x = 125

∴ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীর সংখ্যা ১২৫ জন।

প্রশ্ন: x² + xy + y² এবং x³ - y³ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি =  x² + xy + y²

২য় রাশি = x³ - y³ 
= (x - y)(x² + xy + y²)

∴ গ.সা.গু = x² + xy + y²

প্রশ্ন: d মিটার দীর্ঘ একটি প্ল্যাটফরমকে s মিটার লম্বা একটি ট্রেন t সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিলোমিটার।

সমাধান:

প্রশ্ন: x² - 9 এবং x² - 6x + 9 এর ল.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
১ম রাশি = x² - 9
= x² - 3²
= (x + 3)(x - 3)

২য় রাশি = x² - 6x + 9
= x² - 2. x. 3 + 3²
= (x - 3)²
= (x - 3)(x - 3)

∴ ল.সা.গু = (x + 3)(x - 3)(x - 3)
= (x² - 9)(x - 3)
= x(x² - 9) - 3(x² - 9)
= x³ - 9x - 3x² + 27
= x³ - 3x² -  9x + 27

প্রশ্ন: a + b + c = 15, ab + bc + ca = 71 হলে a² + b² + c² =?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a + b + c = 15
ab + bc + ca = 71

আমরা জানি
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
⇒ 15² = a² + b² + c² + 2 × 71
⇒ 225 - 142 = a² + b² + c²
⇒ a² + b² + c² = 83

প্রশ্ন: যদি x² - x - 6 এবং x² + 3x - 18 এর গ.সা.গু x - a হয়, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান:
১ম রাশি,
x² - x - 6
= x² - 3x + 2x - 6
= x(x - 3) + 2(x - 3)
= (x - 3)(x + 2)

x² + 3x - 18
= x² + 6x - 3x - 18
= x(x + 6) - 3(x + 6)
= (x + 6)(x - 3)

∴ গ.সা.গু = x - 3

প্রশ্নমতে,
x - a = x - 3
∴ a = 3

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৭ হলে সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল -

সমাধান:
মনেকরি,
সংখ্যা দুইটি ক ও ক + ১

প্রশ্নমতে 
(ক + ১)^২ - ক^২ = ১৭
বা, ক^২ + ২ক + ১^২ - ক^২ = ১৭
বা, ২ক + ১ = ১৭ 
বা, ২ক = ১৭ - ১
বা, ২ক = ১৬
∴ ক = ৮ 

সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল = ৮ + ১ + ৮ = ১৭

প্রশ্ন: m³ + 2m² - 3m এবং 2m³ + 5m² - 3m এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
১ম রাশি = m³ + 2m² - 3m
= m(m² + 2m - 3)
= m(m² + 3m - m - 3)
= m{m(m + 3) - 1(m + 3)}
= m(m + 3)(m - 1)

২য় রাশি = 2m³ + 5m² - 3m
= m(2m² + 5m - 3)
= m(2m² + 6m - m - 3)
= m{2m(m + 3) - 1(m + 3)}
= m(m + 3)(2m - 1)

∴ ল.সা.গু = m(m + 3)(m - 1)(2m - 1)

প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 1 যোগ করলে 1/2 হয় এবং হরের সাথে 1 যোগ  করলে তা 1/3 হয়, ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি 
ভগ্নাংশের লব x 
ভগ্নাংশের হর y 
১ম শর্তমতে
(x + 1)/y = 1/2
2x + 2 = y
2x - y = - 2 ....................(1)

২য় শর্তমতে  
x/(y + 1) = 1/3
3x = y + 1
3x - y = 1.....................(2)

(2) - (1) ⇒
3x - y - 2x + y = 1 - (- 2)
x = 1 + 2 
x = 3

(1) নং হতে পাই 
2 × 3 - y = - 2
6 - y = - 2
- y = - 2 - 6
- y = - 8
y = 8

ভগ্নাংশটি = 3/8

প্রশ্ন: x⁴ - 3x + 2, x³ - 3x² + 3x - 1 এবং x⁴ - 1 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
x⁴ - 3x + 2
x⁴ - x³ + x³ - x² + x² - x - 2x + 2
= x³(x - 1) + x²(x - 1) + x(x - 1) - 2(x - 1)
= (x - 1)(x³ + x² + x - 2)

x³ - 3x² + 3x - 1
= (x - 1)³

x⁴ - 1
= (x - 1)(x + 1)(x² + 1)

∴ গ.সা.গু = (x - 1)

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. a  এবং গ.সা.গু. b। একটি সংখ্যা c হলে, অপর সংখ্যাটি -

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু. × গ.সা.গু. 
অপর সংখ্যাটি × c = a × b
∴ অপর সংখ্যা = ab/c

প্রশ্ন: x² +2x - 8, x³ - 4x² + 4x এবং x² + 4x এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
x² + 2x - 8
= (x + 4)(x - 2)

x³ - 4x² + 4x
= x(x² - 4x + 4)
= x(x - 2)²

x² + 4x
= x(x + 4)

∴ ল.সা.গু = x(x + 4)(x - 2)²

প্রশ্ন: একটি কলমের মূল্য একটি বইয়ের মূল্য অপেক্ষা 12 টাকা কম এবং উক্ত বই ও কলমের মোট ক্রয়মূল্য 44 টাকা হলে কলমটির মূল্য কত?
 
সমাধান:
মনেকরি,
কলমের মূল্য = x টাকা
সুতরাং, বইয়ের মূল্য = x + 12 টাকা 

প্রশ্নমতে,    
x + x + 12 = 44
⇒ 2x + 12 = 44
⇒ 2x = 32
⇒ x = 16
 
অতএব, কলমের মূল্য = 16 টাকা

প্রশ্ন: p(x) ও q(x) বহুপদীদ্বয়ের গ.সা.গু 2x(x + 2) এবং ল.সা.গু 24x(x + 2)²(x - 2). যদি p(x) = 8x³ + 32x² + 32x হয়, তাহলে q(x) = কত?

সমাধান:
p(x) = 8x³ + 32x² + 32x
= 8x(x²+ 4x + 4)
= 8x(x + 2)²

q(x) = (গ.সা.গু × ল.সা.গু)/ p(x)
= {2x(x + 2) × 24x(x + 2)²(x - 2)}/{8x(x + 2)²}
= 6x(x + 2)(x - 2)
= 6x(x² - 4)
= 6x³ - 24x

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে শিক্ষার্থী বসলে ৬ জনকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয় কিন্তু ৪ জন করে বসলে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে। ঐ শ্রেণিতে শিক্ষার্থী সংখ্যা কত?  

সমাধান: 
ধরি,
বেঞ্চের সংখ্যা ক টি

৩ জন করে বসলে শিক্ষার্থীর সংখ্যা ৩ক + ৬ জন।

৪ জন করে বসলে শিক্ষার্থীর সংখ্যা ৪(ক - ৩) জন। 

প্রশ্নমতে,
৪(ক - ৩) = ৩ক + ৬ 
বা, ৪ক - ১২ = ৩ক + ৬
বা, ক = ১৮

∴ শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৩ × ১৮ + ৬ জন
= ৬০ জন 

প্রশ্ন: (1 - a)², (1 - a), (a - 1)² রাশিগুলোর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম রাশি, (1 - a)² = (1 - a)(1 - a)
দ্বিতীয় রাশি, (1 - a)
তৃতীয় রাশি, (a - 1)² = {-(1 - a)}² = (1 - a)² = (1 - a)(1 - a)

∴ ল.সা.গু = (1 - a)(1 - a) = (1 - a)²

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা 47। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 30 টাকা। মোট ভাড়া প্রাপ্তি 1680 টাকা হলে কেবিনের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি,
ডেকের যাত্রী ক জন
কেবিনের যাত্রী সংখ্যা ৪৭ - ক জন 

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা
কেবিনের ভাড়া = ৩০ × ২ টাকা 
= ৬০ টাকা  

প্রশ্নমতে, 
৩০ক + ৬০ (৪৭ - ক) = ১৬৮০ টাকা 
⇒ ৩০ক + ২৮২০ - ৬০ক = ১৬৮০ 
⇒ ২৮২০ - ৩০ক = ১৬৮০ 
⇒ ৩০ক = ২৮২০ - ১৬৮০ 
⇒ ৩০ক = ১১৪০
∴ ক = ৩৮ 

কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৪৭ - ৩৮ = ৯ জন

প্রশ্ন: x³ - 1, x³ + 1, x⁴ + x² + 1 এর ল.সা.গু-

সমাধান:
x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)

x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1)

x⁴ + x² + 1 = (x² + x + 1)(x² - x + 1)

∴ ল.সা.গু = (x - 1)(x² + x + 1)(x + 1)(x² - x + 1)
= (x³ - 1)(x³ + 1)
= x⁶ - 1

প্রশ্ন: একটি বক্সে x টি লাল বল এবং y টি নীল বল আছে। যদি মোট বলের সংখ্যা 50 হয় এবং লাল বলের সংখ্যা নীল বলের তুলনায় দ্বিগুণ হয়, তবে x এবং y এর সম্পর্ক কোনটি?

সমাধান:
একটি বক্সে x টি লাল বল এবং y টি নীল বল আছে।
মোট বলের সংখ্যা 50 হয়
∴ x + y = 50

লাল বলের সংখ্যা নীল বলের তুলনায় দ্বিগুণ হয়
∴ x = 2y

প্রশ্ন: x² - y², x² + xy + y², x³ - y³ রাশিত্রয়ের গ.সা.গু -

সমাধান:
১ম রাশি = x² - y² = (x + y)(x - y)
২য় রাশি = x² + xy + y²
৩য় রাশি = x³ - y³
= (x - y)(x² + xy + y²)

 রাশিত্রয়ের গ.সা.গু = 1

প্রশ্ন: ক একটি কাজ p দিনে করে এবং খ 2p দিনে করে। তারা একটি কাজ আরম্ভ করে এবং কয়েকদিন পর ক কাজটি অসমাপ্ত রেখে চলে গেল। বাকি কাজটুকু খ r দিনে শেষ করে। কাজটি কত দিনে শেষ হয়েছিল?

সমাধান:
ক কাজটি করে p দিনে
∴ খ কাজটি করে 2p দিনে 
ক ও খ ১ দিনে করে = (1/p + 1/2p) = (2 + 1)/2p = 3/2p অংশ

এখন,
খ ১ দিনে করে 1/2p অংশ
∴ খ r দিনে করে r/2p অংশ

কাজ বাকি থাকে = (1 - r/2p) অংশ = (2p - r)/2p অংশ

তারা 3/2p অংশ কাজ করে ১ দিনে
তারা ১ বা সম্পূর্ণ অংশ কাজ করে 2p/3 দিনে
তারা (2p - r)/2p অংশ কাজ করে 2p(2p - r)/(3 × 2p) দিনে
= (2p - r)/3 দিনে

∴ মোট সময় = r +(2p - r)/3 দিন 
= (3r + 2p - r)/3 দিন
= (2p + 2r)/3 দিন

প্রশ্ন: a + b, a² - b² এবং a³ + b³ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = a + b
২য় রাশি = a² - b²
= (a + b)(a - b)

৩য় রাশি = a³ + b³
= (a + b)(a² - ab + b²)

নির্ণেয় গ.সা.গু = (a + b)